【2:223】代数的整数論 015- 1 名前:132人目の素数さん 2009/10/13(火) 07:14:18
- 代数的整数論 015
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。 現在は代数的整数論の準備をしています。 代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で 参照することをお勧めします。 ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、 適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。 内容についてわからないことがあったら遠慮なく 質問してください。 その他、内容についてのご意見は歓迎します。 例えば、誤りの指摘、証明の改良など。 なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては 原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。 過去スレ http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/ http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
- 214 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:04:45
- >>212と>>213において K は可換環と仮定してもよい。
- 215 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:32:06
- >>198以降 T(r, s)(E) に関して述べたことは K が可換環で E が K 上の
有限生成自由加群としてもそのまま成り立つ。 もっと一般に E を可換環 K 上の有限生成射影加群としてもそのまま成り立つ。
- 216 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:46:49
- 命題
A を可換環 K 上の結合的な代数とする。 x, y ∈ A のとき [x, y] = xy - yx と書く。 このとき、A の任意の元 x, y, z に対して [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 となる。 証明 [x, [y, z]] = x(yz - zy) - (yz - zy)x = xyz - xzy - yzx + zyx [y, [z, x]] = y(zx - xz) - (zx - xz)y = yzx - yxz - zxy + xzy [z, [x, y]] = z(xy - yx) - (xy - yx)z = zxy - zyx - xyz + yxz (省略されました・・全てを読むにはここを押してください)
- 217 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:48:00
- >>216の等式
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 を Jacobiの等式と呼ぶ。
- 218 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:52:13
- 定義
A を可換体 K 上の必ずしも結合的とは限らない代数とする。 A の2元 x, y の積を [x, y] と書く。 A が次の条件を満たすとき A を K 上のLie代数と呼ぶ。 A の任意の元 x, y, z に対して 1) [x, x] = 0 2) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
- 219 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:54:52
- Lie代数の例
A を可換環 K 上の結合的な代数とする。 x, y ∈ A のとき [x, y] = xy - yx と書く。 >>216より、A は乗法 [x, y] により K 上のLie代数となる。
- 220 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 14:59:32
- Lie代数の例
E を可換環 K 上の加群とする。 E の自己準同型環 End(E) は K 上の結合的な代数である。 よって、>>219より、End(E) は乗法 [x, y] = xy - yx により K 上のLie代数となる。 このLie代数を gl(E) と書く。 E = K^n のとき gl(E) を gl(n, K) と書く。
- 221 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 15:04:40
- Lie代数の例
A を可換環 K 上の必ずしも結合的とは限らない代数とする。 Der(A) を A の微分(>>212)全体の集合とする。 D_1, D_2 ∈ A のとき [D1, D2] = D_1D_2 - D_2D_1 と書く。 >>213より [D1, D2] ∈ Der(A) である。 よって、Der(A) は gl(A) (>>220) の部分代数である。 よって、Der(A) はLie代数である。
- 222 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/07(土) 15:51:33
- 定義
E を可換環 K 上の有限生成自由加群とする。 T(E) を E 上のテンソル代数(>>210, >>215)とする。 T(E) の微分(>>212) D で以下の条件を満たすもの全体を E 上のテンソル微分と呼ぶ。 1) 任意の整数 r, s ≧ 0 に対して D(T(r, s)(E)) ⊂ T(r, s)(E) 2) D は任意の縮約(>>207)と可換である。 E 上のテンソル微分全体を DerT(E) と書く。 これは Der(T(E)) (>>221) の部分代数であるからLie代数である。
- 223 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2009/11/08(日) 10:32:19
- E を可換環 K 上の加群とする。
E が有限生成の自由加群でなくてもテンソル代数 T(E) は定義できる。 T(r, s)(E) = E※...※E※(E^*)※...※(E^*) とおく。 ここで、右辺は r 個の E と s 個の E^* の K 上のテンソル積である。 T(E) = ΣT(r, s)(E) (直和) とおく。 ここで (r, s) は (Z+)×(Z+) の元全体を動く。 ただし、 Z+ は整数 n ≧ 0 全体の集合である。 T(E) はテンソル積により K 上の結合的な代数となる。 T(E) を E 上のテンソル代数と呼ぶ。 縮約も>>207と同様に定義出来る。 E 上のテンソル微分も>>222と同様に定義出来る。
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