【19:220】代数的整数論 017- 1 名前：１３２人目の素数さん 2010/01/31(日) 12:03:42
- 代数的整数論 017
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。
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- 211 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 08:33:28
- 命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で完備であるとする。
(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。
このとき、lim x_n = 0 であれば (x_n) は総和可能(過去スレ006の147)である。
証明
N = {1, 2, . . .} とおき、N の有限部分集合全体の集合を Φ(N) とする。
J ∈ Φ(N) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 212 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 08:58:56
- 命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。
f = Σf_k ∈ B とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。
このとき列 (f_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は f に等しい。
証明
>>205より B は分離かつ完備である。
各 f_k ∈ I^k であるから lim f_k = 0 である。
よって、>>211より、列 (f_k) は総和可能である。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 213 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 09:24:31
- 命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。
A 上の多項式環 A[X_1, ..., X_n] は B に含まれると見なせる。
このとき、A[X_1, ..., X_n] は B において稠密である。
証明
f = Σf_k ∈ B を任意の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。
各 k に対して、s_k = f_0 + . . . + f_k とおく。
f - s_k ∈ I^(k+1) である。
よって、f = lim s_k である。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 214 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 09:57:36
- 命題
A を分離的かつ完備な(必ずしも可換とは限らない)環とする。
(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。
このとき、(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで右辺の和は (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) 全体にわたる。
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。
証明
Σx_iy_j
= Σ[i ∈ Z+]Σ[j ∈ Z+] x_iy_j ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[i ∈ Z+]x_i(Σ[j ∈ Z+] y_j) ← 積の連続性と分配法則
= (Σx_i)(Σy_j) ← 積の連続性と分配法則
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 215 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 10:44:33
- >>214の修正
命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。
(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。
このとき、(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。
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- 216 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 10:45:33
- >>215の続き
J_0 = {1, . . ., n_0}×{1, . . ., m_0} とおく。
K を (Z+)×(Z+) の有限集合で J_0 ∩ K が空集合とする。
(i, j) ∈ K なら i ＞ n_0 または j ＞ m_0 であるから
x_iy_j ∈ x_i(A_k) ∈ A_k
または
x_iy_j ∈ (A_k)y_j ∈ A_k
A_k は A の部分群であるから、
Σ[(i, j) ∈ K] x_iy_j ∈ A_k
よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より、
(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能(過去スレ006の147)である。
よって、
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 217 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 10:55:30
- 命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。
(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。
s_k = x_0y_k + x_1y_(k-1) + . . . + x_ky_0 とおく。
このとき、(s_k) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σs_k
である。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 218 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 11:08:03
- >>192は次のように拡張出来る。
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A_0A_n ⊂ A_n
A_nA_0 ⊂ A_n
であるから各 A_n は A の両側イデアルである。
よって、n ≦ m のとき環の射 f_nm: A/A_m → A/A_n が自然に定義され
(A/A_n, f_nm) は環の射影系になる。
f: A → proj.lim A/A_n を標準射とする。
>>190より、A が位相環として分離かつ完備であるためには
f が環としての同型であることが必要十分である。
- 219 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 11:40:46
- >>208
何が疑問なのかよくわかりませんが、A は B の部分空間として離散です。
任意の環は離散位相で完備になります。
- 220 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2010/02/10(水) 12:05:40
- 定義
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。
g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
g_k は Y_1, ..., Y_m の多項式であるので
g_k(f^(1), . . ., f^(m)) が定義出来る。
>>195の 2) より、ord(g_k(f^(1), . . ., f^(m))) ≧ k である。
よって、B の I-進位相(>>193)で
k → +∞ のとき、lim g_k(f^(1), . . ., f^(m)) = 0 である。
よって、>>211より、(g_k(f^(1), . . ., f^(m))), k = 0, 1, ... は
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
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