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2つの封筒問題スレ

1 :1:2010/03/06(土) 12:44:09
[2つの封筒問題]
2つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は1:2とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか?


この問題・類題に関する意見・質問のスレです。専用スレ立てました。
この問題を他のレスで質問したりすると、高頻度で荒れる原因になりますので
できるだけ、こちらに書くようお願いします。

こんな確率求めてみたい その1/8
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/
から派生しました。

2 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 12:45:35
〜Fin〜

3 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:06:16
代数学で解ける

4 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:14:48
じゃあ俺は幾何学で解くよ

5 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:24:32
m/hは速度の単位
例えば10m/hは「1時間に10m進む」という速度を表す
しかし「 」内が速度を表しているからと言ってmが速度の単位という事にはならない
mはあくまでも長さ・距離の単位

「期待値は12500円」これも同様
「 」内は期待値を表してるが、円が期待値の単位という事にはならない
円はあくまでも金額の単位

こんな当然の事もわからないのに何か主張をするでもなく
横から「円は期待値の単位だ」と口を出すだけの人間が大量発生して嫌気がさしたのと
>>579の真ん中辺りにどう答えるか悩んでたのと
2chダウンが重なって
次に見たときは流れが変わってたとさ

で、ここの>>1と確率スレの>>560は違う問題だと思うのだが
とりあえず
>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
は怪しい

6 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 13:35:25
せっかくだから俺はこの赤い封筒を選ぶぜ

7 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 14:07:44
>>560を書いた者です。
>>5は受け答えしてくれてた>>573

>>560の問題をもう1度書きます。
賞金の組は
{1250,2500},{2500,5000},{5000,10000},{10000,20000},{20000,40000},{40000,80000}
のいずれかで、どれが選ばれるかは等確率とします。どの組かを決め、袋X,Yにそれぞれ賞金をいれます。
どちらの袋に大きい金額が入れるのかも、等確率とします。A君はXを受け取り、B君はYを受け取ります。
(追加訂正)A君,B君には賞金の組は上のいずれかで、等確率で選ばれることは教えます。
[状況1]A君はまだ、X,Yの金額を知らない。
[状況2a]A君が、Xの金額のみを確認すると、10000円であった
[状況2b]B君が、Yの金額のみを確認すると、5000円であった
[状況3]さらに、A君がYの金額も確認すると5000円であった

状況1,2a,3におけるA君にとってのXの金額の期待値,Yの金額の期待値と
状況2bにおけるB君にとっての Xの金額の期待値,Yの金額の期待値を
Xの金額,Yの金額でそれぞれ表すことはできるか?


>>>>560の問題は確かに、未確認の袋の金額の期待値が確認済の金額の1.25倍
>は怪しい
のなら
[状況2a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
[状況2b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的にお願いします。

期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
一応答えとくと、"物理量の次元(Wikipedia「次元」を参照)"みたいな意味合いで
(金額の単位=金額の期待値の単位)と言ったのであって、私は金額と金額の期待値が同じものだとは
思っていません。金額の値(量)10000の次元と、金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であるので、このことを「金額の期待値の単位は、金額の単位と同じ」という
言い方で表現しただけで、特に深い意味はありません。

8 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 14:38:54
>>560での確認に意味があるのは
端であるかという部分においてのみ
それ以外では確認に差は生じない

が、この差が問題をややこしくしている
本来の端の無い問題ならば他方の期待値が1.25倍とした時に生じるおかしな事態はわかりやすい
端ではない事が保証されているのなら確認に意味は無く
常に他方の方が期待値が高くなるという問題が浮き彫りになる
端がある問題ではその点の指摘が難しく、俺には
>反論(どこが間違っているのか)を具体的に
を複雑にならないように指摘するのは無理だし
複雑な指摘をした後に完璧に伝えきるまでやり取りを続ける気力も無い
しかし俺が具体的な指摘ができない事を根拠に同様の問題を孕んでいるはずの
>[状況2a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍
>[状況2b]のB君にとってのXの金額の期待値はYの金額の1.25倍
が正しいとするのは俺を過大評価し過ぎだろう
元の問題ではどのようなパラドックスが発生していたかを理解できていたのなら
>>560でもそれが解決していないのはわかるはず
俺の指摘を待つのではなく、そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては

>期待値の単位の話は本題ではないので続けなくても良いですが
これ、毎回言ってるが続けたいのか続けたくないのかどっちなんだ
続けるなら変な断り入れる必要は無いし
続けないなら行動が伴ってない
で、表現はともかく、速度に時間をかけると距離が出る、m/h×h=mのような事が
期待値と確率と事象で常に成立するとは限らない事が伝わればそれでいい

9 :7:2010/03/06(土) 15:46:46
>>8
レスどうも。私に対して返信する時はできれば名前
つけてくれると助かります。

期待値と単位の話は、金額の値(量)10000の次元と金額の期待値の値(量)12500の次元が
同じ次元であることが伝わっていれば、こっちもそれでいい。
金額の期待値の値(量)12500につく円を"金額の期待値の単位"と呼ぶのが相応しいかどうか
意見が食い違うのならそれもしょうがないし、交通事故みたいなもんだと割り切って諦める。

>そのパラドックスが解決または発生していない事を自ら示してみては
(私の立場では)発生してもいないパラドックスを、私が存在しないことを示すというのは
とても難しい。パラドックスが発生していると思う人が、どこがパラドックスなのか
とか、私の推論のどこがインチキなのか指摘してくれないと、私にはわからない。

私は
元の問題のパラドックスが、>>7(>>560)にも残っているのではなく
元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
であることということを納得させるために、単純にした有限の問題>>7を出した。

例えば、前の問題で"(A君とB君の金額合計)=(C君D君の金額合計)はおかしい"
という意見があったけれど、>>7の問題でも
(互いに袋を交換した時のA,Bの得る金額の合計)=(交換しない時のA,Bの得る金額の合計)
は当然成り立つ。これは当たり前の話なのに
"どうして成り立つのか?、成り立つなんておかしい!"
と言われても、"そもそも成立だとおかしいと思うのが、考え違いなのでは?"
と思っているので、パラドックスがないことを示せと言われても、これ以上
何をするべきかわからない。

10 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 16:30:40
有限の問題の方が複雑なんだが
そして俺は有限の問題にはそこまで興味が沸いてないし
全く同一の問題ではないと思っている
>元の問題のパラドックスだと思われているものの一部はただの考え違い
>であることということを納得させるため
というのなら元の問題のままやって欲しい

ところで>>9は、>>9の立場ではただの勘違いであるパラドックスもどきが
どのようなものかについても把握していないのか?
把握しているのなら、それが発生していない事を示すのは可能だと思うのだが
それとは別に把握していないとなると話が大きく後退するな

11 :132人目の素数さん:2010/03/06(土) 19:06:16
転載

649 名前: 132人目の素数さん [sage] 投稿日: 2010/03/06(土) 18:59:25 
>>645 
> >>560では、互いに相手の期待値は自分の金額の1.25倍になっていることや  
> (中略) 
> と主張してた人は、この結果をどう思うのか?  

べつにどうも思わないんじゃないかな? 

> "互いに相手の方が得に見えるのはおかしい" 
> "得に見える選択をしても、損に見える選択をしても、それぞれの合計金額が等しくなるのは変" 

これは、「封筒をあけたときの金額がいかなる金額のときにでも 」がつくときの話だと思うよ。 
>>560の問題では、あけて出てきた金額によっては期待値が1.25倍にならなくなることがある。 
さらに、2組のペアでっやる得に見える選択だけをするとか、損に見える選択だけをする実験は 
できなくなる。 



12 :7:2010/03/06(土) 22:33:51
>>10
パラドックスだとよく言われてる箇所は自覚はある。有限の>>7の問題なら
・双方にとって、相手の方が得に見えるというのはおかしい
という意見。この派生の(他の細かな点も全部この派生だと考えている)
・(双方交換した時の合計金額)=(双方交換しなかった時の合計金額)はおかしい
とか。おかしいとは思わない私にとっては、ただの勘違いじゃないか?としか言えない。
私がまだ気づいてない不思議な点や、私または他の人の勘違いによって
>>7には別のパラドックスもあると言われる可能性は否定できないので
>>7にどんなパラドックス(もどき)があるか全部把握してるとは言えない。

納得してくれるかどうかはわからないが
互いに相手の方がよく見えるというのは日常の感覚としてよくあることだし
[2a]のA君にとってのYの金額の期待値はXの金額の1.25倍になる計算は
論理的に妥当でない箇所は(私には)見あたらない。
金額の期待値的に得な方を選択する場合,損する方を選択する場合で
最終的な損得に差がなくっても不思議ではないと思う。例えば
n回ゲームをする(>>7の場合なら最初に確認したのが10000円だった回数がn回になるまでやる)
として、X,YのうちXの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回
X,YのうちYの金額の方が大きい回の回数の期待値はn/2回になるのだから
A君であってもB君であっても、必ずXを選ぶ戦略をとる場合は
n/2回は多い方を選び、n/2回は少ない方を選ぶと期待されるので
必ずXを選ぶ戦略は金額の方が大きい回の回数の期待値という観点からは
有利でも不利でもないこと言える。

関係あるかどうかは知らないが、聖ペテルスブルグのパラドクスでも
賞金金額の期待値は発散してしまうので妥当な参加費は計算できないが
コインが初めて裏になるまでに投げた回数の期待値(収束する)は求まるので
そこから参加費を計算すれば1つの目安になる、という話を思い出した。

13 :7:2010/03/06(土) 22:43:07
関係あるかどうかは知らないが、次の会話例(コピペだが)も思い出した。
生徒「1=-√(-1)*√(-1)=-√((-1)*(-1))=-1の何処が間違いですか」
教師「√(a*b)=√a*√bは一般には成り立たないから」
生徒「どうして成り立たないのですか」
教師「君がその反例を以って証明してくれたじゃないか」
生徒「……」

>>10
有限の問題を扱わずに、無限の場合の問題を扱うことはできないよ。
無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
あるんじゃないかな?無限による誤魔化しがないか(適切な場面で無限の性質を用いてるか)
の確認も、>>7の重要な役割の一つ。無限の問題では、無限であることが原因で感覚的に
おかしいと思うかもしれないことはあるとは思うよ。
端(特異点)がある場合もない場合も、他方の金額が自分の金額の1.25倍となる(問題を考える)のなら
1.25倍になる原因は特異点の有無と無関係と考えるのが私にとっては自然。
関係あるというのなら、なんで関係あるのか説明を求める。

>>11>>10とは別人だよね…?
取り敢えず>>7(>>560)はパラドックスはないということを納得してくれてる
と受け取ってよいのかな?つまり
どちらかが10000円を確認がした時は互いに相手の方が良く見える
(見えるだけで、実際に良いかどうかはわからない)には納得する?
ご指摘の通り>>7では、もしA君B君のどちらも10000円を確認しなかった場合は
相手の期待値が1.25倍にはならない。>>7では取り得る賞金の組は
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)
であったけどnの取り得る値を[-100以上99以下の整数]とか[10以下の整数]
はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる
なら、議論はほとんど終わったも同じ。

14 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 00:11:15
矛盾を生んでしまう原因

■視点の混同
封筒を選ぶ人に注目するか
場の2つの封筒に注目するか
これらは別物

■確率分布の混同
その封筒が高額の方である確率は1/2でいいのかを考えよう

■定義域の無自覚
金額問題なので整数値にこだわると
金額の値が奇数のときは少額封筒と判明してしまうなど
本来の問題とは別物になってしまう
実際は正の有理数もしくは正の実数(負のみでも良い)
金額の比の値が負の場合は0以外の実数となる

15 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 02:24:17
2封筒問題の名物、1.5倍の珍説君はどこにいったの?

16 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 02:58:21
>>13
有限の場合は確認に意味が生じる
>>7の例では1250円だったら確実に交換した方がよいし
80000円だったら確実に交換しない方がよい
毎回例外を考慮しつつ論じるのは
例外が発生しないケースで論じるのに比べて面倒な事になるのは当然だろう

>無限の方が考えやすいというなら、無限の性質でテキトーに誤魔化してる部分が
これは酷いな
考えやすいを誤魔化しやすいと受け取るか
それは相手を誤魔化してまで主張を曲げたくない人間だと思ってるって事だよな
正直そのような先入観を持った>>13とまともに議論できるとは思えない
無限で考えても>>13がその例
>に対する反論(どこが間違っているのか)を具体的
にすればよいだけではないか

また>>7はパラドックスは無いと言っているがそれは
「↓の文章は正しい」には何もパラドックスは無いと言っているようなものだ
「↑の文書は間違っている」とあるが?と言っても
「↓の文章は正しい」の正しさのみを主張しそれゆえパラドックスは無いとしてるように感じられる
やはりパラドックスを把握てもらわないと話が進まないようだ

元は無限の場合の問題であったのに有限を持ち出し
無限で考えていて、無限方に興味がある俺にそれは誤魔化すためだと言い
1.25倍になるから1.25倍でパラドックスは無いと主張する

1倍になるから1倍でパラドックスは無いと反論する事もできるが
正直やってられん、降りるわ
あとは勝利宣言でもなんでも好きなだけやってくれ

17 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 09:54:54
>>13
> はたまた[整数(全体)]とかにした場合もパラドックスはないと納得してくれる 

ここには同意できないな。
「パラドクスがあるかないか」にではなくて
範囲を無批判に無限に拡張しているところに




18 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 10:05:33
> 範囲を無批判に無限に拡張しているところに 

ここの気持ち悪さはこの問題に似ている。

パンの耳が好きな男が考えた
もっと大きなパンがあれば、たくさんの耳が食べられる。
20cm四方のパンなら80cmのパンの耳。
1m四方のパンなら4mのパンの耳。
10km四方のパンなら40kmのパンの耳。
無限大のパンなら、無限大のパンの耳。
いやしかし、無限大のパンには耳はあるのだろうか?
もしあったとしても男はパンの耳にたどり着けるのだろうか?
大きなパンを望んだ男は
大好きなパンの耳をたべられなくなってしまった。


19 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 10:34:49
>>18
1辺を20cm→1mにしなくても
20cmの正方形を縦横50等分にして一辺4mmにすると
耳は20*50*50*4/100=2mに増える
一辺1nmまで切り刻むと
耳は3200000kmになる
もちろん切り刻まなくてもペアノ曲線のパンにすればおk

20 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 11:03:22
それ耳じゃない。 
パンを切っても切り口が増えるだけで耳は増えないよ

21 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 11:08:03
もし焼く前に形を整えたとしても
ペアノ曲線やシェルピンスキーガスケットの形状のパンでは
焼き上がりが不均一でうまく耳はできないだろう


22 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 11:19:36
耳は切り刻んでも耳だろう。
パンを切るのではなく、耳を切り刻むか
耳にペアノ曲線を描けば、耳の長さが
無限であると示せる

23 :7:2010/03/07(日) 11:44:33
>>16
パラドックスとは広義では、正しそうな前提と正しそうな推論から
間違ってそうな結論が出ることという意味で、>>16もそのような意味で
用いてると思うのだが、私は>>7は前提(問題文)に矛盾はなく
少なくとも[2a]のA君にとってのYの期待値はXの1.25倍である計算も
妥当で、結論(互いに相手の方が良く見える)も間違っていないと思っているので
パラドックスはないと言った。パラドックスがないことを示せと言われても
私は前提・推論・結論の正しさを主張するしかない。

>>7の例では、[2a]以降ではA君の確認した金額は10000円と確定してるので
例外(特異点)もなにも関係ないと私は主張してる。>>16
>>7の[2a]でもパラドックスが残る(発生する)としながら
毎回例外を考慮しなければならないと主張しているように見えるが
もしそうなら>>7の[2a]でも特異点の有無が関係あること
>>7の[2a]でも特異点を考慮しなければならないことを示して欲しい。
[1]でのXの期待値については、私が前に示したやり方では特異点の有無が
関係してることは、こちらも認める。

勝利宣言するほどのものではないが、説明できるのにする気がない
という態度を続けるなら、降りてくれた方がこちらも助かる。

24 :s5179:2010/03/07(日) 12:03:24
2つの封筒問題でこんな問題はどうだろう

数学者が死ぬと神様が現れる
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には1:2の比になるような数字が書かれていて
大きい方の数字を選べば天国行き、小さい方の数字を選べば地獄行きと言う
数学者が1つ封筒をぶと200と書いてあった
神様は他方の封筒を選択してもよいと言う

@他方の封筒の期待値はいくつか

Aこのとき数学者はどうすればよいか

Bすべての数学者は死ぬとこの神様が現れ同じような事を言う
 数学者の取りうる戦術によって地獄に行く確率は変化するか

25 :7:2010/03/07(日) 12:07:39
>>17
確かに、範囲を無限に広げる時には慎重にやらなきゃいかんし
どうにかして期待値1.25倍を保持させたまま無限に拡張した時
にそれなりの気持ち悪さは残る。元の問題とは違うことをやろう
としてるので、拡張するときに変な条件が必要かもしれない。
それは認める。

>>7の取り得る賞金の組を
"{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nは-3以上2以下の整数)"から
"任意の整数M,N(但し、Mは-3以下,Nは2以上)として
{10000*(2^n),20000*(2^n)}(nはM以上N以下の整数)"
に換えるだけなら、パラドクスはないと納得できるはず。


>>7の問題もまだ全部かたづいていない。
確率スレで前に書いた(>>566>>567>>645)けれど
[2a]での
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のs倍(s:定数)
A君にとってのYの金額の期待値はYの金額のt倍(t:定数)
とはいえない
[2a]に別の条件を仮定するなら、Xの金額の期待値はYの金額の1.25倍と
いえるかもしれないが、それはもはや[2a]でのXの金額の期待値ではない

[1]での
A君にとってのXの金額の期待値はXの金額のu倍(u:定数)
A君にとってのXの金額の期待値はYの金額のv倍(v:定数)
とはいえない
というのが私の意見なのだが、これについてはどう思う?

26 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 12:10:48
>>24
根本的に問題が違う、話にならない
それだと+200と‐100の数の違いの意味がないだろ

27 :7:2010/03/07(日) 12:20:58
>>24
最初に受け取る封筒が2つの袋のうちの大きい方か
小さいほうなのかが同様に確からしいとするなら
A数学者はどんな決め方をしても地獄に行く確率は同じ
Bそれぞれがどんな戦術を取ろうが地獄に行く確率1/2。
 地獄に行く数学者の人数の期待値は(死んだ数学者の半数)人

@一方の封筒に200が入っていた時の他方に100が入っている確率と
 400が入っている確率の比がわからないので答えられない。


28 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 12:35:39
>>22
本気で言ってるのならもういいや。

29 :s5179:2010/03/07(日) 12:43:27
>>27
おお、自分が考える解と全く同じだわ

@の期待値が分からないとするのがポイントだよね
200とすると100が入っている確率が2/3、400が入っている確率が1/3になる

よって他の封筒問題でも一方を引いたとしても他方の期待値は分からないとするのがいいと思うんだけど

30 :s5179:2010/03/07(日) 12:55:34
あ、ごめん最初に受け取る封筒が大きいか小さいかは関係ないと思う
受け取ってから数学者が一方を選ぶので

前提条件として『神様の書く数字に偏りは無い』を入れた方がいいかな?
でないと神様の書く数字の確率分布みたいな話が出て来るから
それとも『神様は無限大の数字を書ける』をいれる方がいい?
でないと書く数字が有限か無限かで答えが変るみたいな話になるから


31 :s5179:2010/03/07(日) 13:12:10
>>24の問題を考えたのは他所でお父さんがこどもに小遣いをくれる問題を解いたから
この問題は現実世界の話らしいのでお父さんの経済力や
こどもへあげようと思う金額【2つの封筒の中身が(X円、2X円)ならば3/2X円】が影響してくる
だから死後の世界にしたんだけど

それでも数学者達は封筒を選ぶ時に
『封筒に書く数字に偏りはありますか?』
『書く数字は有限ですか無限ですか?』
といった質問を神様にするのだろうか?

32 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 14:50:02
こいつバカじゃないの

33 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 14:54:05
>>22
線密度が一定でないパンの耳を長さで比較することはできない

34 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 14:57:32
人格を否定する発言はしたくはないので控えるが
彼が何を言いたいのかはさっぱりわからない。

35 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 14:58:48
>>34 は >s5179向け


36 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 15:10:18
s5179って確率スレで初期から1倍って言い張ってた人じゃないの

37 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 15:27:53
この問題ってもう解決した?
電車でボーッと考えてて思い至った考えなんだけど、ちょっと書きなぐっても良いかな?

この問題を設定した時点で、封筒A,Bが持ちうる金額の確率分布は非自明なんじゃないかな
分布の設定方法は無数にあるだろうけど、一例として
Aが0円〜n円の一様分布だとすると、Bの分布は密度5/4nのS1(0円〜n/2円),密度1/4nのS2(n/2円〜2n円)にわかれる
この分布を加味して期待値計算したら矛盾は無くなるんじゃないかな(まだ計算してないけど)

派生元スレ読んでないから既出だったらごめん。

38 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 16:06:38
あやまる必要はないが既出。

39 :s5179:2010/03/07(日) 18:00:42
>>37
そう、その分布の密度って考え方が分からないんだ

因みに今日は家族サービスしながら考えてたのは
AがXであったときBの期待値がXと仮定する
そうするとBがX/2の確率は2/3、2Xの確率は1/3になる
つまりX/2と2Xの比率は2:1
封筒に入っている数の比率が3:1の場合はX/3と3Xの比率は同じく3:1になる
ここからなにか導けそうなんだけど説明が上手くできない・・・

イメージとしては
封筒に入っている数の比率が2:1の場合
2,4,8,16,32・・・・・2のn乗・・・・・
3,6,12,24,48・・・・3(2のn乗)・・・・・
5,10,20,40,80・・・・5(2のn乗)・・・・・
取りうる値はつまり素数に2のn乗をかけた値になる
Aを開けたときにXという値が出るとするとBの値は小さい方に濃くて
大きい方に薄いように思うんだ


40 :s5179:2010/03/07(日) 18:45:16
>>39
出題にはとり得る値が自然数とは書いてないぞ

とセルフ突っ込み

自然数の場合は先に素数を引けば勝てるな・・・

41 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 19:26:34
>>39
分からないと言ってるわりには
答えの間近まで来てるな
元スレのさらに前スレから出てる答えだ

整数に限った問題ではないし
素数をかける必要はないが。

42 :s5179:2010/03/07(日) 22:29:16
<<41マジで!! 出来れば答えを教えてほしいな
<<24の問題は悪意が含まれているし、得られる値の意味が薄れてしまうので改変

ある数学者死ぬと神様が現れるた
二つの封筒を差し出し
この封筒の中には1:2の比になるような正の実数が天国で使える小切手に書かれていると言う
数学者が1つ封筒をぶと1000$と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選択してもよいと言う

このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は

43 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 22:38:26
>>42
なんで無駄に神なんか持ち出すんだよw>>24も。

神なら神能力でその都度確率分布を操作する存在と見られてもしかたないぞ
不要な小細工しすぎ。

44 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 22:41:51
すいません>>42だと神様が封筒をくれないかもしれないので訂正

ある数学者が死ぬと神様が現れた
二つの封筒を差し出し、この封筒の中には1:2の比になるような
正の実数が小切手に書かれていて天国で使える、一つ選びなさいと言う
数学者が1つ封筒をぶと1000と書いてあった
神様は生前数学者がすばらしい功績を残したので、他方の封筒を選んでもよいと言う

このとき数学者は封筒を交換した方がよいのか、またその理由は


45 :s5179:2010/03/07(日) 22:47:32
>>43
ごめん、人間だとなんか傾向があるような気がしていやなんだ

46 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:01:50
神だともっと駄目だろ。
変なとこにこだわって脱線するなぁ…

47 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:24:28
>>44
良いというのが期待値を意味するなら当然交換した方が良い

48 :s5179:2010/03/07(日) 23:36:24
>>47
交換した方が良い理由は?
あとこんな誤字脱字の多い問題に答えてくれてありがとう

>>14の人って正解知ってそうなんだけどなー


49 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:43:48
結局、正解が示されても納得いかない人、それが答えだと気づけない人が
あの手この手で納得する手段を模索するスレってとこでしょ。

50 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:47:46
みんな一言ずつコメントしていってくれたら幸せです

51 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:48:34
>>48
1:2である任意の組である確率を同様に確からしいことを前提とする
上記より1000と2000である確率と500と1000である確率は等しい
封筒の洗濯は無作為であるので、1000である条件付き確率は各々の確率の1/2である
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は等しい
よって、1000であるとき、その組が1000と2000であった確率と500と1000であった確率は1/2である
よって他方の期待値は1250である
これは元の1000より大きいので、期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い

52 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:50:33
>>51
一行目がさっそく日本語になってないのだが
助詞の使い方間違ってないか?

53 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:54:07
>>51
前提が正しいかどうかをまず検証することが必要

その答えは>>51が新たに用意した前提から導かれているだけ。

54 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:57:27
>>52
確かに酷いと思った

どの1:2である正実数の組である確率も同様に確からしいことを前提とする。
その確率をαとする。
開けた封筒が1000であった時、他方が500である確率も2000である確率も、
(α/2)/((α/2)+(α/2))=1/2。
よって期待値は1250。期待値の大きい方を良いとするならば取り替えた方が良い。

55 :132人目の素数さん:2010/03/07(日) 23:59:47
>>53
数学の問題では特に条件が与えられていなければそれらは同様に確からしいと解釈される。
今回の場合、「どの組であるか」と「組のどちらを引くか」は同様に確からしい。

56 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:01:36
>>55
全く与えられていないのならば、ね。

57 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:02:15
>>56
どこかに与えられていたか?

58 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:04:52
明確に与えられている

59 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:05:32
言ってみろ

60 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:10:47
金額1:2という条件によって
それぞれの組の存在確率が規程されるということに気付くか気付かないかだろうね

対数をとるなどの数学的操作を行えば
当面、金額設定における存在確率を考えずにすませる方法もあるが
その場合は対数をとるという余計な操作をした分
期待値の算出方法も変わってしまうが結果的には同じこと

61 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:12:11
>>60
もちろん金額1:2という条件によって規程される中での等確率しか論じていないよ。
見えないか?

62 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:13:47
>規程される中での等確率

なるほど、それでは別の問題をあつかっていたのね。
神が途中で都合のいい確率操作でもしてくれるわけですか。

63 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:17:12
>>62
特に指定されていないので神が確率操作したならば等確率であるように確率操作したものとする。
君の言う都合のいいが何に都合のいいことを指しているかを明示しない限り後者に答えられない。

64 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:17:39
ほら、1倍って言ってる人は結論ありきだから確率分布もそれに沿って考えるんですよ

65 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:21:19
>>63
神が現実を曲げた世界ですな

明示されても気付けない人には仕方ないんじゃないかな。
気付くまで頑張ってみてください

一個人が数学的事実を理解できなくても
数学的事実の方は変わらないので
いろいろ不具合やおかしさを受け止めて頭を働かせる謙虚さがあれば
そのうち辿りつけるでしょう


66 :s5179:2010/03/08(月) 00:23:10
>>52
でも>>51の言いたい事は分かった
( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が1:1なら
1000が出たときに他方が500の確率が1/2、2000の確率が1/2になるってことだよね

これを交換しない派に呼び込むには
@封筒の中身が1:2になるような数字は大きくなるにつれ比率が下がる
(小さいペア:大きいペア=2:1に )
A( 500,1000 )( 1000,2000 )の封筒になる比率が1:1であっても1000が出たときに
 500が1/2の確率、2000が1/2の確率になるとは限らない

@もしくはAが説明出来ればいいんだ、やっぱ議論した方が考えがすっきりするわ

67 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:25:16
>>65
ふむ、反論できなくなればそうやって「こいつらは気付かなくても自分は気付いてるんだ」と根拠の無い特権意識に逃げるしかないか。

68 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:27:21
>>66
@そうした確率分布にする根拠が無い。
A全事象の確率の和から個々の確率で割れば1/2になる。

69 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:28:01
成程な。
条件整理できてなかった人が
議論の中のふとした部分から条件整理できるようになったりするのなら
無駄ではないわけだ

というより、そのための隔離スレだったな。

70 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:28:03
ミス
A全事象の確率の和で個々の確率を割れば1/2になる。

71 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:33:00
>>67
根拠の有無も
(事実や理解から)逃げているのがどっちなのかも
運が良ければ気付ける日が来るよ
現実とかみ合っていない原因を納得できてない>>67
納得いくかいかないかだけの問題なわけだから。
あるいは神が現実を曲げた仮想ルールに基づいた確率論を構築するのも一興かもね。

反論っていう次元の内容じゃないしね…

72 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:33:54
>>68の答えから@の方が崩しやすいと感じる
なぜなら『そうした確率分布にする根拠が無い』の根拠が示されていないから

73 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:34:12
>>71
反論できければ反論なんて次元じゃないというしかありませんよね^^

74 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:36:07
ゴールはどこだろう

封筒の中の金額をA,Bとして
1)任意のAに対して、Bの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Aで表せる。
2)任意のBに対して、Aの期待値は(1/2) * (1/r + r) * Bで表せる。
1),2)が同時に成り立つような(A,B)の密度関数f(x,y)が存在し得ないことの証明?

75 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:36:51
>>72
組に関する提示された制限は「1:2である」のみで他に根拠となる情報は見当たらないが。

76 :7:2010/03/08(月) 00:51:23
元の問題文(>>1)には
一方を選んで確認すると10000円だった時の
他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない。
書いてないので、1:1が自然だと思う人が居る
書かれてないが、金額比から2:1が自然だと思う人も居て
書かれてないが、金額比から1:2が自然だと思う人も居る
私は、書かれてないのだから特定の比が自然なんてことはないと思っている

でも、どれが正解か、どれが自然か、どの立場が優れているかというのは
>>1の問題文から論理的に出てくることではなく
感性とか慣習の問題だ。このことは確率の比だけに言えることではない。
立場の違う人同士では話が噛み合わないのも当然だ。


この問題がなかなか解決されず、どこかのスレで質問される度に
荒れるのは、誰も正解がわからないというより
色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
明確なことを何一つ書かないのも、ある意味賢いと思うけどね。

77 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:55:10
>>76
>他方の袋の金額が5000円である確率と20000円の確率の比が書いてない
それは書かれるべきものではなく計算すべきものだ。

78 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:55:30
>>76
比が書かれていないけど、期待値がデカくなりそうなことは仄めかしてる
これを崩すために「どちらから見ても相手の期待値が+になること」を仮定して
背理法により確率分布の矛盾を導けば良い。

79 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:56:28
>>7
情緒的、曖昧過ぎる
それが良いとも悪いとも言わないが数学板ではその姿勢では無視されるだろう

80 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 00:58:39
どちらから見ても期待値が+になることは条件が違うから何も矛盾していないが


81 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:04:46
>感性とか慣習の問題だ。
それは違うでしょ。問題解決のためのスキルの有無の違いとは言えるかもしれないが。

1:2というところからちゃんと
数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば
1:2は分布に全く影響しないと思ってる人もいるわけで。

数学的感性、思考的慣習の違いとは言えるかもしれない。

>荒れるのは、誰も正解がわからないというより
>色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
正確には
違う意見に接したときに、違いを理解することを放棄しているから、ではないかな。
あるいは、自分にとって理解できないものは明確でないと切り捨ててしまうなど。

負の数や複素数などの概念にしたところで、
まずは直観的に納得がいかなくてもそういうものがあると受け入れてみることからはじめないと
先には進めないわけでね。数直線上のどこに現れるんだ?あらわそうとすると矛盾だとか
複素平面なんてものは詭弁だとか言ってる段階で止まってると理解は進むわけがない
負の数や複素数なら考える前に計算練習で慣れてしまうことができる分
受け入れるには単純でいいけど。

82 :s5179:2010/03/08(月) 01:05:27
思考実験として小さい値の封筒ペアAが取り得る値を
(1,2)(2,4)(3,6)(4:8)・・・・・・(99,198)(100,200)とする
そうすると大きい値のペアBは
(2,4)(4,8)(6,12)(8,16)・・・・・(198,396)(200,400)となる
ペアBが小さい値のペアだとするとペアCは
(4,8)(8,16)(12,24)(16,32)・・・・(396,792)(400,800)となる

1〜100までに262個
100〜200までに163個
200〜400までに125個
400〜800までに50個
数字が偏っているように思える
これは0から始まる直線に印を入れるとより顕著に見えると思う

83 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:06:36
>>80
だな
これは>>14でいうところの
視点を混同してるケースに近いか。
2人いるときに、双方の情報を混同している場合

84 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:07:19
>感性(中略)の問題だ。
それは違うでしょ。(中略)
数学的感性(中略)の違いとは言えるかもしれない。

85 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:11:38
>>82
そこからもう少し整理すれば
正しいイメージにいきあたりそう

思考実験の段階なので
最初に考えたAのペアの金額が等間隔になっているが
整合性をとるためには
その等間隔というところも不自然だということが
直観的にもわかってくると思う

86 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:12:29
>>81
負の数や複素数を提唱した人は君のように何の根拠も無く
「俺のイメージがちゃんとしたイメージなんだ!」なんて言わないけどねw

87 :s5179:2010/03/08(月) 01:15:10
>>82
などから大きな数字は小さな数字より2倍薄くなる公式を導きたいんだけど
誰か助けて下さい

88 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:15:34
>>82
「小さい値の封筒ペア」って何?

89 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:15:35
>>86
理解する気がない特定の(w)人はそこ止まりなんだろう、いつも。

90 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:16:38
>>89
何も反論しないくせに「俺の言うこと理解してくれない」w

91 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:20:14
>>87
もし本当にそれが正しいなら定義をきちんと整備すれば自ずと導けるだろう

92 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:21:08
>>67
そういうのは
「お前に反論することはできないが、お前には構っていたいんだ」
という意思表示だよ。


93 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:21:43
>>90
理解できてる人はいくらでもいるからね
あと、「俺の言うこと」ではなく数学的な考え方ね。

>>90みたいな理解を放棄して挑発しかしない態度の人には
数学的思考なんて無縁なことなのかもしれないな

94 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:22:33
>>92
論を唱えない人に反論を求められてもなー
頭大丈夫でっか?

95 :s5179:2010/03/08(月) 01:22:33
>>85
あなた>>14の人ですね
ヒントはくれるけど答えは教えてくれないなんて
さては数学者だな

96 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:24:10
>>93
出ましたw
「根拠は無いけど俺の考えの方が数学的な考え」w

97 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:25:49
>>95
答えは出ているのでは?
答えを導く過程を納得できない人がいろいろこねくり回す場なんでしょ、ここ。

98 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:26:15
>>97
出ていると思ってるなら言ってみれば?

99 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:28:31
>>98
理解する気もないし
理解しようとする態度でもないでしょ。

100 :7:2010/03/08(月) 01:30:18
試しに>>1の問題文に
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
 どちらになる確率も同様に確からしいとする」
とか
「金額の組は{5000,10000},{10000,20000}のどちらかで、
 {5000,10000}になる確率2/3,{10000,20000}になる確率2/3とする」
とかさらに別の適当な条件をそれぞれ加えても、別の問題ができあがるだけで
>>1の問題文中の条件と矛盾したりはしないでしょ?
>>1の段階では、どれを採用すべきかは論理的には決められないよ。

もちろん、これこれを採用するのが自然だと思うという流儀
があること自体は批判はしないが、論理的根拠もなく
他の流儀を認めないというのは困る。

101 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:30:25
>>81
>数が大きくなるほど密度が小さくなるようなイメージをつかんでいる人もいれば 

実際に数が大きくなるほど密度が小さくなるの?


102 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:31:03
>>99
もちろん正しいと思えるだけの論証を沿えて頂ければ理解しますよ
これが正しいんだとしか言えずに駄々を捏ねるので無ければね

103 :s5179:2010/03/08(月) 01:33:50
すみません>>99さん
どうかお願いですから教えて下さい
合ってても、間違ってても私には分かりませんが
いつか理解出来るように今聞いておきたい

104 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:34:10
>>100
「1〜4の書かれたカードのうち1枚与えられた時、それが1である確率は1/4」かどうかも流儀に依るという立場かな?

105 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:48:01
ここの人達は期待値の以前に平均値の意味もよく理解してないからなぁ・・・

106 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:51:18
>>101>>103へも。)
比で規程されていれば。

差で規程されていればどこも密度は同じ。
1000円だろうと、10000000000000000000000000000円だろうと、
-10000円だろうと。

107 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:52:04
きてい

規定

108 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:53:48
>>94
>>92は反論など求めていないので
それは 誤読か誤アンカーのどちらかである。

109 :前355:2010/03/08(月) 01:54:49
独立お疲れ。

>>76 が正しいな。
大きい方の袋の金額がどうやって決まるか、
それは全ての金額において等確率だ、
というところまではOKだよね。

それ以後は、「自分が取ったのが大きい方である確率:小さい方である確率」は、
金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1 が正しいし、
上限付き一様分布の上限∞への極限なら 1:2 が正しい。

で、そこは指定されてないんだから、どちらもあり得る。
ガンマ分布とか適当なのを選ぶと、
その比は極限とは関係の無いパラメータで任意に決まりそう。
結局「不定」が解だね。

110 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 01:59:10
>色んな人が自分の解答こそ本当の正解だと主張するからである。
けっこう当たってるな、ワロタ

111 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 02:00:16
>>106
ある一定の金額の入っている封筒が、
大きいほうの金額の封筒であることと、小さいほうの金額の封筒であることとで
密度が違うといっているのだと思いますが
その密度というのは 何の何に対する密度ですか?

たとえば人口密度は、土地の面積に対する人間の数 である密度 だと思います。
その場合の密度となんなのでしょう?


112 :7:2010/03/08(月) 02:01:38
>>104
もちろん、うるさく言うなら問題文に
"どのカードが選ばれる確率も同様に確からしい"等がないなら
"同等に確からしいと仮定するなら1/4"と答えるし
もっとうるさく言うなら、問題文から自然言語をできるだけ排除して
「この[論理式]が正しい証明をしろ」という形式でなければ
答えられない。こういう意味ではこんな流儀は他の流儀より優れているとは
とても言えない。

コインやサイコロ、>>104のような問題なら特定の条件がない限り
確率1/2とか1/6,1/4で考えることに文句はないよ。
ただ>>1の問題を例えるなら
「数字の書かれたカードのうち1枚与えられた時、それが1である確率は?」
って訊かれても、カードの枚数とかカードにどんな数字が書かれているのか
が異なれば確率も異なるし、その条件が全く与えられないなら
求められない・勝手に仮定したことを明記した上で答えるしかない
ってこと。

113 :s5179:2010/03/08(月) 02:05:55
>>109

>金額決定の分布が指数分布の分散∞への極限なら 1:1
>上限付き一様分布の上限∞への極限なら2:1

それは設問の時間軸で判断は出来ないのでしょうか?
『上限付き一様分布の上限∞への極限』はどういった前提条件が必要になるのでしょう?

114 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 02:12:54
>>112
前段落に関しては正に同意するところです。
後段落に関して言うなら>>104が妥当だと考えるのと同程度にどの組が出る確率が等しいと考えます。
つまりは期待値は12500になるという立場ですね。
と言っても仕方が無いでしょうから1つ質問ですが、
無限を取り扱う場合には分布が提示されなければ解は決まらないという立場なら、
「異なる実数が書かれた2枚のカードの一方を渡される。
それが他方より大きい確率は幾らか」という問題も解が決まらないという立場ですか?

115 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 02:45:29
112ではないが、

(等しい場合はとりあえず考えないことにする)
そのカードに書かれている数字を見てしまったら
分布が提示されなければ決まらない。

見ていなければ1/2 


116 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 03:51:04
>>115
これは見ても見なくても1/2じゃないの
一方を渡された段階で大きいか小さいかは決まってるよね
見てからなんか選べるの?

117 :s5179:2010/03/08(月) 04:06:12
>>115
カードに書かれている数字をみる
分布の提示を求める

それはもはや別の問題を解いているのでは・・・

118 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 04:07:14
>>116
極端な事を言うと、「一方のカードは0、もう一方は1」という場合すらあり得る
当然ながら、この場合はカードを見た時点でどちらのカードが大きいかわかる

119 :118:2010/03/08(月) 04:09:05
あ、俺は>>115じゃないよ

120 :s5179:2010/03/08(月) 08:35:51
>>119
その場合の設問は

異なる実数が書かれた2枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると1であった
カードに書いてある数字は1もしくは0である
それが他方より大きい確率は幾らか

になるのかな?

もうその場合、『異なる実数が書かれた』のところは省略していい?だめ?

121 :s5179:2010/03/08(月) 08:57:44
異なる実数が書かれた2枚のカードの一方を渡される。
カードを見ると1であった
それが他方より大きい確率は幾らか

の設問だったら
1/∞だけ大きい確率が増して解は1/2

Xの取り得る値の確率分布がX≦1のとき2/3、1≦Xのときは1/3
だったら解は1/3

ってあってる?



122 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 11:23:02
分布と組は同じ概念でしょ?

「組」って言ってるのは、無数の1:2の数字ペアを袋に入れてそこからペアを一つ無作為に取り出すっていう操作
特定の数字ペアが取り出される確率はその「重複度」によって定められる

分布(密度関数)は、(x,2x)が得られる確率をf(x)で定義したもの

123 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 16:31:22
重複度?
変なとこで使うんですね

124 :s5179:2010/03/08(月) 17:21:17
初めに封筒に入れた金額に重点を置いて>>1を解きます。

Aは偏りのない実数とする
封筒の中身を(A、2A)とする
A≠0円は金額比が 1:2 より自明である。
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。

1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は2Aである。
1/2の確率で2Aを選ぶ、このとき他方はAである。

よって封筒の中身の期待値は

1/2×A+1/2×2A=3/2Aとなる。

一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに2つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。

A=10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない(1/2Aは存在しない)
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A=10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない(4Aは存在しない)
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。

A=10000円、2A=10000円は独立した事象であり連続性はない

この試行をB回行う(Bは十分に大きい正の整数)
獲得できる金額は期待値の総和に近づく

次は封筒一つに重点を置いた解法を見つけてみたいと思います。
お金では無理かもしれませんが、αを偏りのない実数として2のα乗でいけるのではないかと


125 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 17:59:41
>中を見ると10000円であった
ここで逆にたどると
3A/2 = 10000円
より、Aの期待値は2/3 * 10000円
よって他方の封筒の期待値は
1/2 * 2/3 * 10000 + 1/2 * 2/3 * 10000 * 2 = 10000円

一方、選んだ封筒に10000円入っていたことから(10000,20000)又は(5000,10000)が二つの封筒の中身である。
前者である確率をpとして
p * 20000 + (1-p) * 5000 = 10000
p = 1/3
より、選んだ封筒が少額側である確率は1/3である

よって僕はバカである
誰か頭良い人、どこでおかしくなったか教えて頂けませんか?

126 :s5179:2010/03/08(月) 18:19:32
>>125

>>124に書いてある通り期待値の決定は封筒を2つとも開けたときになります。
もし期待値から遡るのであれば起点は2つの封筒を開けた時からにして頂ければ幸いです。

>選んだ封筒が少額側である確率は1/3

これはαを偏りのない実数として2のα乗で説明できそうです
αに偏りはなくても、2のα乗にすると密度が少ない側にかたよるように思います
たぶん封筒の中の金額 5000:10000:20000=√2:1:1/√2と予想します。

しかし2のα乗の方法の期待値だと
>この試行をB回行う(Bは十分に大きい正の整数)
>獲得できる金額は期待値の総和に近づく
は満たせなくなると予想します
これは封筒を1つ選んだ時点で期待値を求める為に起こります

なので2のα乗を使った解法を見つけるモチベーションが下がっています。


127 :s5179:2010/03/08(月) 18:24:32
すみません

>選んだ封筒が少額側である確率は1/3

ではなく

選んだ封筒が少額側である確率は2/3になると予想しています。

128 :132人目の素数さん:2010/03/08(月) 23:22:02
よって僕はバカである

なんだこれ

129 :s5179:2010/03/09(火) 00:20:31
10000円が出たときに
他方の封筒の中身は5000円か20000円に絞られます
そしてその比率は1:1であるかのように感じます
しかしそれは

5000円の確率:20000円の確率=1/(∞-∞+2):1/(∞-∞+2)≠1:1

の状態なのではないでしょうか?

これが正しいか間違ってるか
この分母に入るのが∞-1、∞-2、∞-3、∞-∞+1、∞-∞+2、∞-∞+3のいずれか
議論する価値はあるかと思います

上の疑問は最近寝不足でレス待ちしてたら寝てしまい夢に出た
粘着で気分の浮き沈みも激くなってきてるし病気かも・・・・

130 :132人目の素数さん:2010/03/09(火) 00:23:57
自覚症状あるうちは大丈夫だ
図書館にでも行ってくる方が手っとり早いし健全だよ

131 :s5179:2010/03/09(火) 00:34:08
>>130 はい、そうします ありがとう
今は2つの封筒問題に夢中です、この前まではCOD:MW2でした
2つの封筒問題をアルファルファで見つけて以来やってませんが
今日はもう寝ます・・・・かゆ・・・・・うま・・・・・な状態です。

132 :132人目の素数さん:2010/03/09(火) 18:15:49
完全な決着が付いてない問題だから調べたところでどうもねぇ・・・
図書館、というか論文でなら期待値12500で交換した方が(期待値的に)良いとしてるもの方がよく見るけど・・・

133 :s5179:2010/03/09(火) 22:10:18
>>130
>>132



134 :s5179:2010/03/09(火) 22:17:11
>>130
>>132

今日は仕事で遅くなり図書館には行けませんでした。
仕事中にいろいろ考えたので書き込みしてみます。

2のα乗で解を求めるのには失敗しました。
値の数の分布に偏りはみられませんでした。
やはり1つの封筒を開けた段階で期待値は求められないのかもしれません。

あと∞−∞+2も誤りでした。
気づいた時に顔が真っ赤になりました。

135 :s5179:2010/03/09(火) 22:54:18
[2つの封筒問題、上限20000円版]
2つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は1:2とする、上限を20000円とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか?

(解)
Aは1〜10000の整数とする、封筒の中身を(A、2A)とする
設問よりお金を入れた段階で金額が決定されている事は自明である。

1/2の確率でAを選ぶ、このとき他方は2Aである。1/2の確率で2Aを選ぶ、このとき他方はAである。
よって封筒の中身の期待値は 1/2×A+1/2×2A=3/2Aとなる。
一方を選んで中を見ると10000円であった
このとき他方の封筒が5000円であるか20000円であるかは不明である
よって期待値12500円は間違いで別の袋を選ぶ方が得か損かは不明である
他方の封筒を開けることで初めに2つの封筒に設定された期待値を知る事が出来る。

A=10000円とすると他方の封筒は必ず20000円となる、このとき5000円の封筒は存在しない(1/2Aは存在しない)
他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
2A=10000円とすると他方の封筒は必ず5000円となる、このとき20000円の封筒は存在しない(4Aは存在しない)
他方の封筒を開けると期待値が7500円であったことが分かる。
A=10000円、2A=10000円は独立した事象であり連続性はない

封筒を引く確率を (5000円,10000円,20000円)の並びで示す
封筒が選ばれていない時 (1/10000,1/10000,1/20000)
(5000円,10000円)を封筒に入れたとき(1/2,1/2,0)  
(5000円,10000円)の内10000円を引いた後(1,0,0)
(10000円,20000円)を封筒に入れたとき(0,1/2,1/2)
(10000円,20000円)の内10000円を引いた後 (0,0,1)

∞は考えがまとまらないので有限に、円が単位なので整数にしてみました。

136 ::2010/03/10(水) 02:22:52
期待値から、引いた方が得

感覚的には、安い方を引いたなら次は高い方が出る可能性が高い。
高い方を引いたなら安い方が出る可能性が高い。
可能性がどれぐらい高いかを考えれば、引いた方が得になる。

137 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 02:43:23
>Aは1〜10000の整数とする
これは「場合により1:2が成り立つ」
「場合によっては1:2が成り立たない」という
ものすごくいびつな条件を作った上で計算していることになる。
ぶっちゃけてしまえば無意味。

>他方の封筒を開けると期待値が15000円であったことが分かる。
それは期待値とは言わない。

138 :s5179:2010/03/10(水) 04:19:33
>>137

まずは1:2が成り立たない反例からどうぞ

139 :s5179:2010/03/10(水) 04:22:09
う、寝起きは日本語がおかしい
>>137 1:2にならない反例を一つ示して下さい

140 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 06:03:06
10000の場合
5000と10000のうちの10000および
10000と20000のうちの10000

1の場合
1と2のうちの1のみ
0.5と1のうちの1 という可能性は排除されている

20000の場合
10000と20000のうちの20000のみ
20000と40000のうちの40000 という可能性は排除されている

関与する数字にこれだけのいびつさが生まれている

すなわち10000という金額を確認したという事実だけ優先する立場なのに
理由もなく1から10000という選択肢を後から用意したため

これが良く言われている結論ありきの論法と言うやつかな

141 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 09:27:54
>>137はなにを言っとるの?

> 「場合によっては1:2が成り立たない」

その条件下では成り立つという話なのに
それ以外の話をしてもそりゃ無意味だわな。

142 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 09:31:30
>>140
「上限20000円版」とことわってんだから別の問題なのだと思うが。
脊髄反射で反論する前に、もう少しよく読んだほうがいいのではないか。



143 :s5179:2010/03/10(水) 21:49:46
期待値12500円派もしくは11250円派の>>140さん
反例ありがとうございます。
着眼点は間違っていないと思います。
論理的思考のできる>>140さんは数学が得意な方だと推測します。

期待値は分らない派もしくはその他の関数派の>>141さん >>142さん
的確な指摘です、議論の参加を願います。

私は10000円を開けて見た時に期待値は分らない派です(15000円派ではありません)

>>140 での指摘は期待値12500円での解法では間違っていません、まさに的確です。
しかし>>141さん>>142さんには>>135に違和感はなかったと思います。

期待値12500円もしくは11250円での解法では有限かつ取り得る値が整数の場合
初めに1,3,5,7,9などの奇数や、10002以上の値を引くことが出来ません

これはどんなに値の上限を増やしても変りませんし。
有限の場合、整数を実数に替えても上限の1/2より大きな数字を最初に引くことが出来ません。

期待値12500円もしくは11250円の解法は応用が効かなく、実施するのにパラドクスを含み過ぎているように感じます。


144 :s5179:2010/03/10(水) 22:07:54
>>136さん

理由が曖昧過ぎます、この文系脳め!!

>>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です。

145 :s5179:2010/03/10(水) 22:22:21
たびたびすみません日本語を訂正します。

誤 >>135の問題は勝率75%の超ウルトラボーナス問題です
正 >>135の問題は引く前から勝率75%が決まっている超ウルトラボーナス問題です

146 ::2010/03/10(水) 22:33:11
>>144
いや理由は期待値から明らかなんだよ。数学的に答えが出ているんだから、
これ以上の理由はないだろう

ただ理解できないようだから感覚的に理解するために、
わかりやすく答えただけ。

147 :s5179:2010/03/10(水) 22:43:24
べさんの出した期待値を教えて頂ければ
少しは理解出来るようになるかもしれません

148 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 23:10:56
> s5179
そろそろ病院行ったら?

149 :s5179:2010/03/10(水) 23:13:54
ええ、行ってきました。
脳に異常は見られませんでした。


150 :s5179:2010/03/10(水) 23:22:22
レスを待つのも暇なので
●を購入して「こんな確率求めてみたい その1/7」を読んでいます。
みんな楽しそうだなー
その時に参加したかったです

151 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 23:31:53
成程、脳がやばそうだという自覚はあったんだ。

152 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 23:32:54
>>150
「語るに落ちる」とはこれか
やっぱりなw

153 :s5179:2010/03/10(水) 23:39:32
>>152 
落ちてないけど、そう言いたい気持ちはわかる
似たようなのがいるね俺と
850まで読んだけど歴史は繰り返すを地で行ってる

154 :132人目の素数さん:2010/03/10(水) 23:41:55
苦笑

155 :s5179:2010/03/10(水) 23:45:25
>>153
読み終わった
850-1000はスレが荒れて理解しながら読まなくていいから楽だった

156 :132人目の素数さん:2010/03/11(木) 00:19:22
s5179は結構まともだとおもうぞ
言ってる事はいまいち分からないが、話せば分かりそうな感じ

157 :s5179:2010/03/11(木) 00:28:24
>>156
ありがとう
説明が難しいので、分りにくくなっていると思います。
でも矛盾はないと思います

158 :s5179:2010/03/11(木) 00:33:12
たとえば、一番分ってもらえないと思うのは

「期待値12500円の解法は(5000,10000)(10000,20000)の場合なのに
初めに5000、20000を引く可能性を排除してしまっている、これには矛盾がある」
などです。

多分 初めに10000引いたんだから当たり前だろボケと思われるでしょう

しかし本当なのです。

159 :156:2010/03/11(木) 01:25:30
>>158
それは「矛盾がある」という言い方をするのがいけない
普通の条件付き確率の問題として説明すれば良いんじゃないか?

160 :132人目の素数さん:2010/03/11(木) 01:27:16
説明能力の問題?

161 :156:2010/03/11(木) 01:38:14
>>160
>>126とか>>129とかは意味不明だが、最近の書き込みはそうなんじゃないか

162 :s5179:2010/03/11(木) 02:12:59
遅レスですみません反証します。

初めに引いた値が10000の時
(5000、10000)もしくは(10000、20000)の組み合わせであると考えられる
カードを配る親から目線(子が12500派の子)
(5000、10000)のとき試行A
1/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・@ 
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・A
期待値-7500
<<<<<超えられない壁>>>>>
(10000、20000)のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・B
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・C
期待値-15000

期待値12500円の解法はAとBの平均をとっています、10000を初めに引いた事によって@とCの可能性を切り離しています。
しかし@とAは同一のゲームで切り離せません、同じようにBとCも切り離せません
便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変りません、
試行Aの場合、封筒は1/2の確率で5000もしくは10000で期待値は-7500です
試行Bの場合、封筒は1/2の確率で10000もしくは20000で期待値は-15000です

試行A、Bの平均をとったものが11250円派の解法です。
試行A、Bは起こりうる確率は同じです。
しかし試行A、Bは同じ回数起こるとは限りません
たとえば試行C(100、200)もA、Bと同じ確率で起こり得ます。

これが期待値12500円と11250円の反証です。

163 :s5179:2010/03/11(木) 02:29:53
>>158
そうですね
10000円を最初に引いた問題だけど
5000円や20000円も最初に引く可能性があるよねと言いたかったのです。

でもたぶんこの言い方だと12500円派の人にその時の期待値は6250円と25000円ですよ、ププ
とか言われそうだなと思って。

164 :s5179:2010/03/11(木) 02:48:06

>>162 によりこの2つの封筒問題(>>1)では子の選択により親の期待値に変化はありません
よって封筒を引く必要はありません。

因みに>>135は  (A、2A) Aは1〜10000の整数なので
(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)・・・・・(4999,9998)(5000,10000)(5001,1002)・・・・(9999,19998)(10000,20000)
のように10000通りの封筒の組み合わせになります。

初めに選んだ数字が奇数のときはもう1枚ひく 2500/10000
初めに選んだ数字が偶数で2〜10000は大きい数を引く確率1/2×5000/10000
初めに選んだ数字が偶数で10002以上の時は引かない 2500/10000

で勝率0.750の問題です。

165 :s5179:2010/03/11(木) 03:06:37
>>164より
その他の2つの封筒問題の場合でも
封筒の中身が有限で実数の場合は値の範囲が分れば
その半分より大きければそのままで必勝(全体の1/4の割合)で1×1/4
それ以下であれば勝敗は 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利

値の範囲が∞で整数の場合
初めに出た値が奇数でもう一枚引くで必勝1/4
その他は勝敗 1/2×3/4
勝率5/8で少し有利

になると思います。

166 :s5179:2010/03/11(木) 03:09:33
>>162
誤 カード
正 封筒

でお願いします。

167 :132人目の素数さん:2010/03/11(木) 05:17:52
・・・・・・・・・

168 :132人目の素数さん:2010/03/11(木) 16:24:18
>>162

ヒント:条件付き期待値

問題には,
> 一方を選んで中を見ると10000円だった。
とあるので,5000を選んでから10000を選ぶ場合や
20000を選んでから10000を選ぶ場合は除外されている.

>>14

の指摘のように,2つ目の封筒が高額の方である確率が1/2である
かどうかは,定かではないが,この問題の場合,
残りの封筒の中身が5000円か10000円かは
等確率であるとするのが妥当と思われる.
(いずれにしても,この確率を求めることは数学ではない.)
したがって,
>>1
の通りに期待値は,12500円でいいと思われる.

だからといって,別の袋を選んだ方が,得になるかどうかは微妙な問題
ではなかろうか?
10000円が確定しているところから,確率1/2で損をするのだから.

金額の比が1:100であって,最初の封筒の中身が
1億円だった場合なら,残りの封筒を選ぶと期待値は
50億50万円になるが,封筒を変更する人がいるでしょうか?
確率1/2で100万円になってしまうのは損と考えるのが
常識的と思われるが....

169 :s5179:2010/03/11(木) 20:47:17
>>168

のヒントにより自分の答えが間違っていることに気が付きました。

封筒の中身が1:2になっている  ・・・・@
一方の封筒を引くと10000円だった ・・・・A NEW

より

(T) 他方の封筒の期待値を求める。
(U) 他方の封筒を引いた方が得か

これを求める問題だったんですね
やっと理解出来ました。

またあとで自分なりの答えを書き込みたいと思います。

170 :s5179:2010/03/11(木) 22:24:36
絶望した
答えに絶望した・・・

そして>>1をよく読んでいない自分に絶望した

>>1
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか?

間違っています。

>>1の問題の答えは

期待値の計算式 5000a+20000(1-a) (aは5000、10000の封筒ペアを用意する割合)

期待値は分らない(期待値の取り得る範囲は5000円〜20000円)
期待値>10000円になるかどうか分らないので引くべきかどうか分らない

出題ミスじゃん時間返せ

171 :s5179:2010/03/11(木) 22:40:59
因みに

>>1
の問題は明示していなければ1/2とするならば 期待値12500円となり引いた方が得

2/3より多い割合で5000円を入れるならば期待値が10000円を下回り引いた方が損

172 :s5179:2010/03/11(木) 22:43:14
また間違えた

もう一度やり直します。

173 :s5179:2010/03/11(木) 22:46:12
間違えていなかった

もういいよ・・・・

174 :132人目の素数さん:2010/03/11(木) 23:37:33
この調子で完走してくれw

175 :s5179:2010/03/12(金) 00:19:54
期待値12500円の時に感じるパラドクスを解明

10000円を引く・・・@ 現在1
金額が1:2より
(b,5000、A,10000)・・・A  推測の過去
もしくは
(A,10000、B,20000)・・・B  推測の過去 

AはB等確率なので次の封筒の期待値は
5000×1/2+20000×1/2=12500

期待値が12500円なので他方を必ず選ぶと決める ・・・C 現在2

BにおいてB,20000円を引いて期待値25000として必ず他方を選ぶ 
BにおいてA10000を選んでもB20000を選んでも必ず他方を選ぶ選択をする

封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために
封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、
今度は同じ議論で封筒Aに交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続ける

どんな2つの封筒の組み合わせでも大きい方を引いた時も小さい時を引いた時も他方っを選択するのはおかしい。

176 :s5179:2010/03/12(金) 00:28:41
途中で書き込んでしまった
まだ書き加えたり削除したりの途中です。
年度末で忙しいのに死んでしまう

10000円が出たときに
他方が5000円もしくは20000円であることを等確率にしていいんだろうか?とか
等確率に定義してしまって、問題を解く、パラドクスも説明する
を目指しています。

前スレ、前々スレ、他のサイトを参考にしながらですが。

やはり親目線の解き方が楽でいいなー、と思っています。

177 :s5179:2010/03/12(金) 04:01:17
<<1

の問題は
明示されてなければ確率は均等の法則に従えば12500円

引いた方が良いかどうかは、
1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので、引いても引かなくてもどちらでもよい。

みたいね、睡眠時間返して欲しいよ・・・

178 :132人目の素数さん:2010/03/12(金) 11:26:05
「明示されていなければ確率は均等」には異論はないが
だからといって、何が何に対して均等であるかの要請については
特別な法則があるわけではない

たとえば
主催者が、ある1円について、このゲームのためにそれを用立てる確率は
どの1円についても均等と仮定すれば
2つの封筒の合計金額が15000円のゲームと合計金額が30000円のゲームが
執り行われる確率は等しくはならない。


179 :132人目の素数さん:2010/03/12(金) 11:27:01
>>177
> 1/2の確率で同額の獲得金額の増減があるので

同額ではないけど?

180 :132人目の素数さん:2010/03/12(金) 16:07:53
>>178
ですな。

だからこそ何について均等なのかを考え
どこに影響が出て、どこに矛盾が起きうるか考える必要が出てくる

181 :132人目の素数さん:2010/03/12(金) 16:33:50
何について均等かによっては矛盾が起こるのですか?


182 :s5179:2010/03/12(金) 17:20:00
>>179

カードを配る親から目線(子が12500派の子)
(5000、10000)のとき試行A
1/2の確率で子が5000を選ぶその後10000選ぶ・・・@ 
1/2の確率で子が10000を選ぶその後5000を選ぶ・・・A
期待値-7500
<<<<<超えられない壁>>>>>
(10000、20000)のとき試行B
1/2の確率で子が10000を選ぶその後20000を選ぶ・・・B
1/2の確率で子が20000を選ぶその後10000を選ぶ・・・C
期待値-15000

便宜上、子を12500派プレイヤーにしましたが、交換しない子、交換したりしなかったりする子
子の振る舞いによって期待値は変わらない

これだったら間違ってない?
この問題は引く人間の選択によって獲得出来る金額に差はでないと思う。

じゃあ、期待値の計算式 5000a+20000(1-a)
においてaの取り得る値は1か0、1か0の比率はわからない。
期待値は5000もしくは20000、
あたりまえだし期待値じゃないけど真理は含まれていると思う

なんか1つ目の封筒を見ないと取り得る値の範囲が絞れないけど
見てしまうと低い値、高い値を最初引けなくなってしまう。
ウロボロスの蛇に首を絞められてる気分だ

AとBを足すからおかしくなるんだよ
試行AとBは全く別だから、足したり引いたりできないのに

183 :s5179:2010/03/12(金) 22:03:58
みんなはどんなイメージで>>1の問題を解いているのだろうか?

私は、
大きな封筒がありその中に小さな封筒が2つ入ってる
封筒の中にはそれぞれ数値が書かれた紙が入っていて、その比は1:2になっている。
大きな封筒は非常にたくさんあり、数値に偏りなく、見た目には無地で見分けがつかない
その大きな封筒が大きな箱にぎっしり入っている
試行の度に大きな封筒を1枚選び、試行が終われば戻す

こんなイメージで問題を解いているので
1度(5000,10000)の大きな封筒を選んだからといって、次に引く封筒は全く違う値だし
どんどん繰り返し、やっと10000がでたらまた5000がペアだった
そんなイメージで解いているんですが


因みに
私は社会人で仕事ぶりもそこそこです。
妻も子もいます(虹の嫁ではないです)。
言いたい事は
私は頭も精神もおかしくはありません
2chでは粘着ですが、久しぶりの書き込みなので暴走気味なだけです
議論を楽しんでいるので反論は大歓迎です、もっと議論したいので煽り気味です
数学は好きでした、特に確率の問題は大好きでした。

184 :132人目の素数さん:2010/03/12(金) 23:29:25
分裂症の気はあるかもしれんね
自分で分かってたことが分かってない等

185 :7:2010/03/12(金) 23:52:15
>>182
所々私の理解の及ばない箇所があるけれど
子が金額10000円を確認した後、交換するかどうか決める前の時点では
二つの封筒の金額は{5000,10000}か{10000,20000}かのどちらかに決定しているし
{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行なのだから
子が{5000,10000}の時と{10000,20000}の時を同時に考えて期待値を求めるのは
おかしい、と言ってるように見える(全然違ってたらすまん)
が、{5000,10000}の時と{10000,20000}の時とは別の試行だかといって一緒に考えることは
できないというのは早計だと思う。

例えば、親が賞金の組を決める時
{5000,10000}が選ばれる確率と{10000,20000}が選ばれる確率の比を1:99
として、子もそのことを知っているとする。金額の組が決まり、親が2つの封筒を
用意し、子が1つの封筒を選んで中を確認する。すると中身の金額は10000円であった。
もしこの子が私であったら「この時点で金額の組は{5000,10000}か{10000,20000}か
のどちらかに決定しているけれど、{10000,20000}が選ばれた可能性が高い、つまり
他方が20000円である可能性が高い」と考えて交換する。
子にとって10000円を確認したことは重要な情報であり、交換するかしないかの
判断材料になり得る。

別の問題として比が99:1とし、それ以外は同じ(確認した金額10000円)だったら、私は交換しない。
>>1の問題では、この比が何対何かは論理的には判断できないし、1:1と考えるのが自然だとは
思えないので、交換するかどうかは決められない、というのが答え(>>1自体はこれで終了)だと思う。
けれど、比が1:1となるような問題(または2:1となるような問題)を考えた場合
子にとっての他方の金額の期待値が12500円(10000円)と言えるか?
交換した方が良い(交換しない方が良い)と言えるか?
ということが私の個人的な課題。そして上はyes,下はnoと自分の中では答えも出てる。

186 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 00:34:58
s5179さん
あまりに混乱しているようなのでフォローです。
エクセルできますよね。
数学は実際に計算やってみるのが基本です。
A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2
と入力します。
意味的には、
 A列が一様な整数分布(の一部)→封筒の組を選ぶ
 B列が手にした数値(割り切れる問題を避けるため2^Aにしてあります)
 C列が交換して増える場合
 D列が交換して減る場合
仮の計算のため、とりあえずは1から10で計算します。
11行目で合計を求めてください。
B列が2046、C列が4092、D列が1023になります。
BからCの場合と、BからDの場合はA列の整数を一様に取ることができれば1/2になることも理解できると思います。
この場合のBの数値を手にした人の期待値は、
 =(Cの合計+Dの合計)/(Bの合計*2)
で計算でき、上の数値を使って計算すると1.25になります。


187 :186:2010/03/13(土) 00:35:43
続き

さて、この表をよく見るとこのパラドクスの原因がどこにあるか一目瞭然で、
10組しか封筒がないのであれば、整数10のときの封筒の組からは2048に増えることは無く、
「交換しない!」が正解なので、2048を1024へ書き換える。
同様に整数1のときも書き換えるとパラドクスは消え、比率は1.00になります。

いまは1から10でやりましたが、この上限を無限に飛ばしたのがもとの問題だと考えています。
私の立場は、
・片方の封筒の中身を確認したあとの条件付確率として、1.25倍はパラドクスではない
・とはいえ、整数(or自然数)全体の一様分布を作ることはできない
 →封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
・当然、他の人が仮定しているような発散しない分布を仮定すれば、交換後も1倍になる
という感じです。


188 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 02:23:52
>>186-187
この問題を現実に置き換えることは不可能ということでよろしいですか?
それなら同意見。


189 :s5179:2010/03/13(土) 04:30:13
ありがとう御座います。

>>186-187

そう、そこです、そこが混乱する所です。

A列に1,2,3,4,5,6,7,8,9,10と入力
B列に=2^A列
C列に=B列*2
D列に=B列/2

これのA列を正の実数にして封筒の1方に
C列を一方に入れパッケージしたものが自分の考える大きな封筒の中身です。・・・@
A列とB列のパッケージでも同じ分布の封筒になるかと思います。・・・・A

しかし@とAの大きな封筒の色は違いませんでしょうか?

@とAを同じ箱に入れると@とAの大きな封筒の枚数は同じですが
数値は発散してしまいます。

B列とD列の大きな封筒の色は同じです、少し色は薄いかもしれません。

(A、B)の大きな封筒<黒い>、(A、C)の大きな封筒<白い>、(A、D)の大きな封筒<A、Bのものより少し薄いが十分に黒い>
のまだらな箱の中身が出来るように思います。

あとE列に(1/2)^A列の封筒も在りかと思います。(A、E)の大きな封筒の色はグレー?か?・・・C

@、A、B、Cが混ざった箱はとてもカオスで自分の理解に耐えません、ええ頭が爆発しそうです。
A列をただの実数にしてみんなに封筒を引かせ借金まみれにしたくなります。

190 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 04:31:33
整理ができるまであと800レス強で足りますかのう

191 :s5179:2010/03/13(土) 04:33:53
訂正

>>189のAにおいて同じ分布としたのは誤りです。
寝起きなのでご容赦願います・・・・

ではまた寝ます。
レス待ちは寝ることにしました、
これで健康が取り戻せそうです。

192 :s5179:2010/03/13(土) 04:37:05
>>190

そうじゃのう、わしらが死ぬ前に解けるとよいのう

193 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 04:53:28
>・とはいえ、整数(or自然数)全体の一様分布を作ることはできない
>→封筒を引く前の期待値が発散してしまい、ここがパラドクスの原因
一様分布でない分布のもとでも、同様のパラドクスが起きるように設定できるらしい。
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
その場合でも、封筒を引く前の期待値は発散するようだが。

194 :s5179:2010/03/13(土) 05:46:11
寝付けなかったので、寝る前に補足

>>189
のAのパッケージの仕方は【2^A、2^(A+1)】です、Cも同様です。
Cの色は青?

せっかく円と言う単位が付いているので
Aは正の整数
一方はA円、もう一方は2A円
Aの値の範囲が∞までの場合と160,000円くらいまでに分けて考えたらどうでしょうか?
そうすれば1≦A≦80,000で
箱の中身は大きな封筒80,000枚で考え易いののですが・・・・

まあ、この大きな封筒にパッケージと言う考え方の同意自体取れていないのですが・・・

明示されていない条件を明示して(または仮定して)
みなで同じ問題を解かないですか?

195 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 05:48:52
寝付けなかったので、

196 :186:2010/03/13(土) 10:36:23
>>188
そうです現実問題としては、整数・自然数全体に一様分布を入れることはできないと考えています。


197 :186:2010/03/13(土) 11:01:03
>>189
失礼ですが、混乱されているようなので、いきなり連続体上での分布を考えるのは避けたほうがよいと思います。
今回の例示を1〜10の整数にしたのは、離散であればいろいろ検討しやすいと思ったからです。

私の考える、この問題の作業ステップは
・1〜Nの自然数から1/Nの確率(一様)でひとつ選択し、nとする
・2つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意
・プレイヤーはこのうちのひとつを選択し、中身を確認
という流れです。
この1ステップ目のN大きくなり、最終的に無限大に発散させたものがこの問題の1例となります。
※他の例を作成することも可能
 繰り返しになりますが、無限大に発散させた状態で確率を論じることは不可能

考え方としては、
・1/Nの確率でひく、最大値Nを引かない限り1.25倍になることは異論がないと思います。
→ひとつの封筒の中身を確認し、2^(N+1)でなければ1.25倍
・このNを大きくしていくと、最大値Nを引く確率はどんどん小さくなる
・Nを無限大まで発散させた場合を想定すると、どんな数値を引いても、それは最大値ではないので、1.25倍が適応される
という風に考えています。

198 :s5179:2010/03/13(土) 12:42:54
186さん

まず1点、2^Nは不味いんじゃないでしょうか?
自然数ですよ
たとえば2^N=10000としてNの値を教えて頂きたいのですが・・・

199 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 15:42:18
>>198

俺は>>197=>>186ではないが、

>・1〜Nの自然数から1/Nの確率(一様)でひとつ選択し、nとする
>・2つの封筒として、「2^n」と「2^(n+1)」を用意

>>197の場合、1からNまでの任意の自然数なのはnの部分のことであって
2^nが1からNまでの任意の自然数とは言っていない

200 :186:2010/03/13(土) 15:54:28
>>198
(199さんフォローありがとうございます)
199さんの言うとおりで、いきなり任意の自然数で考えると、2で割り切れない不都合が起きるので、2^Nに置き換えて考えています。
2で割れる、有理数体や実数体で考えると、自然数での単純さが無くなり混乱の元となるので、代替案としての説明です。
すぐには納得行かないかもしれませんが、基本的な考え方は一緒なので、このやり方で一度考えてみませんか。


201 :s5179:2010/03/13(土) 17:26:34
>>200

A=2^nとすると
2^(n+1)=2・2^n=2Aです。

つまり(A、2A)で表す事が可能です。
金額の比は1:2とありますので全てのやり方で応用可能です。

期待値12500派の人は(A、2A)ではイケナイ何かやましい事があるのですか?

<<<例えば最大値の半分を超る値を初めに引けないとか>>>

202 :186:2010/03/13(土) 18:33:09
>>201
確かに私は期待値12500派ですが、(A,2A)でいけないとは、言っていませんよ。
ただし、普通にAが自然数であれば、奇数は2Aになりえないので、交換するときに
余計な条件となりかねないので、今回の思考実験では避けたいのです。
#Aが有理数や実数とする場合は別の困難が発生します。

自然数全体と2^n(n:自然数)は1対1対応するので、ひとつの例としては問題ないと考えています。


203 :s5179:2010/03/13(土) 18:55:41
>>186
問題はない?

先ほど出した
『2^n=10000としてnの値を教えて頂きたい』
の答えが必要になりそうですね
答えられないのでしたら2の累乗を使うのであれば対数も使えるように
実数に代えて下さい


204 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 20:17:24
期待値12500を満たす母集合を考えると、有限ではありえない。
無限の母集合から何かを選択する操作に、統計とか期待値の概念はない。

205 :186:2010/03/13(土) 20:18:31
>>203
いやまあ、どうしても実数で考えたいというであれば、止めはしません。
実数で考えて、混乱されているようなので、自然数(整数)で考えてみることをお勧めしたつもりです。
実数上での確率の扱いに慣れているのであれば問題ないです。
(とてもそのようには見えませんでした)

私もs5179さんのおっしゃるように封筒の作り方を確立することには賛成です。
私の提案が、自然数nに対して、「2^n」と「2^(n+1)=2*2^n」の組をつくることです。
この利点は、最大値と最小値以外であれば、どの数値を引いても勝つ確率が1/2であることがわかりやすいことです。


206 :186:2010/03/13(土) 20:27:39
>>203
欠点としては、もともとの問題の10000円に対する自然数nが設定できないことですね。
(まあ、「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」にしてもいいのですが)
とにかく、自分の理解できるところまで引き返してほしいです。
(複雑なものを複雑なままで考えても前進は厳しいですよ)


207 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 20:32:05
結局期待値 1.25 って言ってる人は、
任意の実数xを選んだとき、(2x + x/2)/2 が 1.25x だと言ってるだけじゃないの?
そんなの統計でも期待値でもない。

208 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 20:34:17
俺の知る限り、実証する方法のないものは期待値とは呼ばない。

209 :s5179:2010/03/13(土) 20:46:11
私は

(A、2A) でAは自然数を推します。
値の分布も均一で密度の偏りもありません。

Aの値の範囲は∞の場合と有限1≦A≦40000の場合を分けて考えればよいと思います。

設問はA=10000で奇数ではないので、当面は奇数が出る問題は考える必要が無いかと思います。


210 :186:2010/03/13(土) 20:49:43
>>209
s5179さん

ある封筒を開けて、その数値が9999だった場合はどのようにするのですか?
または、その数値は入っていないのか?
(期待値を理解するためには、封筒に含まれる数値の組の分布を考える必要があります)


211 :s5179:2010/03/13(土) 21:40:57
>>209
入っています。

入らなくする為に(2A、4A)も考えましたが。
そこまで作為的に値を決めた場合、その問題は>>1とは別問題であると考えます。

あくまで>>1の解釈の統一を望んでいます。

212 :s5179:2010/03/13(土) 21:42:54
>>210 

186さんもちろん9999の場合は次の封筒を引いた方が良いと思います。

213 :s5179:2010/03/13(土) 22:03:07
186さん

上限40000としたときの封筒の組み合わせは20000通りです。
その内の半分には奇数が含まれています。
その半分が選択した封筒の組み合わせになった場合1/2の確率で奇数を初めに引き
そこで必勝となります。
20002以上の数を引いても必勝です、これも組み合わせの半分は対象となり1/2で必勝です。
その他の場合を考えます。

その他の場合に必ず得をする(その試行の獲得賞金の平均を上回れる)戦術があるか考えます。

>>1の問題は取りあえず置いておいて上限200くらいでやってみるのも一興かと

214 :186:2010/03/13(土) 22:07:42
>>211

s5179さん
>>1に基づいて考えたいということはわかりました。
ただし、1には「入っている金額の比は1:2とする」という設定があるので、これを満たすためには、
どの封筒をあけても、1:2になる数値が必要と考えています。
この2点を満たすために、
 「2500*2^n」「2500*2^(n+1)」(n:自然数)の封筒の組を考える
では、いけませんか。

自然数全体で、1:2の比の存在のありなしを考えると、素数分布を考えるような感じで話がそれすぎると思います。
(もとの単純なパラドクスからはるかにずれてしまいます)


215 :s5179:2010/03/13(土) 22:20:31
>>214

186さん下記の封筒の組は1:2になっていませんか?
なにか自分が気づいていないミスでもあるのでしょうか?

(A.2A)

(1.2)
(2.4)
(3.6)
(4,8)
(5.10)
(6.12)



(49.98)
(50.100)



(10000.20000)


(20000.40000)



216 :186:2010/03/13(土) 22:27:59
>>213

わかりました。それでは、簡単のためA:1〜10でやってみましょう。
大きい封筒が、10ありその中に小さい封筒が20。
最初に小さい封筒をあけて出てくる数値は、
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20のどれか。
(このうち、2,4,6,8,10は2つ入っています)
このうち、1,3,5,7,9,12,14,16,18,20を引いた場合は迷うことなく終了。
(今回の期待値計算から除きます)
2のとき、1が1/2、4が1/2 (1.25倍)
4のとき、2が1/2、8が1/2 (1.25倍)
6のとき、3が1/2、12が1/2 (1.25倍)
8のとき、4が1/2、16が1/2 (1.25倍)
10のとき、5が1/2、20が1/2 (1.25倍)
となり、2,4,6,8,10を引いたときの条件付確率では、1.25倍になります。

ただこれは単なる条件付確率で、パラドクスの解決に役に立たないと思います。

217 :186:2010/03/13(土) 22:32:26
>>215
いえ、それでも問題はありません。
ただし、上に書いたようにいびつな形で無視される場合があり、
もともとのパラドクスがどこにあるのかわかりづらくなると考えています。
#単純な条件付確率の話をしたいわけではないでしょう。

どの数値を引いても問題が成立し、かつ1.25倍にならないと、元の問題のパラドクスの楽しさが損なわれます。

218 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 22:36:13
確率スレは盛り上がるよな

219 :s5179:2010/03/13(土) 23:02:20
>>216


186さん、それを親から見ると

(1、2)の封筒で 1/2の確率で先1必勝<>先2後1  損得なし

(2、4)の封筒で 1/2の確率で2を先に引く後に4になる<>1/2の確率で4を先に引き2になる 損得なし

(3,6)の封筒で 1/2の確率で先3必勝<>1/2で先6後3 損得なし

(4、8)の封筒で 1/2の確率で先4後8<>1/2で先8後4  損得なし

(5、10)の封筒で 1/2の確率で 先5後10<>1/2で先10後5 損得なし





(10、20)の封筒で 1/2の確率で 先10後20<>1/2の確率で先20後10 損得なし

どうでしょう?損得の観点からみて、必ず交換で得しました?
大きい封筒を先に引けないと期待値が上がってしまう説明になりませんか?



220 :s5179:2010/03/13(土) 23:11:15
>>219はなんかいろいろおかしな事になってます

確認せずに書き込みすみませんでした


221 :s5179:2010/03/13(土) 23:17:12
しかし
2つの封筒問題を解くときに
封筒を引く側だけの視点でなく、封筒を出す側からの>>219のような考査も必要なのではないでしょうか?

値を∞にしても親からの視点であれば、
子がいろいろと考えてるな損得は運しだいなのにと思うはずです。

>>219の件は本当にどうもすみませんでした


222 :186:2010/03/13(土) 23:18:50
>>219
いくつか勘違いがあるかもしれませんので、確認のため、私の考えをもう一度
・分布が期待値が計算できるものの場合、パラドクスは発生しません
(今回のように離散で有界の場合)
・1.25倍になり、パラドクスが発生するようにみえるのは、それが「現実には構成できない」からです。

問題に戻ると、パラドクスの発生源は端点にでるので、そこをぞんざいに扱うとパラドクスは発生しません。
前のスレで紹介されていましたが、
「二人で勝負します、ひとりが自然数全体からある数字を(等確率で)先にひとつ選ぶ」
「それがどんな数字であろうと、後から引くほうがそれより大きい数値を引く確率が大きい」
というパラドクスと根は同一だと考えています。

つまりこのように、自然数全体から一様にひとつの数値を選ぶこと自体が不可能。


223 :s5179:2010/03/13(土) 23:32:01
186さん

2つの封筒問題で一つの封筒を見た後、
他方の封筒を選択したほうがよいかどうかお答えください。

私は(頭の悪い書き方ですが)
(∞、2∞)の封筒の組でも同様の損も得もしない状況が生まれると考えています。
もちろんこの場合自分が2∞を引いた事は知る由も在りません。

他の場合も同様で取り得る値が実数になってしまうと奇数の縛りもなくなり
すべての事象で引いても引かなくても同じになるかと思います。
因みに>>1の10000を引いた場合においても同じです。

224 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 23:33:49
>>223
>それが「現実には構成できない」からです。
て回答してるじゃん。

225 :s5179:2010/03/13(土) 23:40:09
有限でも期待値1.25になったじゃん
有限の自然数で解こうぜ兄貴

226 :132人目の素数さん:2010/03/13(土) 23:41:54
>>222 が最終解だな。この設問だと分布が不明なため、期待値自体が存在しない。


227 :186:2010/03/13(土) 23:44:10
>>223
>>224(フォローありがとうございます)

損や得という言葉を不明確に使うのは危険です。

先にあげたように、
「このような状況を作ることは不可能」
「(不可能であることを無視して)1のような状況の元では、交換すれば期待値が1.25倍になる」
「この状況下では、得になる(=多いほうをとる)か損になる(少ないほうをとる)かは1/2であると仮定している」

大きい封筒(中に2つの封筒)の視点から見たら、つまらない問題になってしまいますよ。


228 :186:2010/03/13(土) 23:47:50
>>225
OKです。
なので、前提をすり合わせたいのですが、今の時点でなかなか一致点が見つかりません。

封筒の分布だけでも認めてもらいたいのですが。

229 :s5179:2010/03/13(土) 23:59:06
個人的には

(1,2)の場合
(2,4)の場合
(4、8)の場合
(A、2A)の場合
(X、2X)の場合

それぞれの事象は独立で他に影響を及ぼさない
それぞれの事象の期待値は2つの封筒の合計金額の半分である。
期待値は1つめの封筒を開けた時ではなく2つの封筒を選んだときに出題者が知る
選択によって期待値の増減は無い

封筒を一つ開けただけでは期待値は分らないと思います。

パラドクスは1つめの封筒を見ると、その封筒を後で選ぶ可能性が消えること
それにより期待値?が上がってしまうこと

230 :186:2010/03/14(日) 00:19:17
>>229
それでは、s5179さんの「期待値」と、1の問題に設定されている「期待値」の意味が異なっていますよ。

小さい封筒を開けたときに、もうひとつの数値が設問の「期待値」です。
大きな封筒の期待値で考えるならば、
・小さい封筒を開けると、「2」だった
・大きい封筒(1,2)か(2,4)のどちらか
・この二組の「大きい封筒」が選ばれる確率は同等としてみる
・(1,2)の封筒の期待値は1.5、(2,4)の封筒の期待値は3(しかし、これは小さい封筒を弾いている人には関係ない)
・2つの組が同等の確率であれば、2→1が1/2、2→4が1/2で期待値は、2.5(1.25倍)

どこが問題ですかね?

231 :s5179:2010/03/14(日) 00:30:28
>>230

186さん勿論理解しております。
期待値、獲得金額、のズレからパラドクスのポイントを探っています。

232 :186:2010/03/14(日) 00:40:25
>>231
であれば、OKです。
s5179さんの考えを聞かせてもらったほうが、話は早いかもしれません。
・「2」を引いた
・(1,2)の封筒の期待値は1.5→この場合、期待値+0.5
・(2,4)の封筒の期待値は3→この場合、期待値-1
・この2つの大きな封筒の出現率が同一なら、このままでいたら期待値はマイナス
→じゃあ交換したほうが得
ってな感じですかね。


233 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 00:46:49
テスト

234 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 00:49:01
「パラドクス」という用語が何か誤解を生む種のように見える
sの人と186の人、意味を合わせておいた方がいいと思うよ

235 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 00:51:10
この問題、「交換した方がいい」が正解みたいな空気になってるけど、それ間違いだよ

236 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 00:53:27
>>207
設問と
(2x + x/2)/2 が 1.25xとのギャップ、ずれに気付くかどうか

(2x + x/2)/2 が 1.25x派は結局
「(2x + x/2)/2 が 1.25xだから(2x + x/2)/2 が 1.25xである」を
回りくどく言って仮定と結論が同じに見えなくする努力をしてるだけだから




237 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 00:54:56
>>234
言葉遊びはすでに開始しているんだぜ

238 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 01:03:10
>>236
読みにくい
 「(2x + x/2)/2 が 1.25x」とのギャップ
のように、括弧を使ってくれ

239 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 01:22:42
本当だな>言葉遊び

240 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 04:54:23
2つの封筒であることが問題を複雑にしている。
1つで考えれば問題の本質がわかりやすい。
1、有限で一様な確立分布
2、有限で非一様な確立分布
3、無限で一様な確立分布
4、無限で非一様な確立分布

241 :240:2010/03/14(日) 05:08:04
1、(1から6までの整数が)書かれたカードのうち1枚が封筒に入っている。
ただし、どのカードが入っているかは同様に(確からしい)。期待値は?(答3.5)
2、(同文)、、、(確かではない)。期待値は?(答、わからない)
3、(正の実数が書かれた)、、、(確からしい)。期待値は?
(答、ありえない問題設定。そんな確立分布存在しない。)
4、(正の実数が書かれた)、、、(確かではない)。期待値は?(答、わからない)

242 :240:2010/03/14(日) 05:20:34
いかさまされたサイコロの期待値なんてわからない。
確立の問題では、通常(問題文に書かれていなくても)「同様に確からしい」とする。
このため、二つの封筒の問題の場合にも、他方の封筒の金額が2倍か1/2かは、
同様に確からしいと考えてしまう人が多い。
しかし、そんな確率分布は存在しないから問題が成立しない。(←ここ重要)

一方、「同様に確からしい」としない場合には、確率分布が分からない以上答えは
分からない。

よって、どちらの立場をとっても問題が成立していない。

243 :240:2010/03/14(日) 05:28:21
最後に現実の場合について述べておく。
その場合、相手をよく見て確率分布を推測する。
これに照らしあわせて、考えて選択すると良い。

244 :s5179:2010/03/14(日) 08:31:37
>>241

240さん、この3の答えも分らないで良いのでは?

240さんは頭がよいようなので

>>1の試行の前にサイコロをふって出た目×1万円を上限として問題を解いてみてください、
ただしあまりお金がないので4,5,6が出たときはサイコロを振りなおす。
封筒の中身は(n,2n)

これだったら実地可能だと思いませんか?
答えをお聞きしたい

245 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 08:49:56
>>244
>これだったら実地可能だと思いませんか?

それは別の問題じゃね?このスレで検討する意味ないよ。

246 :186:2010/03/14(日) 09:13:51
>>244
(私は240ではありませんが)
サイコロの1,2,3で、(1,2)(2,4)(3,6)の組ができます。
最初の封筒をあけて出てくる金額(万円)は
 1,2,2,3,4,6(わかりやすさのため、2を2回書いています)
このうち、1,3,4,6の場合→交換の問題が成立しない
 2のとき、交換後1/2で1、1/2で4(期待値2.5、1.25倍)
となります。

これは以前話した、有限一様分布での条件付確率の問題と一緒ですよね。
>>232にも書きましたが、s5179さんがやりたいことをまとめてもらえませんか?
#s5179さんが話したい内容がいまいちつかめません。


247 :186:2010/03/14(日) 09:17:09
>>246
「やりたいこと」はいままでに書いてありますね。
「主張したいこと」をまとめてもらえませんか?


248 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 09:19:45
何を主張したいかをまとめたい

249 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 09:25:17
なにかしら 1.25 になるものを探しているんだろうね。
みなさん、もうつきあうことないよ。結論出てるし。

250 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 09:26:00
どこにパラドックスが潜んでいるのかを明確にしたい

251 :240:2010/03/14(日) 09:27:15
>240さん、この3の答えも分らないで良いのでは?
だめ。s5179さんは最も重要な部分について理解していないようなので、
かみくだいて説明する。
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、3が、4が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。


252 :240:2010/03/14(日) 09:43:58
しかも封筒が二つの場合には二次元空間上の確率分布を考えなければならないので、少し難しい。
しかし、2倍と1/2の確立が常に同じと仮定すると同様の矛盾が現れる。

この問題の本質は「無限」にあるので、有限の場合はまったくの別問題。私はめんどうな計算問題には興味ない。

253 :240:2010/03/14(日) 09:45:30
訂正。上の文の始まりの「しかも」は削除。

254 :s5179:2010/03/14(日) 10:08:52
>>246 
186さん問題を取り違えています。
4,5,6が出たときはサイコロを振りなおすが抜けています。
やり直して下さい。

>>252
高々可算の集合の問題なのに焦りすぎです。
メンドウな計算を避けて数学の問題を解くことは出来ません。
いつでもいいので気の向いた時に答えをお聞かせ下さい。

私の答えは、分らない、引いても引かなくても損も得もしないです。

【重要】
240さん、以下を証明するか、証明されている論文の提示を求めます。
出来ないならばあなたの脳内設定です。
脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。

>1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、3が、4が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。

255 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:12:50
s5179って本物?
こんな攻撃的な人だっけか?

256 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:14:02
>脳内設定を声高に叫ぶのであれば、病院に行くことをお勧めします。

んなこと言ったらみんな病院行くことになるんんじゃね?
そんな人々が脳内条件を並べて曲りなりに会話するための隔離スレなんだから

257 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:14:46
>>255
今までにもけっこうボロが出てる

258 :186:2010/03/14(日) 10:18:52
>>254

「4,5,6のとき振りなおす」という条件ですと、1,2,3の面しかないサイコロを振るのと同値ですよ。
(そこがどうしても納得いかないというのであれば、計算してもいいですが)


259 :240:2010/03/14(日) 10:20:47
>1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、3が、4が、、、全てxとなる。
>確立の全事象が起こる確率は1なので、
>x+x+x+x+,,,,,,=1
>これはありえない。
具体的に何行目が理解できないの?
1行目は>251の仮定「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい」より。
2行目は、確立の定義より。
3行目は1行目と2行目より明らか。
4行目も証明する必要ある?


260 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:25:34
確立はいい加減やめようや

261 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:25:57
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか?

期待値だから得したことにはならない。wktkしただけ。

262 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:26:11
せめて確率って書いて欲しいってことじゃね?

263 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 10:56:39
>>254
言い換えると、
x+x+x+x+,,,,,,=1
の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、期待値は存在しない。



264 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 11:08:07
x+x+x+x+,,,,,,=1の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、問題が成立しない
のほうがベターかな。

265 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 11:09:15
素朴な疑問。
サイコロの目を1万倍にする理由は何?
そのまんまでいいじゃんね?
もしくは$にするとかさ。

266 :240:2010/03/14(日) 11:11:18
私の4行目の主張は、もっとシンプルなものです。
「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」ということです。

267 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 11:16:30
>>266
なるほどそうか。

268 :186:2010/03/14(日) 11:17:40
s5179さん

相手にだけ求めるのは変ですので、繰り返し部分が多いですが、もう一度私の論点以下に書きます。
・自然数全体で考える前に、2^n(n:自然数)の系列を考える
 2^nの系列で考える利点は、特異点が端点のみになること
 自然数全体で考えたい場合は、任意の奇数*2^nの系列の合成を考えることにより実現でき、結局は2^nの場合を考えれば十分
・封筒の作成方法
 0〜N-1(N:任意の自然数)のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
 このnを使用し、(2^n、2^(n+1))の数値が入った大きい封筒を作る
・小さい封筒をあける
 この封筒の数値を2^k(k:0~N)と表記する
 k=0のとき、交換すれば、必ず1→2になる
 k=Nのとき、交換すれば、必ず2^N→2^(N-1)になる
 これら、両端点以外の場合(k:1〜N-1)
 交換後、1/2の確率で2^k→(2^k)/2となり、1/2の確率で2^k→(2^k)*2となる
 この場合、期待値は元の数値の1.25倍
・Nを十分に大きくすれば、「ほとんどすべての場合」両端点以外の場合になり、期待値は1.25倍となる
 →このNを無限に発散させると、「ほとんどすべて」が「必ず」に変わり、
  交換後の期待値が1.25倍で固定されるというのがこの問題のパラドクス
・このパラドクスの原因は、「このNを無限に発散させることが実現不可能」からきている


269 :186:2010/03/14(日) 11:20:51
>>266

240さん
見えない相手に対して、あまりに雑に書きすぎだと思いますよ。
表現だけ見ると、「積分論が成り立たない!」になっちゃいますよ。


270 :7:2010/03/14(日) 11:53:07
横からすまんが、ちょっと質問なんだけど
自然数から等確率に1つの数nを選んだ時に
[nが偶数である確率]=1/2
[nを3で割ると1あまる確率]=1/3 とか
[n=1である確率]=0
[n=0.5である確率]=0
[nが自然数である確率]=1
[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
さらに自然数から等確率に1つの数mを選んだ時に
[n<mとなる確率]=1/2
っていうのを認めない立場?

例えば
自然数n,mを選んだ時にn<mとなる確率p

{1,2,…,N}から任意にn,mを選んだ時にn,mとなる確率p_(N)=(N-1)/2N
だから、p=lim_(N→∞){p_(N)}=1/2となる
とするのは駄目?

もちろん、このことをもって
自然数全体に一様な確率分布が存在するとは言わないけど、厳密にはありえないからこそ
「どの自然数が選ばれるかは同様に確からしいとした時、選ばれた数が条件Aを満たす確率p」
というのは「{1,2,…,N}のどれが選ばれるかは同様に確からしいとし
選ばれた数が条件Aを満たす確率をp_(N)とした時にp=lim_(N→∞){p_(N)}なるp」
つまり「∀ε>0,∃N∈{自然数全体},∀M∈{自然数全体},
p_(M)=({1,…,M}の中で条件Aを満たす要素の数)/({1,…,M}の要素の数)
[M>N⇒|p-{p_(M)}|<ε]」
と私は解釈して(この解釈が妥当である保障はない)考えているのだけど
こんな解釈した問題には興味ない?矛盾はあると思う?

271 :7:2010/03/14(日) 11:57:40
あと、有界で期待値12500円の場合にもパラドクスが発生してると思うのなら
>>14の視点の混同が原因では?

確率の問題では期待値が高いことを得だとか有利だとか呼ぶこともあるけど
それは日常で使う得や有利という言葉の意味とは異なってるし
ゲームが全部終わった後での賞金(の合計)の大小についての"得"と
"他方の期待値は12500円だから換えた方が得"の"得"は
条件や意味が違うから別物であって、実際に交換して得しなくても矛盾はない。


未確認の金額の期待値と確認済みの金額の比を見て交換するかどうかを
判断する方法(個人の視点)と、2つ封筒の金額のうちの大きい方を最初に受け取った回数の期待値と
ゲームした回数の比=(最初に受け取った金額が2つのうちの大きい方である確率)=1/2
を見て交換するかどうかを判断する方法(場の視点)を混同すると矛盾してるように見える。
どちらの方法を選択する方が良いかを考えるには、ゲームのがどんな目的なのかとか
参加者がどんな行動をするのかが決まっていまいといけない。例えば>>7[2a]のような状況を
考えて、それと同時にA君の条件をC君に,B君をD君に対応させてC君とD君にもゲームして
もらうとする。A君がB君よりも多くの金額を得ようとするなら、交換はしてもしなくても有利にはならない。
A君がC君よりも多くの金額を得ようとするなら、A君は交換はするという戦略をとったほうがC君より有利。
と考えるのが個人的には自然だと思う。

別の例だと、公正なサイコロを1回か2回投げ、後に投げた方の目が
1〜5ならその目の数が得点に、6の目がでたら得点として16点もらえる
というゲームがあったとする(2回投げるかは1回目が終わった後にプレイヤー自信が決められる)。
1回しか投げない時の得点の期待値は31/6で5より大きいけれど
だからといって、1回目に投げたサイコロの目が5の時に2回目を投げた方が良いかどうかは
この"良い"がどんな意味なのかとか、何を目的としたゲームなのかはっきりさせないと決められない。

272 :240:2010/03/14(日) 12:08:56
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
この問題から「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
という仮定を削除すれば、問題を満たす確率分布はいくらでも存在するよ。

「もし、確率分布を、、、と仮定(解釈)すると、、、」という話には、私は興味無い。
だってそれは別の問題じゃん。


273 :7:2010/03/14(日) 12:48:51
おk。
>だってそれは別の問題じゃん

それを言われると>>1の上部は終了ですな。
(派生元でも既に指摘されてたことではあるけど)


>>1の類題・別の仮定を加えた別の問題を考えたいなら
>>1には明記されていないことをちゃんと明確しないと解けないよ
というのが私の主張、ということで。


ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。

274 :186:2010/03/14(日) 12:51:56
>>270

7さん
(私への質問かどうかわかりませんが)私の考えは、

・「自然数から等確率に1つの数nを選んだ時に」→これは実現できない
・[nが偶数である確率]=1/2、[nを3で割ると1あまる確率]=1/3
 これらは、2つまたは3つの同値類に分類され、その同値類同士での確率として解釈しているのでOK
・[n=0.5である確率]=0、[nが自然数である確率]=1
これらは、選択するときの分布関係なしに0/全事象と全事象/全事象
・[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
 これは、1と2を等確率で引くという前提の繰り返し
・[n=1である確率]=0、[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
 これらはなんらかの分布を仮定しなければいけないため、ナーバスな問題(後半の表記は0:0)

・さらに自然数から等確率に1つの数mを選んだ時に[n<mとなる確率]=1/2
 引く前であれば、OK。下の証明もそれで同意できます。

ただし、(実現できない条件のもとで)「nを引いた後の条件付確率」は、
「nがどんな数値であろうとも、後に引くmのほうが大きくなる確率は限りなく1」


275 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 14:49:40
>>274
>・「自然数から等確率に1つの数nを選んだ時に」→これは実現できない

理解できない人は、このあたりがネックになってるぽい。
言葉遊びだけじゃなくて、具体的にどうやれば実現できるか考えれば分かるよ。


276 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 14:53:06
こういう俺は、コンピュータでシミュレーションが可能かどうかで考えるしか能がないけどね。

277 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 16:13:24
>>275
例え可算であっても無限を扱う事象は実現できないだろ。
現実は有限だからな。


278 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 16:17:41
ん?できないって言ってるんだけど?

279 :240:2010/03/14(日) 16:41:23
x+x+x+,,,=1
とは、
s_1=x
s_2=x+x
s_3=x+x+x
,,,
と定義し、n→∞としたとき、s_n→1であるということ。

こんな説明が必要な人には、「二つの封筒」問題を理解するのは無理だよ。

二つの封筒の場合には、R^2上の確率測度p(x,y)で、
サポートがy=2xとy=x/2に含まれるものを考える必要がある。
もし、「任意の0以上の実数cに対して一方の封筒の金額がc円のとき、
他方の金額が2cである確率とc/2である確率が等しい」と仮定すると
任意の0以上の実数cに対してp(c,2c)=p(c,c/2)およびp(2c,c)=p(c/2,c)が成立する。
しかし、これは全事象の確率が1であることと矛盾する。(←ここの証明が重要だが、
詳しく書くのは面倒だ。)

280 :240:2010/03/14(日) 16:50:14
我ながら記号の使い方が不適切な部分があるな。
まぁ、確率論を理解している人なら適当に修正してくれるだろうし、
確率論を理解していない人はそもそも理解できないだろうから、まぁいいか。

あと、金額cのとりうる範囲は>0とすべきだった。c>=0とすると、
「どちらの封筒も0円である確率が1それ以外の確率は0」
ってのが解として存在してしまうから。

281 :s5179:2010/03/14(日) 17:25:23
>>279

封筒をn枚用意し一つの封筒には1、一つの封筒には2・・・、1つの封筒にはNとすべての封筒に数字を記入した紙を入れる。

(1を引く確率1/n)+(2を引く確率1/n)+・・・・・・・(Nを引く確率1/n)=1

これのnが∞のときに適用出来ないと解釈しました。
誤解であれば謝罪させて頂きます。


2つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は1:2とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。

上記において封筒を(10000、20000)しか用意しなかったとして
この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
これは重要な点だと思います。
解釈の統一を求めます。

私は問題ないと思います
入っている金額の比は1:2になっていますし
1方を先に選んで10000円になる可能性もあるからです。


282 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 18:26:25
なんの期待値について話してるのか理解できてる?
選んだ封筒に対して常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布は存在しないよ
これは高校の知識で簡単に示せる

あと、「他方の封筒に変えた方が得する」事を言うためには、
選んだ封筒、他方の封筒それぞれについて金額×確率を定義域全体で積分して比べないといけないよ
そして、この値はどんな分布であれ互いに等しい。
これも簡単に示せる。
つまり封筒を変えても得もしないし損もしない

「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
と、思い込んでしまう事にパラドクスと言われる事の原因がある

283 :240:2010/03/14(日) 18:40:39
>>281
前半はOK
後半について、(といってもちょっと違う例だが)
例えば,
「一方の金額が1000円であったとき、もう一方が500円、2000円である確率がそれぞれ1/2である。
(ただし、他のある金額についてはこのように1/2にはならない。)」
この確率分布は実現可能だよ。
しかし
「一方の金額がc円であったとき、もう一方がc/2円、2c円である確率がそれぞれ1/2である。
という命題が「任意の」正の実数cに対して成立する。」
この確率分布は実現不可能。「任意の」というのが重要。

284 :240:2010/03/14(日) 18:51:02
後半について
(*)「(10000、20000)という確率が1で、それ以外の確率が0である確率分布。」
これは問題の命題を満たしている。
そしてこの場合は一方が10000円ならもちろん封筒を交換した方が得。
(確率分布が与えられれば、それにしたがって計算すれば、どちらが得かが分かる。)


285 :186:2010/03/14(日) 19:11:35
>>281

>上記において封筒を(10000、20000)しか用意しなかったとして
>この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
なると思います。
ただ、これで一体何が説明できるのでしょうか。

この問題でもめているのは(=みなが興味あるのは)、一見できないはずのことに限りなく近いものを構成できることではないのでしょうか。

元の問題に近づけるために、1250*2^n(n:1からN)の系列を考えます。
このとき、両端(2500と2500*2^N)の2つを引かない限り、条件付確率により交換により1.25倍になります。
Nを必要なだけ大きくすることにより、限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
(N=2*10^10にすれば、99.99999999%の確率)

単に「構成できない」から意味が無い、というだけでないところがこのパラドクスの面白いところだと思います。


286 :7:2010/03/14(日) 19:17:58
>>279
こちらの意図が伝わらなかったようだが、お互いの前提のどこが
食い違っているのか確かめるために質問させてもらった。
>こんな説明
というぐらいなら、中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
おそらく「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」というのは
¬∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
(Rは実数全体の集合,Nは自然数全体の集合とする)
を意味しているのだと思う。一方私は
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
を考えていた。どっちの式も真であるが、違いは歴然。
違うことを前提にしているのだから、食い違って当然だね
というだけのお話。

>>281
>上記において封筒を(10000、20000)しか用意しなかったとして
私も問題ないと思うけど、どういう意図なのか
>解釈の統一
とはどういうことなのか、いまひとつわからない。

>>282
確かに
>「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
>と、思い込んでしまう事
はよくある間違いのひとつではあるけど
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。

287 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 19:29:27
>>283
cは勝手に与えられるとするともう一方がc/2円、2c円のような試行を用意することはできる。
cの封筒2つを提示して相手に選ばせた後に(といっても相手はcしか選べないが)残りの封筒を
2cの封筒とc/2の封筒のどちらかとすり替えればいい。


288 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 19:36:41
>>286
>「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
>という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。

考えることは自由だけど、その問題は構成できないことが上で散々言われてるわけだが。

289 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 19:59:12
そういう確率空間が作れないんだよね

290 :7:2010/03/14(日) 20:04:51
>>288
違う違う。
構成できないのは
「最初にどんな封筒を選んだとしても常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布」
であって
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
となる問題なんてはいっぱいあるでしょ。
上の意味で構成できないと言うなら、区別が付くようにちゃんと書いてくれってことだよ。

291 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 20:24:03
1回だけ封筒選ぶ時は期待値は意味を成さないんだよな。
問題文でその辺ちゃんと書いておいた方が良いのかもしれないが。

292 :132人目の素数さん:2010/03/14(日) 20:29:35
期待値=1.5x=(10000+x)/2=5000+.5x>10000->x>10000

293 :240:2010/03/14(日) 21:00:36
>>287
それは>>1の問題の仮定と矛盾している。
まったく別の問題を考えていることになるだろ。

294 :240:2010/03/14(日) 21:22:46
>>286
>一方私は
>∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
>を考えていた。
数学のどこかの分野では、こんな解釈をすることがあるのかい?
>¬∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
少なくとも解析ではこちらが常識だろ。
しかも文脈も考えればこれしか考えよう無い。
こんなしょうも無い考え違いをする人に、
>中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
とか、
>ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
>あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
>明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。
とか言われたくないなぁ、、、

ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
なぜなら、任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。

295 :s5179:2010/03/14(日) 21:43:12
>>294

「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、3が、4が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。



ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。

は、上で否定したことを下で肯定しているように見えるのですが
どう理解すればよろしいか?

296 :240:2010/03/14(日) 21:45:18
>>285
気づいているとは思うが、
>限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
その代償として、2500*2^Nを引いた場合に交換すると大損をすることになる。
このように「ほぼ確率1で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスはいろいろある。
「ギャンブルで負けたら倍額かけ続ければ絶対得する必勝法」とか
「土地を買った額より高く売ればすべての人が儲かる(バブル)」とか

いづれにせよ、封筒一つの場合は大して目新しいアイデアは無いし、
議論するほどの問題じゃない。封筒を二つにしたことによって、
「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。


297 :240:2010/03/14(日) 21:51:30
>>295
任意の自然数mに対して、
1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する。

1/2+1/4+1/8+,,,=1
は知ってる?

298 :s5179:2010/03/14(日) 22:20:10
>>297

1/2+1/4+1/8+,,,=1
うい、知ってる。

1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する
なんで?発散するの?マジ?あれ?
x=1/mと定義すれば、mx=1とどこがちがうの?
わからんよ

299 :7:2010/03/14(日) 22:28:44
>無駄が多い
って比較しやすいようにわざとそう書いたから、もちろんこちらも承知しているよ。

>>1は賞金の確率分布が決まっていないから、期待値はわからない
という>>240の主張はこちらも同意してるし、>>240の3の意味では
¬∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
が正しいよ。

>>296
>「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
>というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。
とあるけど、他の人もこのような考えが多数派みたいだね。だけど
私はそう思わなかった(今では少しはそう思うにはなったけど)から
240(や同じようなことを考えている人)とは違うことを考えているだけ。
でもそれは240(やその他の人)にとっては興味のない別の問題。それだけのことだよ。

>>295
ちゃんと理解したいなら論理の勉強をすることを勧める。
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの後ろに書いてあるから
xはmに依存して決めてよいので、x=1/mと定義できる。

∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの前に書いてあるので
xはmに依存してはいけないから、x=1/mと定義できない。

300 :s5179:2010/03/14(日) 22:52:26
>>299

解説有難う
半分ぐらい理解出来たかもしれません。

じゃあ同数の封筒を用意しようよ。でOK?



301 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 00:57:38
186氏の>>285にあるように、「交換により1.25倍(近く)」になる系で
パラドックスについて考えてみた。その結果分かったことは、

1回毎の期待値が1.25倍(近く)であっても、各回のベース金額が毎回違うので
期待値を平均したものには何の意味もないってこと。
上界(下界もだが)のイレギュラーが金額の期待値に大きく利いてくる。

まとめると、
倍率の期待値:交換により1.25倍(近く)になる。
金額の期待値:交換前と交換後は同じ。

結論:倍率の期待値って無意味?




302 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 01:00:46
>>268
金額の定義域全体を k*2^n で表される集合の集合としてとらえ直すわけだな。
金額が1:2という条件からは、そのように扱うことが要請されるわけだから。
そこに納得がいくかどうかが一つの大きな壁

・封筒の作成方法
 0〜N-1(N:任意の自然数)のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
 このnを使用し、(2^n、2^(n+1))の数値が入った大きい封筒を作る
ここで少々ズレが生まれる

xとyが一対一で対応しているy=f(x)において
xとyを同じ扱い方をしているという誤り

303 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 01:05:50
>>301
無意味ではなく、ただ別ものなだけ。

太郎君の体重を知りたいときに
太郎君との体重の関連性が全くない次郎君の体重をはかるのは無意味だが
次郎君の体重を知りたいのならば次郎君の体重をはかることには意味がある

倍率の期待値が無意味なのではなく
倍率の期待値を使わない時に倍率の期待値に注目するのが無意味

304 :s5179:2010/03/15(月) 05:45:32

可算無限集合の考えで大変大きな間違いしていました。

有限集合と混同して大きな封筒組の大きい側を引けないと考えていました。
「12500派の人って4/5∞の値の封筒引けないジャン」のような考えを持っていました。

期待値は1.25倍を受け入れさせて頂きます。

ご指摘、本当に有難うございました。

305 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 05:49:20
道具は使い方を知ってから使った方がいいよ
生兵法はケガの元で済めばいいが
迷惑の元にもなるから

306 :s5179:2010/03/15(月) 05:55:57
>>302

そのkは試行を繰り返す場合は初めの試行で決定される「未知数」でしょうか?
それとも試行の度、変る変数でしょうか?

変数でしたら変域を書き込んだ方がよいのでは?

そのあとで考えをお聞かせください

307 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 06:08:36
言葉遊び健在

308 :240:2010/03/15(月) 06:16:40
>>298
1/2+1/2+1/2+,,,は∞に発散
1/3+1/3+1/3+,,,は∞に発散
1/4+1/4+1/4+,,,は∞に発散
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+1/m+,,,は無限大に発散

1/2+1/2=1
1/3+1/3+1/3=1
1/4+1/4+1/4+1/4=1
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+,,,+1/m=m*1/m=1
(ただし、m個足した)

309 :s5179:2010/03/15(月) 06:43:21
>>308

240さん解説ありがとう、やっと理解できました。



310 :240:2010/03/15(月) 07:00:48
マルチンゲール法
http://zaq19.livedoor.biz/archives/50809952.html
サンクトペテルブルクのパラドックス
http://ja.wikipedia.org/wiki/サンクトペテルブルクのパラドックス

311 :240:2010/03/15(月) 07:07:43
一つはちょっと怪しげなサイトですまないが、リンクしてみた。
(多くの人は知っていると思うが、)
この手のパラドックスを常識として知った上で、
二つの封筒を議論する方が良いと思うので。

312 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 07:11:10
自然数限定や上限を設定するのは
本来の問題とは別の問題にしてしまうことになると思うが
確かに実際に払えるかどうか、封筒に入るかどうか、どのくらい得と感じるかなどに
話題が向かってたこともあったから
脱線を防ぐためにも知っておくことは無駄ではない

313 :240:2010/03/15(月) 07:53:30
>>296にも書いたが、
「ほぼ確率1で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスは昔から知られていて、
この部分は「二つの封筒」特有の面白さでは無いということ。

いかなる確率分布に従って封筒にお金を入れたとしても、
初めに封筒を選んだとき、
その金額がもう一方の半分である確率は1/2。
よってもう一方の封筒の金額が2倍である確率も1/2。
しかし、上で述べたとおり、
「任意の金額c円に対し、
選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が2倍である確率が1/2である。」
という確率分布は存在しない。
これが、「二つの封筒」の問題特有の面白い部分だと思うのだが、、、


314 :s5179:2010/03/15(月) 07:58:12

<<初めに封筒を引き導きだされた期待値に意味を持たせる>>

これを考えようとしたときに

「初めの封筒を引き、出た金額を支払い、他方の封筒を引く」

と言う実験をしてみようとしたところ。

すべての封筒組が等確率で引けるのであれば
10000円を先に引いた場合
「10000円を賭け1/2の確率で5000円に1/2の確率で20000円に」の賭けと同義で(1円除く)
これは「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと損得の意味では同義になる。

上は期待値が1.25倍
下は期待値が1倍

損得で同義の賭けではない?
どこかおかしいだろうか



315 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 08:04:59
(1円除く)?


316 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 08:08:14
>「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと
「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で15000円に」の賭けと

317 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 08:08:23
>>314
>どこかおかしいだろうか
積や比と、和や差との混同。

1と2は比が1:2です
双方に1ずつ足したら2と3です
あれ?比が1:2じゃなくなった
同じにならない?
どこかおかしいだろうか?

318 :s5179:2010/03/15(月) 08:22:04
うん、もう寝起きに書き込むことは止めとくよ。

まともに頭が機能していない事が良く分りました。

319 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 08:26:11
いや、単なる寝ぼけミスにとどまらず
本質をついてる間違いといえる
図らずもわかりやすいカリカチュアになってるおかげで
本質が見えやすくなってるな

320 :s5179:2010/03/15(月) 08:27:33
いや、損得の意味で

上も下も-5000円と+10000円、確率1/2で合せてみました。

やはり低血圧なので朝の書き込みは信用ならない・・・
仕事に出ます・・・・

321 :s5179:2010/03/15(月) 08:30:36
>>319

さん、そうですよね、間違ってないですよね
遅刻する・・・



322 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 08:42:13
>>320
支離滅裂だな

とりあえず改めて>>317参照すべし
損得は「差」、何倍というのは「比」

0円を賭けて1/2の確率で−5000円、1/2の確率で+10000円
期待値は+2500円 
さあこの場合はどうする?何倍?

損得で差を一定のままにするなら
必ず最初の金額+2500円になり
最初の金額次第で比は変わってしまうのは当然なのだが、
このような混同に無自覚な部分が多い


323 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 14:20:07
>>313
そうそう

選んだ封筒が大きい方である確率は1/2だけど、

>「任意の金額c円に対し、
>選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が2倍である確率が1/2である。」
>という確率分布は存在しない。

これはあくまで、金額に依存する確率

極端な例を挙げると
金額組が(100,200)だけの分布を考える
封筒を一つ選ぶ
この時選んだ封筒が大きい方である確率は1/2
中身を見ると、100円であった
この時選んだ封筒が大きい方である確率は0←これが「金額に依存する確率」

324 :s5179:2010/03/15(月) 18:30:20
>>322

>0円を賭けて1/2の確率で−5000円、1/2の確率で+10000円
>期待値は+2500円 
>さあこの場合はどうする?何倍?

何倍でしょうね、分かりません。

>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
が分かれば結構です。

「期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか?」

を「きちんと調べないと分かりません」と答える事が出来ます。

少なくとも私が感じていたパラドクスは、「初めに引いた10000円<他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので。




325 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 22:35:56
ぜんぜん前のレス読んでないけど,
開封する封筒をA,開封しないBとして,
合計で 3a円 入っているとすれば 
A,Bの期待値はともに 1.5a円 で
開封前なら どっちを選んでも損得はないよ。
開封後は 期待値が A 10000円 B 12500円 で
B を選んだほうがお得だよ。
条件付き確率って高校で勉強しただろ?
そんなことよりさー
ブラックジャックで効果的なカウティングの方法でも考えて教えてくれよ。

326 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 22:41:31
>>325
>開封後は 期待値が A 10000円 B 12500円
これが任意の金額aについて成立するようなaの確率分布は存在しないんだ!

っていうのが最近のこのスレのトレンド

327 :240:2010/03/15(月) 23:06:57
一般的な意味での損得は主観的なものであって数学的概念ではない。
ギャンブルや保険は基本的に期待値が「損する」ように設定されているのにもかかわらず、
多くの人がよろこんでそれをする。つまり、その人にとってはギャンブルをしたり保険に入ることが得だといえる。
ただし上記の「損する」とは、単に(掛け金と得られる金額の期待値の)差額が負であるという意味で使っている。
このように限定された意味(数学的に定義できる意味)でならば数学において用いても構わないが。
明らかに意味が分かる場合をのぞいて損得などという言葉を使うべきでない。

>10000円を上回っても損か得かは分からない
ここでの損得の意味は何?

>>1の問題における「得」という言葉は単に(期待値の)差が正という意味で使われている。
つまり、「期待値は12500円となり、もとの金額10000円より大きくなる。これは正しいか?」
という意味です。
そして、すでに何度も書かれていることですが、期待値は(一般には)12500円にはなりません。だから正しくない。

なんだかこのスレは「二つの封筒問題スレ」ではなく、確率や数学の初歩の初歩について議論するスレのような気がする。

328 :132人目の素数さん:2010/03/15(月) 23:28:12
>>324
損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は?

329 :s5179:2010/03/16(火) 00:01:26
>>324

すみません、質問の意味がわかりません

パラドクスは
初めに引いた10000円<他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので

の文の後半が1.25倍なのは5000円が入っているか20000円が入っているか分らなかったからです。
質問に答える事が出来ましたでしょうか?

>>325

240先生、まだこんな事を言ってる子がいます。

引く子視点で見た場合、初めの封筒を引く前は期待値は全く不明です。
設問>>1だったら、期待値7500円or15000円なのか、引く子には全く分らないと思います。
325君は親視点と子視点を混同しています、注意して下さい!!
あと僕の理論を体育の時間に盗みました、返して下さい!!

330 :240:2010/03/16(火) 00:25:23
>>329はアンカーミスか?
>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これってどういう意味?
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ?
(ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。)

331 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 00:26:49
>>329
ふざけるスレだと表明する気がないなら
いちいちふざけるな

332 :s5179:2010/03/16(火) 00:58:26
>>330
>>324 としたのはアンカーミスです。
>>328 でした、すみません

あと
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ
(ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。)

得=期待値の金額が大きい

なので代入して

他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が期待値の金額が大きいに決まっているだろ

「自明」の説明をして頂いたのでしょうか?

>>331
すみません内容は、ふざけていないつもりなのですが、表明しておきます

たまにふざけます、ご容赦下さい



333 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 01:03:09
>>332
それで、損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は?

334 :s5179:2010/03/16(火) 01:08:53
>>330

あれ>>314てやっぱり間違えてるね。

朝の書き込みは自粛します。

335 :s5179:2010/03/16(火) 01:10:40
>>333

もう寝ていい?

336 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 02:10:57
親視点とか子視点とか
なんて不自然な考え方

あるのは情報=値=引数
とその関数だけ。
コンパクトに考えよう。

337 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 02:43:29
あえて不自然な砲で考え続けることを選んだ人用のスレです

338 :s5179:2010/03/16(火) 03:02:56
>>>336

了解

幾何+濃度を使ってみると

必ず交換すると面積が14になる。
一方ずっと交換しないだと16

なので最大値が分からない場合は交換しない戦術が有効になる。
最大値が分かれば最大値の半分が分かり
最大値の半分までは必ず交換、最大値の半分を超えたら交換しない
これにより面積が18で最大になる

均一で等確率、正の実数集合の場合、もちろん有限

説明下手だけどアイデアはあるんだ、説明下手だけど・・・仮定も、答えも、計算も間違うけど・・・

必ず交換する戦術は
値が最大値の半分までのときは負けても小さく、勝つとでかい なので幸せ
値が最大値の半分超のときは必ず負ける例えば4万が2万に8万が4万に、ここらへんは個人差があるのかな?
4万円を見たあと2万円だとつらいけど、人によっては8万の夢が見れて2万を得たんだから十分幸せ?


240さんへ、期待値が1.25倍の時は本当に1.25倍でした・・・
重ね重ねご指導ありがとうございました

>>333 さん 絶対に許さない!!睡眠時間返せ!!



339 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 03:05:18
>>310 が貼られるや
そっち方面へもきっちり迷走しはじめたね。お見事。

340 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 03:15:02
問題の解を探している内に問題を忘れてしまった良い例ですね

341 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 03:21:48
>>337
抽象が思考できんから
具体的な試行やその条件整備ばっかに時間をとられて
その過程でつけた余計な条件のせいで
間違った答えを生み続ける

そういう道を辿る人が何人もいるな

342 :240:2010/03/16(火) 06:20:09
>「自明」の説明をして頂いたのでしょうか?
そうだよ。

で、三度目の質問だ。

>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これはどういう意味?ここでの損得の意味は?

343 :240:2010/03/16(火) 06:43:52
>説明下手だけどアイデアはあるんだ
ちょっと考えると、「こうしたら良いんじゃないか?」ってアイデアが
100くらいは思いつく。しかしそれらのほとんどが、すぐに無意味な考えであると分かる。
残ったいくつかについても、良く吟味してみたら、無意味であったり、間違っていたり、、、
本当に良いアイデアだと思えるものは100に一つも無い。
それすらも、他人に話してみたら、「それは既に知られている考えだよ」と言われる。
そういうものだ。

もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。

344 :240:2010/03/16(火) 07:12:38
「二つの封筒問題」はとても良く出来た面白い問題だ。
>>323の例のように、
中身を見た段階でそれ以前の確率と変わることは当たり前なことなのに、
「封筒問題」では、中身を見た後も1/2のままだと思わされてしまう。
「確率分布の情報が何もないから1/2だ」とか
「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
などの誤った考察に導かれてしまう。
これがこの問題作者の上手いところだ。

そこで私は、封筒の中身を見ないことに決める。

345 :240:2010/03/16(火) 07:20:48
「中身を見なければ、」
他方の金額の方がが選んだ封筒より大きい確率は1/2だ。
つまり、他方の金額が選んだ封筒の金額の2倍である確率は1/2だ。
もちろん、他方の金額が選んだ封筒の金額の1/2である確率も1/2だ。
よって、「中身を見ないで」、選んだ封筒を変えれば期待値が1.25倍になる。

まぁ、ただのジョークだがね。

346 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 07:27:19
中身を見ることと、任意の正の実数をコールすることを等価に考えちゃうんだろうね。

347 :240:2010/03/16(火) 07:36:20
正解が早すぎる、、、混乱された人の書き込みを期待していたのに、、、

348 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 20:50:15
>>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで

> なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、3が、4が、、、全てxとなる。 
> 確立の全事象が起こる確率は1なので、 
> x+x+x+x+,,,,,,=1 
> これはありえない。 

このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの?

349 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 20:53:00
>>336
親視点 子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。

350 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 20:55:10
>>344
> 「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」 

上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう?

351 :240:2010/03/16(火) 21:49:23
>>348
http://ja.wikipedia.org/wiki/連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。

>>350
上限が(たとえば)100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという(誤った)結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。

352 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 22:11:05
学がない人(俺も)でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて かつ 現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。

353 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 22:19:19
>逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。

>現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。


学が無ければ学を身につければよい。

354 :352:2010/03/16(火) 22:31:10
現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。

Q1 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か?

→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。

有限集合で、上限の数字と下限の数字は1枚、以外の数字は2枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も(小さい字)で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。

Q2 十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか?

→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。

Q3 それでも1.25が正しい気がする。

→比の平均を考えていませんか?何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例:ある会社に事業部が2つあり、
A事業部は前年比売上110%、B事業部は前年比売上105%だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。




355 :326:2010/03/16(火) 23:30:16
>>351
前半
そこは本質じゃないと思う

封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう

もうこの時点で
>「任意の金額c円に対し、
>選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が2倍である確率が1/2である。」
>という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。

なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は (1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。

(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか?
選んだ封筒の期待値は  「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」 。
同様に、他方の封筒の期待値は 「 式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの 」。 この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの?って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。

もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4 と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。

>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ?
金額で積分しちゃえば親視点(?)になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。

356 :326:2010/03/16(火) 23:43:22
すまん
>つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る(積分して均す)と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。

もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。

357 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 23:48:07
>>343
>もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。

いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。

358 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 23:50:24
>>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな

359 :132人目の素数さん:2010/03/16(火) 23:52:30
>>358
俺のことか?

360 :352:2010/03/17(水) 00:38:15
このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。

361 :7:2010/03/17(水) 01:09:16
ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。

Nは2以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を2つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか?
交換してもしなくても同じか?
それ以外か?

362 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:15:04
>>361
> この時、A君は交換した方が良いか?
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか?」みたいな書き方にしとけば?

363 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:21:02
>>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。


364 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:24:46
やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。

365 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:25:28
期待値で計算するとね。

366 :240:2010/03/17(水) 01:35:02
>>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。

他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾(パラドックス)はなぜ起きるのか?という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が2倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。

さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。

この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも(違う計算ではあるが)同様に無意味なことだろ?多分ね。

いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。

367 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:38:20
あれ? 1.25倍になること自体が矛盾なのか?
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが

368 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:54:26
>>367
成立しない仮定は前提にできないよ。

369 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 01:56:56
難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「1万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値:12500 はなんかおかしいぞ?と思うのが正常な人間。

370 :240:2010/03/17(水) 01:58:01
>>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。

371 :367:2010/03/17(水) 02:02:44
>>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある

372 :7:2010/03/17(水) 02:09:44
>>362
>「交換した方が期待値が大きいか?」みたいな書き方にしとけば?
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。

交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う?

373 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 02:10:52
>>370
そうか?中学生にも分かる説明を考えたんだが。

374 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 02:12:23
>>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか?
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。

375 :7:2010/03/17(水) 02:26:09
>>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。

ところで、"さっき"ってどれのこと?

376 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 02:36:12
金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。

377 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 02:57:47
>>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。

378 :367:2010/03/17(水) 03:07:15
>>377
俺は>>366ではないんだが、>>355は間違ってる
封筒の期待値が発散している場合を考慮していないからだ

あらかじめ言っておくが、俺は
>「任意の金額c円に対し、
>選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が2倍である確率が1/2である。」
>という確率分布は存在しない。
という主張自体は正しいと思っている
ただ、>>355では証明になっていないと言いたいだけだ

379 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:15:17
>>363
要するに普通のサイコロふったら0の目が出たというような
ありえないことが起こったってことじゃないか?

380 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:16:20
>>379
>>364

381 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:17:18
いろんな人がいるけど
分かりやすいねえw
今度は積分で遊んでるw

生兵法は怪我の元

382 :367:2010/03/17(水) 03:21:23
>>381
御説ごもっともですね

茶々入れるだけのレス見ると真面目に説明するのが阿呆らしくなるなあ

383 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:31:05
そう言わずに真面目に説明するといい

アホらしくても間違っててもあえて使ってみるスタンスでしょ

384 :367:2010/03/17(水) 03:36:02
>>383
いや、俺はマジレスしつつも長文は書かないでいるんだけど

385 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:42:35
そもそも真面目な数学じゃないでしょ
付き合うならアホらしいとか言っちゃおれんでしょ

386 :367:2010/03/17(水) 03:44:16
ちらっと書いた事があったのを思い出した
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1265293548/616
そもそもの立場がこれだから、一様分布が存在するしないであんまり議論してもなあ、って感じなんだよ
間違ったレスを見つければ、>>378程度の説明はするけどね

てか、俺は>>382で「茶々入れてないでマジレスつけろ」って言ったつもりだったんだけど、何で俺に>>383が返って来ちゃうんだろう

387 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 03:52:22
マジでないものにマジレスをつけるの?
>>367自身はまともかもしれんが

388 :367:2010/03/17(水) 03:58:52
こういうスレはマジレスつけてなんぼのもん、と俺は思うんだけど、楽しみ方は人それぞれなのかな
>>377が寝ちゃったみたいだから、俺も寝るわ

389 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 04:09:04
>>388
マジレス要員も必要かもしれないな
それがどういう解釈で帰ってくるかを楽しむには

比率的に見て
基本的に我流数学を鑑賞する場だと思ってるよ
新しい道具があるとそっちに引きずられる様子とか
退屈しない変化球が次から次に飛び交うから

390 :s5179:2010/03/17(水) 06:20:38
>>342

サー、お金が増えれば得、減れば損です、サー。

昨日3/15からの17連勤が確定しました。
昨日までは3/26までの12連勤だったんですが
事後条件<27、28も仕事受注>で期待値が17になりました。
まあ、事後条件<倒れる>や<4/1仕事受注>でいくらでも変化するんですが

冗談はさておき
もしかして、親目線で、期待値分からない→期待値15000→期待値分からない(子が次をひくかどうか分からない)→期待値(語弊あり確定してるから)10000もしくは20000

こんな考え方もあり?

確率が0、1に偏った段階で期待値と言う言葉は使えないの?

話に参加したいよ・・・

391 :s5179:2010/03/17(水) 06:33:10

そうそう、昨日の幾何で解く!!

も条件付けを間違ってたね。
<必ず交換する>と<必ず交換しない>は同じ形で同面積になりそう
重複部分をどう処理していいか分からんよね
あとは条件をきちんと考えれば、解け・・・ないか・・・

392 :240:2010/03/17(水) 08:06:24
>>370
待ってる。

>>373
Q2への答えの、「マジック」ってどんなマジック?
「そんな気になるだけ」と言われても、、、どこがおかしいか指摘してくれなきゃ、、、
「統計とれば分かる」って、君はルーレットで統計取ったの?
僕もルーレット買ってこなきゃでめ?統計取らずには説明できないの?
Q3「何かの前提がないと」って、間違ってる人はその人なりに、
正しい前提のもとで計算してるつもりなんだから、おかしいところを指摘しなきゃ。

ほとんど理由を説明せづに、「君は間違いだよ」と言っているだけに見える。

そもそも、君が設定している有限ルーレットの問題設定では、いくら上限を十分大きく
とっても期待値の比がが1.25にならず、1のままだ。
二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
このことは高校生の知識で簡単に計算出来るよ。
今回ここで議論すべき問題じゃないだろ。

それと、「現実」の世界には「点」や「三角形」、「自然数」は存在しない。抽象概念は、
我々の頭の中に存在するもので、それを現実世界に投影しているに過ぎないんだよ。
そもそも>>354のどこが「現実に置き換えてみる」なんだ?
「具体例をいろいろ考えてみる」とか言ったほうが良いんじゃないかい?

393 :240:2010/03/17(水) 08:14:17
>>367
もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの?

上限が無いような確率分布なんていくらでもあるよ。
それらをもちいるたびにこんなパラドックスが現れたら、確率論が成立しなくなっちゃうよ。
「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
このようなパラドックスが起こるんだよ。
どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。

394 :240:2010/03/17(水) 08:22:53
>>372

>>327にかいたとおりA君の性格による。

395 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 09:07:42
>>392
交換したほうが得に見えるというパラドックスの説明なら、
順番はともかく、常に両方オープンすると考えても違いはないはず。
上限下限を除くと1.25に見えるけど、全てのケースを書き出していけば、
それは錯覚だとすぐ気づく。

>二つの封筒のような難しいパラドックスは起こっていない。
同意しかねる。難しく考えすぎじゃないか?面白い問題ではあるけど。


396 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 09:43:14
この命題を「統計でウソをつく方法」として捉えている。
難しい問題だと考えちゃうと一般の人がダマされるのも仕方ないとなっちゃう。
簡単に説明する方法はあるはず、というのが俺の考え。
どこでダマされたかを考えてもらうには、全部のケースを考えてもらうのが一番だと思う。

397 :240:2010/03/17(水) 10:38:52
>全てのケースを書き出していけば、それは錯覚だとすぐ気づく。
だから有限の場合は何の不思議もないんだよね。
(なぜか、有限の場合にこだわっている人がこのスレにはいるが、、、)

有限の場合は、ほとんどの場合1.25に見えるけれど上限下限の場合も計算すれば、
結局全体では1だと気づく。不思議はどこにも無い。
しかし、無限の場合には上限や下限が無いからすべての場合について1.25に見える。
もしそれが本当だとすると、>>393のように不思議な結果になる。
なんでだろうね?ってのがこの問題な訳で。
有限の場合の説明をいくらしたところで、
>>1の問題の不思議さの説明にはなっていないの。

398 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 10:47:39
>>397
無限の話は終わったのかと思っていた。
話を分ける必要がありそうだね。
有限だとしても錯覚するのが一般のレベルなんで。


399 :240:2010/03/17(水) 10:51:21
上のような書き込みをすると誤解する人がいるかもしれないから、
嫌味な書き方で気分悪くするかもしれんが断っておく。

私自身は、このパラドックスについては完全に理解しており、
何の疑問点も無い。
おかしな書き込みがあるから、
それはどういう意味で言っているの?
もしそうだとしたら、こうなるんじゃないの?それはおかしいんじゃない?
と指摘しているだけ。
正しい書き込みをしているひとに対して、質問したり否定したりはしていない。

400 :240:2010/03/17(水) 11:12:04
>>398
Q1を削除して、>>1とは別の有限の問題の説明をしているというなら、
君の言うことは正しい。変な指摘をしてすまなかった。

しかし、有限にした時点で>>1のパラドックスの主要部がなくなっているので、
>>1の説明をしていることにはならないよ。OK?

もちろん、有限の場合すら理解できない人に対しては君の説明はいみがある。
しかしこれは、足し算が出来ない幼稚園児に対して>>1の解説をするにあたって、
足し算の説明をしているようなものだ。

何度も言ってるが、「二つの封筒問題」は難しい問題だよ、
無限に関するパラドックス、よく知られているパラドックスはすべて、
完全に理解しているという人に対して出題しても、
えっ何でだろう?と迷うレベルの問題だよ。

通常のパラドックスや確率計算すら出来ない人にとっては、
他のパラドックスと同程度の難易度に感じるかもしれないがね。

それと、有限レベルの問題に興味ある人は、別すれを立てた方が良いのではないかな?
上で述べたとおり、>>1とは別の問題だからね。

401 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 11:16:07
有限に興味があるというよりは、どこで錯覚を起こしやすいかを考えているだけ。

402 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 11:23:00
>>393
>「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
>このようなパラドックスが起こるんだよ。
上限が無く一様でない確率分布で、同様のパラドックスが起きる例がある。

ttp://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
の「An even harder problem」の項。

403 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 11:57:51
>>351

>>348の論では連続一様分布も存在できないと思うがどうか?

404 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 12:03:51
>>403
348の論を使って、連続一様分布が存在できないことを
実際に証明してごらん(348のようには行かないことが分かるだろう)。

405 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 12:35:41
> Q1 無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か? 

>>354の これとかも 連続一様分布を否定しているように見える


406 :367:2010/03/17(水) 12:59:26
>>393
>>402が指摘してくれたように、
> 「上限が無い」「一様」二つ合わさって初めてありえない設定となって、
> このようなパラドックスが起こるんだよ。
> どちらか一方なら、普通に解ける普通の確率の問題だよ。
に対しては反例がある
君も俺も上限のない一様分布は否定してるが、それでこの問題が解決する訳じゃないってことだ

> もし金額によらずに、封筒変えれば1.25倍になるのなら、封筒を開けずに、
> 「こっちにする」「やっぱりこっちにする」「やっぱりやぱりこっちにする」
> て変えていけば、どんどん期待値があがるけど、それが真だと思っているの?
そんな事は無いよ
1.25倍(>>402のリンク先の分布ならば1.1倍)というのは、最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ
従って、もう一度交換すれば、当然10000円の封筒が手に入る
この問題では、条件付き確率の計算をしているからこそ、1.25倍(resp. 1.1倍)になるのだと言う事を忘れてはならない

407 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 13:41:24
>>405
無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能と思うなら、
その具体的な方法を提示してみな。

408 :240:2010/03/17(水) 13:42:56
たしかに、>>393での表現はの「初めて」というのは、そこだけ見ると誤解を招くが、
>>367の「金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる」とか
とか「一様密度分布の存在を否定してるのか?」という意見があったから、
片方だけではだめ、「上限なし」と「一様」両方の条件がそろって初めて密度関数が存在し無い。と言っているんだよ。

もちろん「上限なし」かつ「一様」の両方がそろわなくても、「上限なし」かつ「正の周期分布」という条件でも、
確率密度分布は存在しないよ。

さらに言えば、
二つの封筒問題の確率密度関数は非減衰関数。必ずしも「一様」つまり、定数関数とは限らない。
そのことは知っているよ。だから、ひとつの封筒の例つまり、上限の無い一様な確率密度の例は、
あくまでも、「二つの封筒問題」を理解する上での一つのステップ(ただし問題の本質は同じ)として上げたんだよ。
はるか昔に書いたことだが、二つの封筒の問題を考えるには、二次元の確率密度関数の計算をする必要が
あ。そういう意味でも、「二つの封筒」問題は、上限の無い一次元一様密度関数の問題よりはるかに難しいよ。


409 :240:2010/03/17(水) 13:49:43
>1.25倍(>>402のリンク先の分布ならば1.1倍)というのは、
>最初の封筒の金額が10000円であるという条件の下での期待値だ

最初の金額が10000円のときは本当に1.25倍なの?
じゃあ、最初の金額が20000円のときは何倍?

410 :240:2010/03/17(水) 14:09:44
あらためて>>367に対するレスをかくよ。

「最初の封筒の金額が
10000のとき、交換すると1.25倍。
20000のときも、交換すると1.25倍。
金額がいくらであっても、交換すると1.25倍。」
これは正しくない。
金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。

「金額に上限が無い」+アルファの条件があって初めてこういう矛盾が起こる。
+アルファって言うのは、例えば、「一様」とか「正値周期密度」とかね。

411 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 14:39:46
あのさあ、基本的なことなんだけど、>>1を読んでどうして
選ばなかった封筒の中に5000円が入っている確率と20000円の入っている確率が
等しくならないのかがわからないんですけど、教えてくださいませんか?

412 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 14:50:05
>>407
何を勘違いしてるのか知らんが、そういう視点だと
「2つのボールから等確率(1/2ということ)で1つのボールを選ぶ」
という作業でさえ不可能だよ。偏りなく選ぶ"方法"を
どうやって具体的に提示するというのか?
「等確率で選んでくれる便利な装置」の存在を
予め仮定しておくしかないでしょ。その装置の中身が
どういう仕組みなのか説明することは不可能でしょ。

「コインを投げて、表か裏かで判断すればいいじゃないか」

と思うかもしれないが、それは「偏りなくランダムに選べばいい」と
言っているのと同じことで、全く説明になってない。
コインをどのように投げれば、偏りなく表・裏が出るのか
説明されていないからね。

413 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 14:51:32
コインを投げる場合は、投げ方はもとより、コインの形状はどうするのか?
テーブルの形状はどうするのか?そもそも物理法則はどうなっているのか?
…こういうのを1つ1つ細かく設定しなければならない。
そして、それらの設定が済んだとして、どうしてそれらの設定のもとで
偏りなく表・裏が出るのか証明しなければならない。当然ながら、
どの設定にも「ランダムに〜」とか「適当に〜」とか「気まぐれに〜」とかの
言い回しは使ってはいけない。それは「等確率で選んでくれる便利な装置」の
存在を予め仮定していることになるから。

414 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 15:38:22
>>412
ひどい勘違いですね。有限ならばモデル化して統計とることは可能。
無限ではモデル化不可能。

415 :367:2010/03/17(水) 15:42:13
>>410
もちろん、
> 金額に上限が無いという仮定だけではこんな正しくない結論は得られない。
は正しい。分布が与えられない限り、期待値の計算ができないからだ
そして、上限の無い一様な分布は無い
ここまでは君も俺も認めてる事だと思う


>>406でも書いたけど、一様でないが同様の現象が起こる分布が存在する
その例が>>402のリンク先で挙げられていて、この場合は1.25倍の代わりに1.1倍になる
これが、君が>>410で書いた「+アルファ」にあたるもの
この分布は文句のつけようの無いもので、離散であり、全空間の測度が1になっている

だから、>>366で君が書いた
> その答えとして、
> >(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
> >もう一方が2倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
> 存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。
は正しくない
最初に選んだ封筒の金額がいくらだったとしても取り替えた場合の期待値が1を超える、という分布は現に存在するんだから……

416 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:04:14
>>414
>無限ではモデル化不可能。
どうしてそのことが、数学における一様連続分布の存在の否定に繋がるのか?
そもそも、そこで書いている「モデル化」の定義は何なのか?


・モデル化の定義は?
・その定義のもとでの、「無限ではモデル化が不可能である」ことの証明は?
・「無限ではモデル化が不可能である」ことからどうやって「一様連続分布は存在しない」ことを証明するのか?

417 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:08:10
>>416
空論だな。あほらしくなってきたわ。

418 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:09:54
一所懸命考えて言葉遊びになってしまっている者
人が真面目に考えているのに言葉遊びに変えてしまう者

419 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:11:04
>>417
えっ?だって、君によれば「一様連続分布」は存在しないんでしょ?
おかしいなあ、数学では存在性が保証されてるのに。


一様連続分布が存在しないと言うのなら、そのことを「証明」してくれよ。

420 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:20:40
コインの形状とか言い出すレベルの低い奴の相手はしないよ。
悪いな。

421 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:23:54
>>420
証明できないんだね。

当たり前だよね。だって、数学では存在性が
保証されてるんだから。証明できっこないよね。

422 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:27:45
>>411
その通り。単なるヘリクツです。
確率分布がわからないとかぬかしているバカばかりです。

423 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:42:40
ある七面鳥が毎日9時に餌を与えられていた。
それは、あたたかな日にも寒い日にも雨の日にも晴れの日にも9時であることが観察された。
そこでこの七面鳥はついにそれを一般化し、餌は9時になると出てくるという法則を確立した。
そして、クリスマスの前日、9時が近くなった時、七面鳥は餌が出てくると思い喜んだが、
餌を与えられることはなく、かわりに首を切られてしまった。

424 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 16:57:35
>>399
指摘をされた受け手が受け入れる力があるとは限らないわけですが。

425 :240:2010/03/17(水) 17:48:39
>>415
もしかして、君は

>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が2倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
は正しくない。つまり、(*)という確率分布は存在する。

と主張している?

426 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 19:58:41
10000円という具体的な数字が出ているにも関わらず
あいも変わらず無限について考えるのは言葉遊び

427 :240:2010/03/17(水) 21:29:50
>>415
ごめん。>>378で「正しいと思ってる」って書いてたね。>>425は無視して。
じゃあ君はパラドックスの原因は何だと思っているの?

10000円のとき、他方の期待値は12500円。
同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
何度も変えれば期待値はどんどん増える。
なぜこんなおかしなことになるのだ?

私の答えはもちろん「(*)という存在しない確率分布を仮定して
計算しているから誤った結果になる。」

428 :7:2010/03/17(水) 21:53:07
>>427
例えば
賞金の組が{5000*2^n,10000*4^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
とすれば、最初に確認した金額が5000円の時のみ、交換後の期待値は2倍に
5000円以外を確認した時は交換後の期待値は148/199(≒1.246)倍になる。
つまり、どの金額を確認しても、交換後の期待値の方が1倍になる。
でも、このこと自体は矛盾でもパラドクスでもなんでもない。
確率分布もちゃんと存在するものである。

あくまでも
未確認の金額の期待値は確認済みの金額(金額の期待値ではない)の2倍か約1.246倍
になるのであって、金額確認前に何回も交換したからといって、期待値がどんどん
大きくなるわけではない。中身を確認してないのに一方の金額の期待値が他方の金額の
2倍か1.246倍とすることはできない。この辺のことは240自身が書いた>>345
ジョークに通ずるものがあるだと思うのだが…。

429 :240:2010/03/17(水) 22:35:05
>>428
君の考えてることがよくわからん。
きみは、「>>425の(*)の確率分布は存在する。」と考えているの?

430 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 23:16:16
428
>に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)

ここが恣意でおかしい。

でも、そこの設定を自分が決めたせいでおかしくなる
そこを変数にすれば答えも変わる、ということを言ってるならあながち間違いではない

自分が決めたせいでおかしくなる、よって誤り、まで行ければ一段階クリア

431 :240:2010/03/17(水) 23:19:15
>>428
1倍→1倍より大きい、と読み替えて。
その話は、封筒に入れる賞金の期待値が無限大であるというおかしな前提を利用して、
「確認した金額によっらずに交換すると期待値が増える」
という誤った結果を導くパラドックスであると思うが。

432 :7:2010/03/17(水) 23:34:14
>>429
存在しないとは思うけど、正直わからん。
逆に質問なんだが
0以上1未満の実数を等確率に1つ選ぶ装置は
数学的に存在すると思う?


>>428で言いたいのは、>>427
>じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
>何度も変えれば期待値はどんどん増える。
>なぜこんなおかしなことになるのだ?
に対する答えが
>「(*)という存在しない確率分布を仮定して
>計算しているから誤った結果になる。」
では、不適ではないかという指摘。

なぜなら、>>428のような確率分布は勝手に持って来たモノではあるが
確かに存在して
5000円を確認した時のみ、他方の期待値10000円で5000円の2倍になり
10000円を確認した時、他方の期待値は約12460円
20000円を確認した時、他方の期待値は約24920円

A円(ただしA≠5000)を確認した時、他方の期待値は約1.246 A
どんな金額を確認しても、他方の金額は2倍か約1.246倍になり
1倍よりも大きくなる。
>じゃあ金額見る必要もなく
変えれば期待値1倍以上。
>何度も変えれば期待値はどんどん増える。
>なぜこんなおかしなことになるのだ?
の答えとして
"存在しないから"は誤り。

433 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 23:36:55
>>430
そこは おかしくも何ともない。一様分布でない別の分布を設定して
議論してるだけだろ(>>1でない全く別の問題を設定して議論している、ということ)。

434 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 23:40:18
>>432
数学的に なのに
装置の実在を問うのかw

435 :240:2010/03/17(水) 23:49:21
まず、(*)の確率分布は存在しないよ。これは間違いないよ。
>0以上1未満の実数を等確率に1つ選ぶ装置は
装置っていう言葉使いが気になるが、存在するよ。
ランダムに時計を見れば、0:00から12:00までを等確率で指している。
この時刻の文字盤を変えてやればいいだけだ。

>>428のパラドックスに対して「存在しないから」はあやまりだよ。
しかし>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは?

436 :7:2010/03/17(水) 23:58:15
>>430
>>1の問題文からは
金額の確率分布はわからないだろ。
(>>240の1か2か3か4か判断できない。特に3はありえなさそう)
特定の確率分布(特に今回の様なかなり意図的な分布)を仮定した時点で
>>1とは別問題になるのは当然だろう。
それなのに、一々
"この問題は>>1とは別問題なんだけど〜"と前置きしないと
わからない奴がいるのかい?

>>434
わかりにくい表現であることはあやまるが
"〜の条件を満たす写像は存在するか?"みたいな意味での
"存在"であって、実在を訊きたいわけではない。
要は"0以上1未満の実数を等確率に1つ選ぶ"という行為を
してもいい(問題の仮定などに使っていいのか?)

>>435
>>427に対して「存在しないから」は誤りではないのでは?
誤りではないが
>何度も変えれば期待値はどんどん増える。
>なぜこんなおかしなことになるのだ?
に対して画一的な答えではないので、不適ではないかと言った。

また質問なんだけど
全ての実数から等確率に1つ選ぶということは数学的にしてもいい?

437 :132人目の素数さん:2010/03/17(水) 23:59:41
>>435
無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させられるかい?
そのことを説明できるかい?

438 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 00:11:15
>>437
Ω=[0,1), F={A⊂Ω|Aはルベーグ可測}, P=[ルベーグ測度] として、
確率変数X:(Ω,F,P) → R をX(ω)=ωで定義すれば、
Xは標準一様分布に従うから、XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数と解釈できる。

439 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 00:12:45
>>432
>何度も変えれば期待値はどんどん増える。
>なぜこんなおかしなことになるのだ?
この問題では変えていない状態と1回変えた状態は異なるから。
もっというと変えていない状態と2回変えた状態が等しくなるという条件が含まれている。

なので期待値が2^x倍(xは初期値0でランダムウォーク)にはならない。


440 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 00:15:31
>>438
もっと分かりやすく言ってくれますか?

無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
だから無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができます

に見えるんだけど。


441 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 00:23:09
>>440
>無理数まで含めて、ちゃんと全ての数を等確率で対応させることができると決めました。
違う。先に対応だけを決めておくのだ。今回はX(ω)=ωだ。この時点ではまだ、
Xが「偏りのない選び方をする確率変数」になっているのかは不明だ。

で、この後、実際にXの分布を計算する。A∈Fに対してP_X(A)=P(X∈A)=P(A)=(Aのルベーグ測度)
となるから、Xの分布P_Xはルベーグ測度(のFへの制限)に一致すると分かる。
つまり、Xは標準一様分布に従うということ。ここまで来て初めて、
XはΩの点を偏り無く選ぶ確率変数だと解釈できる。

442 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 00:31:40
>>439
わかってると思うが封筒チェンジで全く状態が変わらないと仮定した時に
ランダムウォークするのは期待値でなくて金額の倍率のべき乗部分ね。
当然交換すればするほど期待値は上がっていく。

443 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 01:09:04
>>441
ピンとこない
標準一様分布にあてはめることにしました、
だからあてはまります、と言ってるようにしか見えない

444 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 01:24:37
>>443
これがピンと来ないなら、まずは標本空間が有限集合の場合で、
偏りのない選び方をする確率変数を作ってごらん。
君の論法によれば、そういう確率変数に対しても「ピンと来ない」ことになってしまうぞ。

445 :240:2010/03/18(木) 02:38:14
>>437
あくまでも高校までの直感的な説明。これでだめなら測度論が必要。
それと、多分知ってるとは思うが、
すべての[0,1)上の数を等しい確率で選ぶって言っても、その確率は0だよ。
通常0以上0.1以下をさす確率は1/10などと用いるのであってね。
区間の長さに比例した確率になっていることが、等しい確率確率で指すことの意味。


446 :240:2010/03/18(木) 02:47:34
>>436
それは不可能。

447 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 03:00:10
>>445
無理数まで扱うとね
全ての数に等価に対応させる、というのは変に思える
その場合

limn→∞ 1/n のイメージで
>確率は0だよ。
の方が納得いきやすい

448 :s5179:2010/03/18(木) 06:48:21

ちょっと質問なんだけど

2つの封筒を(A、B)として
aは実数とする
Aに入っている金額をa 、Bに入っている金額を2aとする
二つの封筒の中身の合計金額をX、得られる金額をYとすると。

得られる金額が多い方はY=2/3Xの直線
得られる金額が少ない方ははY=1/3Xの直線
得られる金額の期待値はY=1/2Xの直線

になるのは間違いないと思うんだけど。

質問、 aの変域を∞にすることは可能か不可能か

どうなんだろう?

このグラフを見てると1/2aなんかなかったんや!!って星野仙一風に叫びたくなる・・・

449 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 06:57:21
「変域を∞」?

Xを限りなく大きくすることならできるだろう
定義域を負まで延長してもいい

で、何か意味があるのか

450 :s5179:2010/03/18(木) 08:14:19
訂正
質問、aを限りなく大きくすることは可能か?
意味
>>1の問題を解く指標にしたい、無理そうだけどこのグラフから>>1の期待値のグラフを書きたい

451 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 19:53:39
>>447
有理数でも同じ?

>>435
時計を「観測」する例えでいいなら有理数と考えていい?

452 :240:2010/03/18(木) 21:52:36
これは高校生向けに「イメージ」を話しているだけなので、厳密に議論する話ではないが。
針がカチカチ動くデジタルではなく、スーッっと動くアナログ時計をイメージしてくれ。
数直線の上に無理数があるのと同様、
文字盤の0時と1時の間にも無数の無理数が稠密に存在するとイメージしてくれ。

時間は連続的に変化するよね?
ルート2分という時間も存在するよね?

453 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 22:12:43
>>452
無理数が稠密にって言われると余計分からなくなるけどw
質問の意図は有理数でよければそのほうが簡単かなと。
どうやら無理数が必要みたいですね。

#どこかで観測した数値は有理数って書いてあるのを見た気がする。

454 :240:2010/03/18(木) 23:02:32
「観測」ってそういう意味で使ってたのか、、、
たしかにそういう意味では、無理数は観測できないね。
ルート2グラムのものの重さを測定したら、どんなに精密なはかりを使っても、
1.4142グラムになっちゃうしね。

時計の例は、連続的な値をとる確率変数の分布のイメージを、
直感的に説明してるだけ。数学的に厳密な話では無いから忘れてくれ。
wikiの確率分布の項でも読んだ方がちゃんと理解できるだろうから。

455 :367:2010/03/18(木) 23:44:41
>>427
返事が遅くなって申し訳ない

> 10000円のとき、他方の期待値は12500円。
> 同じ理由でA円のとき、他方の期待値は1.25A円。
> 金額によらずに変えれば、期待値が1.25倍。
> じゃあ金額見る必要もなく、変えれば期待値1.25倍。
> 何度も変えれば期待値はどんどん増える。
> なぜこんなおかしなことになるのだ?
この議論は一見正しく見えるが、実は違う
封筒を見る前の期待値を計算してみれば、発散してるのが分かるはずだ
標語的な書き方になるが、∞の1.25倍は∞なので矛盾していない

456 :367:2010/03/18(木) 23:49:54
ああ、多分240氏は分かってくれると思うけど、俺は例の分布は否定しているよ

457 :132人目の素数さん:2010/03/18(木) 23:51:45
>>452
無理数にまで均等に対応させることはできる?

有理数の段階でそれぞれの確率→0は納得いくから
無理数に拡張する必要はないが念のため

458 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 00:18:12
0以上1未満の実数を、2進数によって無限小数展開する。
有限小数については、0.1=0.1000… のように、0が並んでいると
思って無限小数だと見なす。

無限小数の各桁について、0が選ばれる確率も1が選ばれる確率も1/2だとする。
このような選出方法を取れば、任意のx∈[0,1)について、xが選ばれる確率は
等しく0である。また、選ばれた実数が区間[a,b]⊂[0,1)に入る確率はb−aとなる。
よって、この選出方法は偏りのない選出方法だと見なせる。

0.1000…=0.011111… のように2通りの表現方法を持つ実数があるから、
このような実数は若干選ばれやすいような感じがするが、確率を計算すると
どのみちゼロになるので、やはり等確率である。

459 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 00:49:08
0〜1の実数を得たとしてどう正の数にもっていくのかが問題だ。
1/x-1で写せばとりあえず正の数全体にはなるが均等にはならないよな。
理想分布関数は全領域の積分が1、任意の有限区間の積分が0、x=0以外の任意のxでの微分が0だが。

460 :240:2010/03/19(金) 02:15:07
>金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが
期待値が有限の場合には、(上限があろうと無かろうと)起こらない現象だよね?

私は、期待値が無限大の場合は特別だと思っていたので理解できなかったが、
やっと理解できました。

確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの?
たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
みたいなことを何の注意書きも無く書いて良いものなの?
(私は、確率論は専門で無いので、、、)

実数の四則演算に∞を加えても、「∞*2=∞」とか「∞+1=∞」とか「∞ー∞は不定」などの
規則を導入すれば矛盾しないことには同意します。
これらの計算規則(たとえば∞+1=∞)に対応する確率の問題を作ったとしよう。
すると、一般的な感覚とはズレた不思議な現象が起こっている。
しかし、∞を認めて規則を導入する立場からすると、「何も矛盾が起こっていない。」という結論。
一方、∞を認めない(よってx+1=xはぜったに成立しないという)立場からすると、
「∞の期待値という誤った仮定のもと計算したから、x+1=xという矛盾が起こる。」という結論。
君が前者で、私が後者。
おそらくどちらの立場をとる場合も、この不思議な現象をパラドックスと呼ぶと思う。

461 :240:2010/03/19(金) 02:22:43
>>459
それは不可能だって上の方で書いてあるでしょ。
[0,1]での積分値をxとする。均等だから任意の自然数に対して、[n,n+1]での積分がx。
よって全積分、つまり[0,\infty)での積分はx+x+,,,,=1。しかしこのような実数xは存在しない。

462 :367:2010/03/19(金) 02:32:41
>>460
ああ、>>367で「普通に起こりうる」と書いたのがいけなかったのか
> 期待値が有限の場合には、(上限があろうと無かろうと)起こらない現象だよね?
同意します

> 確率論では期待値∞の場合も普通に扱うものなの?
> たとえば、「これこれの期待値をxとする。このとき、、、、。よってx+1=xが得られた。」
いや、そういう感じで書くのは背理法で期待値の発散を証明するときくらいじゃないかな
だからこの問題に対する俺の立場は、「よって期待値は発散している」だね(ずいぶん迂遠な証明だけど)

463 :240:2010/03/19(金) 03:09:46
これで私も君も、お互いの考えをほぼ理解できたと思う。
残された見解の相違は、>>1の問題(と言っても「確率1/2なので」の部分や、これ以降の続きの部分が省略されているが)
の本質がどこにあるか?という点だと思う。

私は、この問題をただ単に「期待値無限大のパラドックス」の問題と捉えるのはどうかと思う。
「任意の金額に対して、他方が二倍となる確率が1/2というありえない仮定を信じさせること」が本質だと思う。
とは言っても前者を完全に否定している訳では無くて、後者の方が重要かな。くらいの意味だが。

464 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 05:08:14
交換を続けてエスカレートしていく考え方は間違い

取りうる事象が無限まで発散すれば
確率を1におさめても
期待値が無限に発散するという意味の無限なら正しい


465 :s5179:2010/03/19(金) 06:38:36
そろそろ、>>1の問題に対して勝利宣言をして貰えないだろうか

例えば、
有限の場合は取り得る値の範囲が提示されていないので設問ミス
無限の場合は期待値が発散(5000と20000の間で)しているので期待値12500とするのは誤り
引いた方が得かどうかは分らない

みたいな感じで、

あとは>>463のパラドクスもしくはありえない仮定を信じさせる原因の究明で
2封筒問題は解決したことになる(のだろうか?)

そろそろ終わりが見えてきた?
私は240さんや367さんの言っていることに異論はありません(だいたい理解できた)

466 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 06:48:37
勝利宣言w
子供か

まあ勝利宣言と呼ぼうがどう呼ぼうが好きにするといいが
結果が出たのあとも2スレほどかかったあげく
それでも納得いかずに独立したスレだから
勝利宣言がなされようが
本来の問題からかけはなれた新たにつけたした部分から生じた疑問を
同じ問題だと思って迷い続けたり
学べば済む未習得の基礎知識を我流でこねくりまわす人は
今後も出てくるんじゃないですかね


467 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 07:32:12
>>461
実数で無理なのは明らかだが、そこで議論終了しちゃうんですか。
超関数は考えないんですか。

468 :240:2010/03/19(金) 07:46:05
今、勝利宣言するのはs5179さんじゃないかい?
私は、>>240の時点で、って言うか10年以上前に勝利宣言しているつもりなのだが、、、
まぁ、>>367タイプの
「(*)の非存在をスルーして、1.25倍についても無限期待値を認める立場だから問題ないとする」
という考えは今回初めて知った。
おかげで誤解をしてしまい、長々と恥ずかしいレスを続けて申し訳なかったが、勉強になった。
そういう意味で、>>399の「完全に理解しており」というのは言いすぎだったな。

469 :240:2010/03/19(金) 07:50:19
>>467
均等な場合うを考えているから考える必要があるのは定値関数のみ、超関数を考える必要はない。

470 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 12:10:31
超準解析を持ち出せば、どうなるか分からん。
正の無限小εを固定して、定値関数εを考えるとか。
(超準解析で確率論を展開する試みは実際にある。でも詳しくは知らない)

471 :132人目の素数さん:2010/03/19(金) 20:05:00
常に交換しないAさんと、常に交換するBさんがそれぞれn回チャレンジするとする。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1でないことを期待できる分布は存在しますか?

472 :s5179:2010/03/20(土) 09:09:31
>>468

私は
「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」
の答えまでしか認識していませんでした。
>>1 が大問1題のみのテストだったら30点ぐらいでしょう
240さんと367さんのそこに至る証明が出来ている答えとは雲泥の差があります。

>>465の例えが正しいか、間違っているかは、まだ確証はありませんが
少なくとも 「期待値は分からない引いてよいかどうか分からない」 より答えに近づいていると思います。

2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので、数学書などを買って久しぶりに勉強したいと思います。

240さんはずっと大学生もしくは院生(理学部数学科)と思っていました、
私と同じか年上なんですね予想外です。


473 :132人目の素数さん:2010/03/20(土) 09:14:42
>2つの封筒問題を通して数学の面白さを思いだしたので
俺もここがきっかけで、数学じゃないけど理系の面白さを思い出したよ
本題そのものは興味深い新たなものは出てこなかったけど
そこから派生してくる正誤含めたさまざまなアイデアにいい刺激があった

474 :240:2010/03/20(土) 12:52:41
>>471
期待値∞の分布で金額をいれれば、AもBも期待値∞。∞と∞の比(つまり∞÷∞)は不定。

無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。
私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
封筒には1億円入っていた。期待値∞なのにたった1億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない(差が-∞)金額しか得られない。

475 :132人目の素数さん:2010/03/20(土) 13:40:25
>>474
ありがとうございます。
Aさんの獲得金額とBさんの獲得金額の比が1.25とか1.1等の有限の値に
収束するケースがあるのかどうか知りたいです。
自分の勘ではなさそうなんだけど。

476 :132人目の素数さん:2010/03/20(土) 13:43:49
1以外の値ということで。

477 :240:2010/03/20(土) 14:17:36
期待値有限の確率分布ではありない。

問題文のn回とか、収束とかは意味無い。一回の場合の期待値のみ考えた方が良い。


478 :132人目の素数さん:2010/03/20(土) 14:38:12
>>474
ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか

>私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
この時点で破綻してるけど

479 :132人目の素数さん:2010/03/20(土) 15:34:39
一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議

480 :7:2010/03/20(土) 20:35:41
>>478
封筒に金額を入れる時、金額の確率分布を
封筒を開ける前の金額の期待値が+∞に発散してしまうような確率分布で
考える、というようなことだろ。破綻してないと思うけど?


481 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 00:25:17
具体的には?


482 :7:2010/03/21(日) 01:33:14
>>481
具体的には、例えば>>428の確率分布(一部修正)
賞金の組が{5000*2^n,10000*2^n}(n=0,1,2,3,…)に選ばれる確率(99^n)/100^(n+1)
組を決め、決まった金額の組を2つの封筒に入れる。
2つの封筒のうち、どちらの封筒を受け取るか同様に確からしいとする。
(いつまでたっても混同してる人がいるので一応断っておくが、この分布を仮定した時点で
 >>1とは別の問題であり、もちろん私もそのことを理解している)
簡単な計算で、この確率分布がありえないモノでないこと
(封筒を開ける前の)受け取った金額の期待値(の式)が+∞に発散することが確認できる。


>>479
個人的な意見・感覚として、最終的に得られる金額を最大にしようとするなら
1回しかゲームをしない時
・2つの封筒の金額のうち、大きい方を選べばよい等と考える
→最初に受け取った方が大きい方である確率1/2,小さい方である確率1/2なので、交換してもしなくても同じと考える

・金額の期待値を計算できる時、金額の期待値の大きい方を選択すればよい等と考える
→未確認の金額の期待値が確認済みの金額(の期待値)より大きいなら、交換した方が良いと考える

と交換するかどうか判断する時に2つの考え方があって、どちらを採用するべきだと思うか感覚的には
決まらなくて、混乱しやすいのだと思う(そもそも論理的に判断できるようなものではない)。
一方、複数回ゲームをやる時は、"1回1回で大きい方を選ぶかどうか"という上の考え方よりも
"金額の期待値を参考にする(小さく損して大きく儲ける)"下の考え方の方がしっくり来やすいので
混乱しにくいのだと思う。(ギャンブルとして、最終的に交換するかどうか決めるのは
個人の感性・性格の問題であって、交換した方が正しいとか正しくないというようなことは言えないことには注意)

483 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 02:20:52
>>482
前半
>簡単な計算で
示してくれ。nを無限にしなくて発散するのかどうか

後半
>個人の感性・性格の問題であって
感覚的な損得の話にもっていったら期待値とは関係なくなってる
(本来感覚的な損得は問題ではなかったところに、かってに損得感覚を持ち込んだ上で
それは関係ないと但し書きをつけるというような、本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている)と思うが


484 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 02:31:07
本来の問題なんて、ありがたがる価値あるの?
期待値不定で決着ついてるじゃん。

485 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 02:34:01
有難がってはないわけだが。


486 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 04:32:17
>>474
>無限大の期待値を利用すれば、こんなパラドックスもつくれる。 

それのどのあたりがパラドックスなんですか?
なにか矛盾しているようには見えないんですが。

487 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 04:36:15
封筒に入れる金額を以下のような手順で決める。

1)  1円用意する。
2) コインを投げ、表が出たら 用意した金額を封筒に入れ、終了。
3) 用意する金額を2倍に増やして、手順2)にもどる。

封筒に入っている金額の期待値は?

488 :240:2010/03/21(日) 09:14:34
>>486
自然に感じられない結論が得られれば、矛盾が無くてもパラドックスと言う。
期待値∞を理解していない人は、
常に期待値を下回る金額しか得られないことを不自然に感じるはず。

>>484
期待値不定というのは、
「どのような確率分布でいれたか分からないから、どのような確率で2倍、1/2になるか
分からない」って答えのこと?
それが一番シンプルな答えではあるが、普通それだけじゃ納得しないと思うが。

489 :240:2010/03/21(日) 09:38:08
>>484
普通は、「じゃぁ、確率分布は分からないけど1/2になるように入れた場合はどうなの?」
って聞かれると思うんだけど。

490 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 09:46:43
「分布不明のところで期待値に何の意味がある?」
と聞き返せばおk。

491 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 09:50:03
>>489さんだったら、難しい数学の話をして説明するんだろうか。


492 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 10:04:05
分布不明だって期待値に意味あるじゃん。
ただで賞金がもらえるとして期待値1円のと期待値1億円のどっちがいい?っ聞かれて
分布が分からないから分からないと答える人はほとんどいないと思うが。

493 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 10:11:23
その前に分布不明のところで期待値を求める方法を提示してくれ。
話はそれからだ。

494 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 10:11:39
知ったかが多いなぁ…
確率に色気を出した文系が集うスレか

495 :240:2010/03/21(日) 10:14:51
>>493
だから、2倍の金額の確率が1/2、1/2の金額の確率が1/2ってことから求められないの?
って言われるとおもうが。

496 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 10:24:47
>>495
一般人はそんなツッコミしないよ。どんな人を想定してるんですか?

497 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 10:28:39
もし聞かれたら「このスレ嫁」だなw

498 :7:2010/03/21(日) 11:16:40
>>483
>nを無限にしなくて発散する
ってどういうこと?ちょっと意味がわからない。

>本来の問題から見れば余計かつ無駄な行為をしている
そりゃあ本来の>>1の問題じゃなくて、>>479
>一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
という錯覚の原因として、個人的に考えた・感じた意見を書いただけだからなあ。
錯覚の原因が本当にそうかどうかは、もはや数学の分野の問題じゃないから
意味がないといわれれば確かに意味はない。

499 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 13:56:17
引用部分の意味がわからなくてもいいから
とにかく期待値が無限になる式を例示してくれ

500 :7:2010/03/21(日) 19:44:49
>>478
>ペテルスブルクのパラドックスをいじったのか
って気づいてるのに、説明する意味あるの?
>>487を少しいじって
1)3円用意する。
2)コインを投げ、表が出たら 用意した金額を金額比が1:2になるように2つ封筒に入れる。
 裏が出たら用意する金額を2倍に増やす。表がでるまで手順2)を繰り返す。
3)2つ封筒のうち、どちらか一方を等確率に選んで受け取る。
という設定で、封筒を開ける前の受け取った金額の期待値を考えても
基本的には同じ。それとも封筒を開けた後の金額の期待値と混同してる?

>>482の確率分布で計算すると
最初に受け取った封筒の金額が
5000円である確率=(1/2)*(1/100)=1/200
5000*2^k円である確率(k=1,2,…)
=(1/2)*(99^(k-1))/(100^k)+(1/2)*(99^k)/(100^(k+1))=(199/20000)*(99/100)^(k-1)
となっているので、全てのk(=0,1,2,…)で
0<(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)<1
Σ_[0,∞]{(最初に受け取った封筒が5000*2^k円である確率)}=1
となっている。

封筒を開ける前の金額の期待値の式は
5000*(1/200)+Σ_[1,∞]{(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)}で
全てのk(=1,2,…)に対して
(5000*2^k)*(199/20000)*(99/100)^(k-1)=(199/2)*(198/100)^(k-1)>1
であるから、封筒を開ける前の金額の期待値の式は(絶対)収束せず
正の無限大に発散する。

501 :240:2010/03/21(日) 19:56:54
しかし、>>484の答えで終わりにするなら、こんな問題考える必要ないよね?
封筒二つとかまったく答えに関係ないし。
確率分布がわからないから分からないって答えは、正しくはあるけど、
もっともこの問題の主旨から外れた答えだとおもうが。
まぁそれで満足する人がいるならそれで良いけど。
私は、分からないって答えも押さえた上で、>>489の仮定のもとでも考える
べきだと思うが。

502 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 20:25:09
>>501
なんだか、いかにも気に入らないふうな書き方ですね。
同じところをグルグル回るのは止めよう、必要なら明示的に条件追加したらって考えだけど。
>>489の仮定だって、上限がないと発散するで決着ついたと思ったけど違うのかな。

503 :240:2010/03/21(日) 21:12:26
うん。>>484は気にいらないよ。
そこまでで考えを止めるなら、問題の価値なんてほとんど無いからね。

504 :7:2010/03/21(日) 21:34:50
>>501
なにかしら確率分布を仮定した時点で>>1とは別の問題になるんじゃないの?

>>1とは別の問題を考えること自体は非難しない(私も条件を追加したりして>>1とは別の問題を考えている)けど
勝手に(ありえない)確率分布を仮定しときながら「この問題の本質は
ありえない分布を仮定して考えてしまうことだ!」と言ったり
「他の分布を仮定したら、まったくの別問題だ!」
という主張は、ちょっと私には受け入れられない。

505 :240:2010/03/21(日) 21:57:02
たとえば「実は入れた人は10000円以上持ってなくて10000円20000円の確率0と仮定すると、
交換しないほうが得です。」ってのはこの問題の本質を離れすぎだと思う。
「必ず他方の金額が二倍の確率が1/2とすると、、、」という仮定は、
問題文を離れすぎていないし、普通に考える疑問だと思う。
もちろん主観的な意見だが。

それと一つ疑問なのは、2つの封筒問題とは普通>>1よりもう少し問題文が長いと思うが、
それらを考慮しないで、純粋に>>1だけを問題として考えるのがこのスレの立場なのか?

506 :132人目の素数さん:2010/03/21(日) 22:09:02
分布によって面白い性質があるにしろ、それは分布別に考えればいいことじゃないか
と自分は思うけど、240さんはそれでは満足できないんだね。
その部分にどんな面白さを240さんが感じているのかは自分には理解できない。

507 :240:2010/03/21(日) 22:21:19
>それは分布別に考えればいいことじゃないか
そりゃそうだよ。しかし、>>505の冒頭の答えだけで解けたことにするのは納得いかないだろ?

それと、通常この問題は、>>1の後に
「もしこの考察が正しいなら、他の金額の場合も同様に1.25倍になる、
金額によらず1.25倍になるなら、金額を見なくても、交換するだけで1.25倍になる、、、」
と続く。だから、>>505三行目の仮定を私は考えているのだが。

508 :240:2010/03/21(日) 22:44:30
それと私は、
「確率分布を、、、とする」というように一意には仮定していないよ。
あくまでも、問題文の続きを考慮して、「>>505三行目を満たす確率分布とする」
というように分布の性質を仮定しているだけで。

509 :240:2010/03/22(月) 01:44:36
読み返すと>>495に対する>>496は誤解されているような気がするな。
>>495で言いたかったのは、
「分布不明だからわからない」
に対して、
「えっ、でももし確率1/2なら12500円じゃないの?」
ってこと。一般人もそう考えると思う。問題文にもそう書いてある訳だし。

510 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 03:11:20
この問題、俺の中では完全解決してるんだけど
今は何で揉めてるの?
まあそれをまとめるのが数学と言うものか。

511 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 06:34:28
>>500
式をかいてくれてありがとう

>>私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。
>この時点で破綻してるけど

の確認ができたし
>>474のパラドックスがパラドックスになってないこともわかった

それとも1+1=3という偽の命題でも
扱ってる人間が理解してなくて偽と気付きにくいなら
何でもパラドックスと読んでいいのかな

512 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 08:35:58
封筒を開ける前の期待値が有限に収束しないケースについて、
その不可能性を定理化するとどういう表現になるんだろう?

513 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 09:57:29
その不可能性を定理化w

514 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 11:08:15
[2つの値札]
買いたい商品の値段を聞いたら、店員がシールで数字を隠した値札を
2枚出して、こんなことを言いました。
「只今お得なキャンペーン中。この2枚の値札には、『定価』と『定価の半額』
 が書いてあります。一枚好きな方のシールをめくって下さい、そこに書かれた
 値段で購入頂けます。さらに二枚目をめくって頂いても構いませんが、
 その場合は二枚目に書かれた方を値段とさせて頂きます」

客が一枚めくると『一万円』と書いてありました。どうしても必要なものなので
五万円以上用意していた客、二枚目をめくろうかちょっと計算してみました。
「もう1枚には五千円か二万円の値段が書いてあって、その確率は五分五分。
 二万円でも私にとっては安いけれど……二枚目をめくった時の期待値は
 一万二千五百円か。だったら二枚目めくらずに今の一万円で買った方が
 得だな」


 ↑↑ 

この客の考え方は違ってるでしょうか?

お店としては二枚目をめくって欲しいか、欲しくないか、関係ないのか……


515 :240:2010/03/22(月) 11:11:17
>>511
いいと思うけど。多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
その部分に気づいてそこが偽だと指摘するのがパラドックスに対する答えになるんでしょ。

ただし>>474に偽の命題なんて書かれて無いけどね。

516 :240:2010/03/22(月) 11:19:18
>>514
>>243
たとえばその商品がこしひかり10kgなら二枚目をめくる。
それでもし二万円が出たら、そんなぼったくり店には二度といかない。

517 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 11:25:21
>>514
両方めくって安いほうで交渉する。

518 :日向:2010/03/22(月) 13:03:57
自分なりの答えを出したんだが、
正しいか正しくないか、正しく無いならどこが間違っているか
指摘してくれ。

前のスレにレスしたから読み辛いがよろしく

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1266017889/l50

の682〜684辺りだ。

519 :240:2010/03/22(月) 13:32:27
>>242

520 :7:2010/03/22(月) 13:35:17
>>505
>>1の後半に書いてある通り、類似の設定の問題も考えても良い場
であると思うけど、どんな設定を加えた問題が普通だと思うかとか
どこがパラドクスの原因だと思うかは人それぞれ。

>>507
>通常この問題は(略)と続く。
そんな問題はあまり見ないし、少なくとも私にはそれが通常だとは思わない。
私は通常だとは思わないけど、240が考えたいと思ったのなら別の問題として
勝手に考えればいいんじゃない?私は私でさらに別の設定の問題を勝手に考えるだけだし。


>>511
>>515
>私が封筒に∞の期待値の確率分布で金を入れる。君が封筒の金額を見てGetする。
ここまでは問題ない(強いて言うなら"∞の期待値の確率分布"や"無限大の期待値"という
表現が気になるけど、私にはたぶん意味は通じてると思う)。
(Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しないことなんて例は無数にある。一般的な流儀かどうかは知らないけど
Σ{x*P(X=x)}が絶対収束しない時は期待値E[X]は存在しない、と私は習った)

>封筒には1億円入っていた。期待値∞なのにたった1億円しかget出来ないなんて君はunluckyだ
>もう一度やると100兆円入っていた。やはりunluckyだ。
この文に数学的な意味がない(unluckyの意味が不明なので真とも偽とも言えない)ことと
>何度繰り返しても、期待値よりはるかに少ない(差が-∞)金額しか得られない。
で「どんな金額が入っていたとしてもunluckyだ」という(意味のない)文を結論として誘導してそうなとこ
が、>>474(や聖ペテルスブルグのパラドクス)のパラドクス(?)の正体だと私は思ったんだけど、>>511は違うの?
人によっては最初から不思議でもなんでもないモノとか、タネ明かしされ
解消されてしまったパラドクスとかをパラドクスと呼ぶかどうかは
知らないし、どっちでもいい。


521 :240:2010/03/22(月) 14:54:45
まず君がどんな設定を加えたか教えてくれ。

今ちょっと「二つの封筒」でgoogleってみた限りでは(数ページしか見てないが)、
続くのが通常みたいだぞ。
もちろん何を通常と感じるかは人それぞれだが。

それと、どこか気に食わない点があるように感じるのだが、
もしそうなら具体的にどのレスが気に食わなかったか教えてくれ。
場合によっては謝るから。

522 :7:2010/03/22(月) 17:20:34
>>520に付け足し
(離散型の)確率空間・確率分布の定義に
"期待値が存在しない(Σ_[i∈I]{a(i)*P(X=a(i))}が絶対収束しない)モノは確率分布
として考えてはいけない"というような条件はないはずだから
>>482のような確率分布はちゃんと認められているはず。>>482の確率分布を仮定したら
破綻する、ということはないよ。
聖ペテルスブルグのパラドクスも
[(k=0,1,2,…に対して)賞金が(2^k)円である確率を1/(2^k)とする]
という仮定は偽ではなくて、[じゃあ、期待値計算すると無限大だから
参加費がどんなに高くても参加した方が得で、参加するべき!?]という
部分が、誤った推論なだけ。

523 :7:2010/03/22(月) 17:25:57
>>521
別に謝る必要ないと思うが、ただ
>>1の問題は"期待値わからない"ということを認めていて
金額の確率分布が上限が存在する場合や一様じゃない場合など
"確率分布を〜とする"という問題は別問題だと言っておきながら、
>>425の(*)の確率分布や>>505三行目の仮定に固執したり
ありえない設定を自然に受け入れさせることがこの問題の特有の面白い所・本質
であるという主張や考えは、私には受け入れられないだけ。
>>431の"おかしな前提"や>>313の"ほぼ確率1で得する代わりに非常に少ない確率で
大損するというタイプのパラドクス"というのが何を意味してるかも私には良くわからない。

存在しないモノを存在するとしてしまうという類のパラドクスは
封筒問題に限ったことではないと思うし
確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる(存在する)確率分布は(上限のあるもの・ないもの合わせて)たくさん
あるのに、(存在しないと思われる)上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは私は思わない。

個人的には>>479
>一回だけだとパラドックスっぽいが、数多く行うとそんな感じがしない不思議
や、"期待値1倍以上なら交換した方がよい?"というような錯覚が
封筒問題の面白い所であると思う(当然このこと自体は封筒問題に限ったことではない)が
どこを面白いと思うかは個人の主観であって、数学の問題じゃないから
その部分を言い争う気はない。私はこの錯覚を意識しやすいような問題を考えたい
だけ(例えば、組が{5000,10000}になる確率1/100,{10000,20000}になる確率99/100とする等)
で、この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
(むしろ、無限に関するパラドクスなど他の錯覚が起きないような問題を
考えようとしてるのだから、本来の問題とは違う問題を作ることが目標の1つと言える)

524 :240:2010/03/22(月) 18:30:13
まず、私が考えている「通常」の問題では、上限を設けた場合や、
「常に確率1/2」では無い場合を考えると、
問題の主旨に合わないということは同意してもらえたと思うが、OK?

次に、>>1の問題のみ考える。

封筒に入れられた金額の確率分布が分からないのに、
確率1/2として期待値を計算している点が間違いである。
これが一つの答えであることも同意してるはずだ。

しかしこれだけで話を終わらせずにもう少し>>1の問題の主旨に沿った仮定をおく。
(*)「10000円のときには確率が1/2である」これを正しいとする。
これは君も自然だと感じていると思う。実際君もそうしているし。

君はさらにこの他の金額についても何らかの(というか全ての金額の確率分布を)仮定して
考えようとしている。
ここまで同意だと思う。

525 :240:2010/03/22(月) 18:37:05
しかし、(*)を仮定した時点で>>1の問題に対する答えは期待値12500円。正しいよ。
となる。他の金額の確率分布なんてまったく関係ない。
それなのに君は他の金額の確率も仮定しようとしている。なぜだ?

他の金額の確率が必要となるのは、他の金額を引く場合も考えるからだろ?
そして、(これは>>1の問題に書いていないから意見が分かれるかもしれないが、)
他の金額の場合も確率1/2とするのがもっとも自然な仮定ではないか?
もしそれ以外の確率例えば1/3とかにするんなら、そもそも
なぜ>>1では10000円のとき1/2だと考えたのか?
もし理由があるならそれは他の金額でも同じではないか?
それともこれは1/3でも1/4でも何でも良い問題で、たまたま1/2と書いているだけなのか?

>この設定が自然であるかどうかとか、本来の問題と違うかどうかには興味ない
私は上記を理由に、この設定は>>1の問題の主旨とは違うと考える。
しかし、違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。

>上限なしの一様分布を仮定することが普通だとは
私は、初めに封筒に入れられる金額の確率分布が一様分布だなどと仮定していない。
あくまでも仮定しているのは425の(*)だ。

526 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 19:03:20
12500は成立しないと言いつつ、12500に執着する。なぜだ?

527 :7:2010/03/22(月) 20:03:21
>>425の(*)の仮定
2つの封筒にあらかじめ金額を入れる場合を考えるなら
(つまり参加者が封筒を受け取った後に、もう一方の封筒を入れ替えたりしないなら)
そんな確率分布は存在しないんじゃなかったの?
存在するというなら具体例を。
それとも存在性を無視しても、それ以外には偽の命題や矛盾はないという話?
>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
と言ってるように見えるのだが、他の人は知らんが少なくとも私にはそれが普通だとは思わない。

>違うかどうか興味ないなら君にとってはどうでもいいんじゃない。
どうでもいいと思っているからこそ、>>520で勝手に考えればいいと言った。
(もし面白そうだと思ったら、その時は参加するかもしれない)
240は>>1の推論部分の[確認すると10000円だった時に他方の袋に入っている金額が5000円である確率1/2
20000円である確率1/2となる]という主旨に沿った問題を考えたいようだが
その主旨に沿わなくたって、私が封筒問題の面白いと思う所(>>523の後半に書いたような所)
は残るのだから、私はそんな主旨に沿った問題を考えたいと思わない(そもそもそれが主旨だと思わない)
だけ。240が考えたければ、私のことなど気にせずに勝手に考えればいいんだが
「とにかくこの設定が封筒問題の主旨・本質で、それ以外は別問題です。」
と言われても、そこは同意できない。

528 :>>240:2010/03/22(月) 20:07:59
12500に固執しているというより、1/2に固執している。
一般人だって、たまたま1/2なだけで1/3だったかもしれない、、、
なんて話を期待していないだろ。


529 :240:2010/03/22(月) 20:52:02
>>527
この質問にはぜひ答えてくれ。
>>1において文章中には明示されていないが、確率1/2として計算していることは明らかだと思う。
ところで、この数字の意味は何だ?何でも良いのか?
この問題は、他の金額を選んだら1/3とかなんだけど、10000円のときだけたまたま1/2だったという問題なのか?

君は、主旨なんてどうでも良いようだが、私は主旨にこだわっている。
「私は主旨に沿った考えをしているが、7氏は主旨に沿っていない考えをしている」
これに反論がないなら何も議論することは無い。
しかし、例えば>>504では、「別の問題になるんじゃないの?」などと聞かれるから、
説明している訳で。

それと、君の書き込みには誤解がある。だから説明している。
まったく誤解がないにもかかわらず、意見が合わないというなら説明する余地が無いけどね。
>>525の最後の部分とか理解してくれたの?

>「>>425の(*)の確率分布は存在しない。でも>>425の(*)の確率分布を仮定するのが普通」
普通の人は(*)を満たす確率分布の不存在を知らない。
だから普通の人が分布の不存在を理由に>>425の(*)の仮定を躊躇するということは無い。
君は不存在を知っているから(*)を仮定することが普通じゃないと感じるだけなんでは?

530 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 22:31:57
金額が3倍と1/3なら1.25倍にすら成らないのだが。
その場合は同じルールのなのに、2倍と1/2の時とは確率分布とやらが変るのか?

531 :132人目の素数さん:2010/03/22(月) 23:15:48
>>530
>変わるのか
「1:nのときに(n^2+1)/2nを求めましょう」と言ってるだけだから
nが2のときに1.25になり、nが3のときに5/3になるというようにnに依存して当然。


ただし、「1:nのときに(n^2+1)/2nを求めましょう」自体が根本的に間違いなんだけどね。
誤った土台から出発した理屈を追いかけてもあまり意味はない

532 :s5179:2010/03/22(月) 23:23:05
なんか連勤で少しスレ見なかったら凄く荒れてるね・・・

私は前に期待値が発散すると書きましたが振動するの間違えでした
謹んで訂正致します。

あと、みんな華麗にスルーしていますが
7さんの>>500の問題って
一方の封筒を見た後の他方の封筒の期待値って1倍ですよね
引く前は引く前で期待値∞と期待値∞で悩んで
引いた後は期待値1倍で悩む問題?

また計算間違ったかな?

533 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 00:44:38
亀の歩みでも
蝸牛の歩みでも
正解に近付けばそれでいいのだw

しかし
あと500レス切ったけどこの調子で大丈夫だろうか
なかなか数学に着地できないね

534 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 15:38:01
>>493
分布がわかっている人が計算し
分布は公表せずに期待値だけを公表すればよい。

535 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 15:46:10
>>512
なにが不可能なんだって?

536 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 15:48:39
>>515
> 多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。

どゆこと? そんなの見たことないけど。

パラドクスのようなものの大半は、一見パラドクスに思えるけど
じつは間違っている主張が多いという意味なの?

537 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 15:59:13
>>530
> その場合は同じルールのなのに

金額が違うのは、同じルールとは言わない。


538 :240:2010/03/23(火) 16:30:38
>>536
飛んでる矢は止まってる。アキレスは亀に追いつけない。
(矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば、どこかに誤りがあると思うが。

539 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 16:40:26
>>538
> (矛盾しているように見えるが)実は正しかった。ってパターンをのを除けば

おいおい、そここそがパラドクスなんだから、そこをのぞいてしまっちゃあ

540 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 16:50:12
>>538
ゼノンもアキレスも論そのものには誤りはないだろ。
当時の公理系や数学の概念では扱えないことを論じているだけで。
それを論じたことそのものが誤りだとも言えなくはないが、それは偽の主張とは別のもの。

541 :240:2010/03/23(火) 17:14:38
>論そのものには誤りはないだろ
私は、そんな高級な話をしているのではなくて、
「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。
文章中に正しくない主張がある。って言うレベルの話をしてるのだが。

>>539
とりあえずwikiでパラドックスを調べて見てくれ。図の右側の1,2,3とか。
もちろん言葉の使い方には色々な流儀があると思うけど。

542 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 17:17:45
>>541
> 「いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる」は正しくない。 

それは、 現実と数学(物理)という公理の異なることを比較しているので、比較そのものが正しくない。

あの論の公理では、追いつけないのが正しい。  (もちろん現実とは異なる公理)

543 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 17:25:55
>>541
そのwikipediaでの図の(1)や(2)は、誤りが発見され解決してしまっているのだから
(少なくとも数学的には)パラドクスではなくなってしまっている。
でなければ誤りを含む回答全てが(それが指摘されるまで)パラドクスだということになってしまう。

もちろん数学以外の分野での意味的にラフにつかうパラドクスならこの限りでない。
(が、この板ではあまりふさわしくない使い方かと…)


544 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 17:30:48
声を出し数え上げを行うときに
「いち・にい・さん・しい・ごお・ろく・なな・しち・はち・きゅう・とお」
と数えると、案外気がつきにくいらしく 
とお =11個 という現象がしばしば起こる。 (実際にやってみるといい)

しかしこれをパラドクスとは言わないわな。




545 :240:2010/03/23(火) 18:06:44
>>543
数学でのパラドックスの意味は狭いとのこと理解した。
>>515はラフな気持ちで書いたのだが、
この板にはふさわしくないとのことも理解した。


546 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 18:47:26
>>545
数学では、さらに狭義には、矛盾が起きない限りパラドクスとは言わない。

直感に反するだけのものは擬似パラドクスと言ったりする。


547 :240:2010/03/23(火) 22:46:48
>>1も数学的にはパラドックスと言わないわけですよね。
するとやはりこのスレではラフな意味で使いたい気もするが。

548 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 23:27:10
封筒Aには0〜無限大の金額のうちのどれかを入れた。どの金額が入っている確率も等しくなるようにセットした
封筒Bには1/2の確率で封筒Aの半分、1/2の確率で封筒Bの2倍の金額を入れた。

その後、封筒はシャッフルシャッフル

↓科学技術政策に関する意見を募集しているようです。

http://www.mext.go.jp/b_menu/houdou/22/03/1291303.htm

科学技術政策に関するご意見募集について

平成22年3月10日

社会・国民とともに推進する科学技術政策の実現に向けて、皆様からのご意見を募集します。本意見募集の結果は科学技術週間中の4月17日に
行われるシンポジウムにおいて活用させていただくとともに、その成果とあわせて、今後、文部科学省として、より良い科学技術政策を推進していくために参考とさせていただきたいと考えております。
科学技術の力による輝きのある日本の実現に向けて皆様のご意見をお寄せ下さい


日本が科学技術を推進することの意義や必要性とは何であるとお考えになりますか。
日本や世界は、地球温暖化、資源・食料・エネルギー問題、経済危機、医療・福祉問題など様々な問題に直面していますが、科学技術を活用してどのような問題を解決してほしいとお考えになりますか?
科学技術によって、生命や宇宙の理解などの知的探究、宇宙の開発・利用、海洋探査など、人類にとって新たな挑戦が可能になると考えられますが、
これからの未来に向けて、どのようなことに挑戦してほしいとお考えになりますか?
科学技術を推進していくうえでは、大学における基礎的な研究活動の充実、小・中学校における理数教育の充実、研究者や政策担当者と
社会との間の相互理解など、必要なことがらはたくさんありますが、特に重点を置いて取り組む必要があるものは何だとお考えになりますか?
科学技術に関する国の予算や投資のあり方、目標・計画の立て方や評価のあり方、各省庁間の連携のあり方など、科学技術政策の進め方について、
改善すべきと考えられる点はどのようなことだとお考えになりますか?
その他、科学技術・学術審議会基本計画特別委員会がとりまとめた提言(我が国の中長期を展望した科学技術の総合戦略に向けて−ポスト第3期科学技術基本計画における

549 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 23:38:45
>>542
成程な
論理そのものの整合性や真偽と
それが現実や、現在扱っている問題と等価であるかどうかとは
分けて考えないといけないわけだな。

>>515>>240の公理系(笑)の中では偽の命題はどこにもないのだろうな。


550 :132人目の素数さん:2010/03/23(火) 23:43:10
無限とか、条件付き確率が直観的にわかりにくい場合に
モンティホールや聖ペテルスブルクはパラドックス呼ばわりされるわけで、
>多くのパラドックスにおいて文章中のどこかでは偽の主張をするじゃん。
条件文にあるかどうかは別として、数学的には正しくない直観を引き合いに出すところは
ある意味偽の主張のようなもんだから別に間違ってないと思う

551 :s5179:2010/03/24(水) 08:17:33
>>548

封筒Aに入ってる金額をaとする

1/2の確率で封筒Aを引く 
1/4の確率で封筒B 1/2a版を引く
1/4の確率で封筒B 2a版を引く

封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a

封筒Aをはじめに引いた時は他方の期待値1.25aで引いた方が得
封筒B 1/2a版を初めに引いた時は2倍になり得
封筒B 2a版を初めに引いた時は1/2倍になり損

初めに開けた封筒が10000円だったとき
これはaなのか1/2aなのか2aなのかは分からない

十分な回数この試行を行うとして、
他方を引かない戦略
必ず他方を引く戦略
どちらが多くの金額を獲得するかは分からない

552 :s5179:2010/03/24(水) 08:46:33
>>548
こちらの方が分かりやすいか?

1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の1/2aを引く(1/2a損)
1/4の確率で初めに封筒Aを引く、他方の2aを引く(a得) 
1/4の確率で初めに封筒B 1/2a版を引く、他方のaを引く(1/2a得)
1/4の確率で初めに封筒B 2a版を引く、他方のaを引く(a損)

損得はイーブンだと思う。

引くか、引かないかは好きにすれば良いと思うよ

553 :132人目の素数さん:2010/03/24(水) 20:48:29
>>549、550
ある仮定の元では正しい、しかし現実には起こりえないような論について
その仮定がまるで現実を表しているかのように扱うことこそが
「偽の主張」なのであると言えるかもしれない。

554 :s5179:2010/03/24(水) 22:30:50
>>551

>封筒を一つも開けていない時の期待値は7/8a

は計算ミスで誤り、正は1.125A

たびたびスマンです。

555 :132人目の素数さん:2010/03/25(木) 00:09:25
>>550
モンティーホールがパラドクスと言われてるのか?


556 :s5179:2010/03/26(金) 06:10:39
>>555
wikiのCの項目の完全な理解がされるまではパラドクスがあるように思われていたのでは?

まあ、2つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど


557 :132人目の素数さん:2010/03/26(金) 13:06:27
正しい知識を身につけて納得がいくまでは
当人にとってはパラドクスということだろ


558 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 07:14:48
こういう立場てこと?

>>543 から
> でなければ誤りを含む回答全てが(それが指摘されるまで)パラドクスだということになってしまう。 



559 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 07:37:59
それらがパラドクスかどうかはさておき
不完全な記述のルールを直感で補わせたら
解釈が何通りも出てきてしまって
回答がひとつにまとまらないところはそっくりではある


560 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 10:19:09
>>556
パラドックス=事後確率ではないわけだがw

561 :s5179:2010/03/27(土) 20:22:27
>>560
>>556どこをどう読めば
>パラドックス=事後確率ではないわけだがw
と言う発言ができるのだろう?

だって「パラドクスがあるように思われていたのでは?」だぜ
落ち着けよ12500円派

562 :s5179:2010/03/28(日) 08:08:10
>>1の問題が有限で一様な確率分布だったらよかったのにね

そしたら初めに選択した封筒が最大値の半分以下だったら期待値12500円で問題なくて
『封筒の中身を見るまでもなく、交換する方が得をする』の考えも否定できるし
封筒の中身を見ずに交換しつづけると期待値が増え続けると言うことも否定できるのに
(初めに選択した封筒が最大値の半分以下である必要がある為)

まあ、取り得る値が自然数だったら奇数、実数だったら1/∞を先に引けないけど(この場合期待値2倍だよね)
1/∞なんて絶対に選択しないと言うのなら『一様な確率分布』を否定することになる

563 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 11:06:46
>>561
>まあ、2つの封筒問題は事後確率なんて関係ないけど

パラドクスの話だったところを
勝手に封筒問題だけに限定してしまうのはおかしいね

564 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 13:38:01
>>562
この調子では
まだまだ存在意義はありそうだな
この隔離スレ

565 :s5179:2010/03/28(日) 19:30:05
>>563
パラドクスの話がつづいていたので
それとなくスレの主題である2つの封筒問題に誘導したんだけど間違いだったかな?

>>556で低レベルな煽りを入れたのは認めるよ、すまなかった

でも2つの封筒問題にパラドクスは無いと思うし、事後確率の考え方も必要無いと思う
2つの封筒問題にパラドクスがあるように感じるのならば 『君は12500円派だ』



566 :s5179:2010/03/28(日) 21:21:14
ごめん、このスレの>>7もパラドクスが無いと感じているんだった
>>7は12500円派なので>>565の発言は誤りです。

たびたび間違った書き込みをしてすまない・・・
しばらくは自重させて頂きます

567 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 01:33:26

トータルの期待値が1だとしても、
各々の期待値が1ではないということは許されるのか?

568 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 06:54:42
サイコロを2つ別々のつぼの中に投げ伏せる
一方を選んで見ると1であった
2つのサイコロの合計の期待値は4.5
これを複数回やればサイコロ2つの合計の期待値は7だけど
この場合は4.5で間違いではない

569 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 07:23:19
>>568
観測された値(実値)と期待値は足せるの?
そして、それを期待値と呼べるの?

570 :132人目の素数さん:2010/03/30(火) 00:12:02
>>566
元々視野が狭い人なのは分かってる
自重する必要なし

>>569
独習が無理なら
中学の2〜3年になれば扱い方を習うから
それまで待つといい

571 :132人目の素数さん:2010/03/30(火) 01:17:30
>>569
期待値の定義は、 ( 値×その値が得られる確率 ) の総和。
値が観測された(実値)場合にには、 その値×1 が期待値 (他の可能性は0)。

現在の持ち点が3点の人が、さらに期待値1のゲームを2度した後の持ち点の期待値は
3+1+1=5 





572 :132人目の素数さん:2010/03/30(火) 02:00:31
>>571
>>569>>568を見て感じてる疑問は
そういうことじゃないと思うぞ

それに
>2度した後の
こういう、期待値ではなく確定したような印象を与えかねない言い方も
>>569のような疑問を持っている相手に対しては不適切だと思う

573 :132人目の素数さん:2010/03/30(火) 02:53:41
>>569

2つのサイコロのうち、一方のサイコロが1と分かっている場合
2つのサイコロの目は
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)の6通りがそれぞれ確率1/6となる
和は
2,3,4,5,6,7、の6通りがそれぞれ確率1/6となり、期待値は4.5となる。

{(1+1)+(1+2)+(1+3)+(1+4)+(1+5)+(1+6)}/6 =4.5
変形すると
{(1+1+1+1+1+1)+(1+2+3+4+5+6)}/6
さらに
(1+1+1+1+1+1)/6 + (1+2+3+4+5+6)/6
これは
(確定している1の目) + (確定していないサイコロの目の期待値)
と見ることができる

ちなみに
(確定している1の目)は
1の目の出る確率が1(=100%)、ということで、期待値と見ることができる。
>>571で書いてある「その値×1が期待値」はこのこと、

574 :s5179:2010/03/31(水) 07:37:23
なんかまた話が違う方向にずれてるから戻すけど

>>568
以降の議論の期待値4,5って十分な回数の試行をすると4.5に近づくじゃん
一方が1の条件付の2つのサイコロの期待値だから、7じゃないじゃん

567が言ってるのは
同じ試行条件において
『1回の試行の獲得金額期待値/初めに見た金額=1.25』・・・@
『十分な回数行った獲得金額合計/初めに見た金額合計=1』・・・A
@Aが同時に成り立つかってことでしょ

本スレに書き込んだ人もそんなこと言ってたけど
普通は@かAどちらかが間違っている、
場合によっては@もAも間違っている。

2つの封筒問題においては@が間違っていると思うよ。
確率って単独試行では予想が外れたように見える場合が多いけど
十分な回数繰り返すと予想に近づくものじゃないの?

575 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 02:46:50
自分以外の人の疑問点はズレですかw

576 :132人目の素数さん:2010/04/04(日) 14:51:54
スレを彩る錚々たる名物たちが
ぱったりといなくなったね

577 :s5179:2010/04/06(火) 21:54:20
>>576
>>1の問題
つまり一般的な2つの封筒問題は
数学の問題として解くには不完全な問題であると
共通の認識がこのスレでは形成された

思考実験の材料としての価値は残っていると思うので

2つの封筒の取り得る値の上限が無限で一様な確立分布で存在すると仮定して
一方を選んで見たとき、中に入っている金額を認識出来るのだろうか?

アキレスや亀とそれを見る人間達が1/∞の時間を認識出来ないように
我々は∞の封筒の中身を認識出来ないのではないだろうか?

封筒の中身が確認し易い連続量に見えるとして
先に見た封筒が他方の封筒の2倍であった
交換して見た封筒が初めの封筒の2倍であった
これしか確認できない場合
5000が10000になる場合と
10000が20000になる場合は等価であると考えられる

どんなもんだろ?つっこみ所が満載だからもう少しスレ伸びるかな?

578 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 13:29:18
解決済み問題に納得がいかない人間用スレだから
そこの住人に共通認識(笑)が芽生えて納得への一歩前進が図れたなら結構なことだ

579 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 17:41:50
統計学的に解決してるだけだろ
数学的には解決していない問題だ
数学は統計学の役に立つけど
統計学は数学の役に立たないんだよ

Aさんの500円の封筒とBさんの1000円の封筒を交換したとして
Aさんは2倍にBさんは1/2倍に、その効用は交換しない時の1.25倍なんて反吐が出る
500円得した人間と500円損した人間がいるから損得は±0だろ

>>578は解決してると言うなら、その解を書き込んでみれば?
URLで示してくれてもいいよ


580 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 19:10:25
>統計学的に解決してるだけだろ
ああ、実際に試行してみて、多数回試行してみて、という方に話がそれる人々の捉え方だな
この問題において数学と統計を対比させるところからして。

581 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 19:11:08
579にとっては
統計学的にどんな解決を見たんだろう?

582 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 19:28:12
240や367の様な賢者はもうこのスレには残っていない
残っているのは文盲ばかり


583 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 19:40:35
自分の水準以上のツッコミから逃げた新天地での
お山の大将的賢者ですね

その賢者が飽きればそりゃツッコミどころが消えて相手する者もここの存在意義もなくなるだろうな

584 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 21:21:47
統計不能でも期待値は存在する、なんて頭でっかちの奴がまだいるのか。

585 :s5179:2010/04/07(水) 22:07:21
おお、伸びとる。

>>578は解を知ってるのか・・・教えて欲しいな〜
もしかして、解無しが答えってことじゃないよね?
>>1の問題においての期待値だけでも教えて欲しいな〜
なんか昔もこんな事言ってた気がする・・・分裂症か健忘か

>>579
ああ>>1の問題を(X円、2X円)として
2人で封筒を取り合ったときにどちらがX円多く得られるかって話ね
まあ普通に考えたら1/2の確率でX円多く得られるんじゃない?
必ず交換すると得られる金額が増えるのかな?
まさかねー(笑)
真剣にそう思ってる人って居るの?(笑)

586 :132人目の素数さん:2010/04/08(木) 00:55:40
>>579>>585
解答待ちがいるねw
もう少し今までの議論参加者の中の解答待ち人数が揃うのを待った方が面白いな

587 :s5179:2010/04/09(金) 08:02:51
>>586
解答は待っていないよ

実は、私も一度宣言した通り12500円派なんだ、

>>1の問題において
>>240が言うところのB無限で一様な確立分布が存在する、と仮定すると期待値12500円・・・(a)
は正しいと思うし

同時に>>585のような、1:2の比になっている封筒の
大きい方を引く確率と小さい方を引く確率はどちらも1/2
よって他方の封筒を必ず引いた方が得になる事は無い(損もしない)・・・(b)
も正しいと思う

なので
(解)期待値は12500円だけれども別の封筒を選んでも得にはならない

>>240のC無限で非一様な確立分布の場合においては
(a)は成り立たないけれども(b)は成り立つので
(解)期待値は分からない、別の封筒を選んでも得にはならない

これを補強するために>>7が戻ってきたらいいなと思って煽ってたんだけど・・・
無限の場合の2つの封筒問題では期待値は操作可能だけれども(b)は不変だと思う

有限の場合は議論する必要が無いしね


588 :7:2010/04/10(土) 01:04:46
>>587
規制に巻き込まれててしばらく書き込めなかったけど
消えたわけではない。私に何を求めているのか知らないが
いくつか気になった点を挙げておく。

・私もそうらしいが、12500円派ってのが何なのか不明。
・存在しないものを存在すると仮定するというような話は私は興味ない。
 任意の実数aに対して[存在しないものが存在する⇒期待値はaである]
 は正しくなる。どうしても議論したいというのなら
 1/∞とか曖昧な表現をせずに、きちんと定義してから議論すべき。
・(1回だけ試行した時の期待値)、(多数回行った時の内の1回の試行における期待値)、
 (多数回試行した時の合計の期待値/試行した回数)は全て同じ値になる。
 つまり期待値の値と試行回数は無関係。
・最初に選ばなかった方の(条件付)期待値というのは、条件が異なれば値も変わる
 (他方の封筒の期待値といっても複数ある)のに、それらを混同してしまっているように見える。
・損や得といった言葉の意味・定義を曖昧にしたまま使っているように見える。
・"期待値は操作可能"の意味が不明。

589 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:06:12
>損や得といった言葉の意味・定義を曖昧にしたまま使っているように見える。
240とか、いいこと言ってるけど曖昧なとこも多いもんな

590 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:20:59
12500は単なる錯覚だという説明だと240は怒るらしいからなw

591 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:24:49
前後の文脈や経緯は知らんが
論争してるところを単なる錯覚で済ませたら怒るんじゃね?

これこれこういう理由で、12500を正しいと錯覚してしまうことがあるが
こういう理由で間違いだ、みたいな説明はつけないと

592 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:59:15
>>589
>>330

593 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 02:00:33
240乙

594 :s5179:2010/04/10(土) 21:39:09
>>588

>>1の問題において期待値12500になると考えるのならば12500円派です。

・「存在しない〜」すみませんが私にとっては理解しにくい文です。
ちなみに1/∞は0より大きい最小値の意味で使っています
>>1の問題において(X、2X)の封筒組を0<X≦∞で数学的に試行可能か確信がもてないので、可能であればと言う表現を使いました。
現実世界においてはもちろん試行不可能です。

・期待値の値と試行回数は無関係には同意します。

・最初に選ばなかった方の(条件付)期待値というのは、条件が異なれば値も変わる
ので
期待値は操作可能
です。

・得られる金額が増えれば得、減れば損です。
>>587の得にはならないは損をするわけではなく、損得不明です。

自分が主張したいのは

『2つの封筒問題において必ず交換すると言う戦略は必ず交換しないと言う戦略と同じ効果しかもたらさない』・・・@

です。
>>1が有限の問題で上限が10000円でも必ず交換してもらいます。
上限が∞でも同じく交換してもらいます。
その条件においては上限が有限でも∞でも0でも負が混ざっていても@は成り立つと思います。



595 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 21:47:57
>>330
「期待値が大きいほうが得と定義したら、期待値が大きいほうが得に決まっている」
という意見のように見えるのだが、なにかそれ以上の含蓄があるのか?


596 :s5179:2010/04/10(土) 22:12:00
自分が>>1の問題において期待値12500円と考えるのが妥当であると思う理由は

>>1の問題が240さんの場合分けB無限で一様な確立分布であるとして

>>1を十分な回数試行する
上限が∞なので分布は統計出来ない・・・@
統計できるのは初めにどんな値を選んでも他方の封筒が1/2倍になる確率が1/2、2倍になる確率が1/2である・・・A

Aより10000円を選んだ場合期待値12500円と考えるのは妥当である。

これはAのどんな値を選んでも他方が1/2倍と2倍が等確率より
初めにどんな値を選んでも期待値は初めの封筒の1.25倍になると考えられる。

以上より初めにどんな値を選んでも必ず交換したほうが得に見えるが
>>587の(b)は真であると確信しているので
期待値が1.25倍に見え、封筒を交換したとしても得られる金額は変らないと考えます。


>>1が有限で一様な確立分布であり上限が20000以上の場合はもちろん交換したほうが得です。
しかし有限で上限が20000円以上とする根拠が>>1には示されていないので、この案は却下

597 :s5179:2010/04/10(土) 22:19:19
>>594
いつも稚拙な文章だけれども、特に酷く稚拙だし、自分の主張したい大事な部分なので訂正

『2つの封筒問題において、必ず交換する戦略は必ず交換しない戦略と同じ効果しかもたらさない』


598 :240:2010/04/10(土) 22:37:01
>>595

>>327>>342も読んでください。
>>324の損得の意味は何?というのが>>330の主旨。

599 :s5179:2010/04/10(土) 23:05:12
7さんも240さんも戻って来た、祝い上げ
反論や同意する点を書き込んで頂ければ幸いです。

自分が考えるパラドクスの原因はB無限で一様な確立分布において

封筒組の集合の半分の組の大きい値の入っている封筒において(つまり選びうる封筒の1/4は)
2倍になることが出来ない・・・@

上限は∞なのでどんな封筒を初めに選んでも2倍になる可能性がある・・・A

@とAが矛盾しているのでパラドクスが発生してしまう

矛盾の原因は
∞に発散する集合は存在しない(もしくは集合とは呼べない)・・・(a)
一様な確率分布は有限の場合にのみ存在する・・・(b)

240さんの主張は(b)ですよね?

600 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 00:13:19
>>598
仕方ない事ながら
話の流れが多数のレスにわたると見通しが悪いね
ただでさえ論の見通しが悪いところに
物理的な見通しの悪さで
混乱する人が増えると。

601 :240:2010/04/11(日) 03:17:32
>>599
さっぱり意味がわからん。

602 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:28:33
240もs5179も
確立分布が大好きだな

誤字指摘は無粋だが
ここまで話が続くところを見ると
ひょっとすると独特の定義を持つ、確率分布とは別物なものをあえて確立分布と称して
非ユークリッド幾何学を構築するかのような知的遊戯を試みているのかもしれないな

603 :240:2010/04/11(日) 03:44:32
問題
1、2つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。入っている金額の比は1:2とする。
2、一方を選ぶ。金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2である。
3、選んだ封筒の中を見ると10000円だった。
4、このとき他方の袋に入っている金額は5000円か20000円である。
5、それぞれの確率は1/2である。
6、よって他方の袋の金額の期待値は12500円となり、選んだ封筒の金額の1.25倍。
7、初めに選んだ金額がいかなる場合においても、他方の封筒が2倍、1/2倍である確率はそれぞれ1/2である。
8、初めに選んだ封筒の金額がいかなる場合にいおても他方を選べば1.25倍になる。
P、よって封筒の金額を見なくても、交換した封筒の期待値は選んだ封筒の金額の1.25倍になる。本当?
Q、一人が一方の封筒、別の一人が他方の封筒選んだ。彼らは中身も見ずに互いに交換することによって期待値が1.25倍になる。本当?
R、中身を見ずに、やっぱりこっちにする。やっぱりこっちにする。と交換するだけで期待値が1.25倍、1.25倍と増える。本当?

604 :240:2010/04/11(日) 03:48:18
A、この問題は文章中に誤りがあるので、(狭い意味では)パラドックスと呼ばない。
B、2は正しいが5は誤り。それぞれの確率は「初めにどのような確率分布でお金を入れたのか?」に依存する。それが分からないので「確率は分からない」が正解。もちろん6以下も誤り。
C、しかしそれでは話がつまらないので、5が正しいとしよう。つまり、5が正しくなるような確率分布でお金を入れたものとしよう。その場合には6は正しい。
D、しかしながら、7を正しいとすることは不可能である。つまり、7が正しくなるような確率分布は存在しない。8以降は誤った仮定の下での考察である。
E、「7が正しくなるような確率分布は存在しない」という事を証明するのは難しい。
F、よって、ここでは似たような例をあげるにとどめる。「上限の無い一様分布は存在しない。」これは簡単に証明できる。

605 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:52:12
>2、一方を選ぶ。金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2である。
まず

必ず一方が高額、他方が低額という2つの封筒からの2択だから
直観的には真だが
本当に真としてよいものか

606 :240:2010/04/11(日) 03:55:45
ほぼ>>240,241,242
と同じ内容だが、あらためてまとめさせてもらった。

607 :240:2010/04/11(日) 04:20:29
>>605
問題に書いてはいないが、選ぶ人には中身が分からないと想定している。
もちろん超能力者でも、高額の封筒ばかり選ぶ強運の持ち主でも無いと想定している。
つまり、2者択一でどちらを選ぶ確率も等しいと仮定している訳だ。
まぁ、仮定だから正しいのは当たり前で、「2は正しい」という発言は紛らわしかったなぁ。スマン。

608 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 04:28:07
そういう
「特に断りが気が無いサイコロやコインで
1/6や1/2かどうかを疑問視する」のと同じような立場で言っているわけではないのだが

609 :240:2010/04/11(日) 04:33:53
では何が言いたいのだ?

610 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 04:53:35
それぞれの確率が本当に1/2でいいのかどうか
言いかえればその選択が
コインの裏表の問題と等価だと考えていいのかどうか

がよくわからんのですよ

611 :240:2010/04/11(日) 05:14:58
「どちらを選ぶ確率も等しい」というのがこの問題の仮定(前提)。
それは悩まずに受け入れるべきこと。
本当に封筒に金入れたのかな?とか問題そのものを疑いだしても意味無いだろ。

612 :240:2010/04/11(日) 05:19:09
訂正するよ。
2、一方を選ぶ。金額が高いほうを選ぶか、低いほうを選ぶか、それぞれの確率は1/2とする。
これなら疑問ないよね?

613 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 05:28:33
金を入れたかどうかという段階では疑ってないけど。

コインを「理想的なコインであり、裏表各1/2」と仮定して受け入れるのは分かるが
この問題で2の段階で本当に「高額低額各1/2」と仮定してしまっていいのか
その1/2が強すぎる束縛条件になってないか
どうもコインとは状況が違うような気がしてならんのですよ
感覚的な事なので説明も論証もできないけど。

ともかく
>>240さんとしてはこの問題では2の段階で1/2と受け入れるのが正しくて
そこに疑問の余地などありえないという立場ですね

614 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 05:33:08
>>612
その1/2に違和感があると言う事です
>>605に書いたとおり
二者択一だということは分かった上で
だからコイン同様1/2として扱うことは直観的に合ってそうだとは思うが
コインを疑う余地なく1/2として扱うのとは感覚が違う

615 :s5179:2010/04/11(日) 06:14:00
>>613
文系脳さん乙

6面の普通のサイコロを1回振って1の出る確率は1/6だし
普通の52枚の1組のトランプから1枚引いてそれがスペードの1である確率は1/52です
違うのであれば確率の問題は解けません

2つの封筒問題は、
『封筒に入っている金額とは、開けなければ確認出来ない値の隠喩である』
と考えないと確率の問題ではない
2つの封筒問題は『数学の問題』ではなく『なぞかけ』かなにかなのでしょうか?

少ない金額の入っている封筒を初めに選ぶ確率は1/2です。
封筒に入っているので設問に『無作為に1つの封筒を選ぶ』と書かれていなくとも問題はないと思います。

初めに選んだ封筒が少ない封筒である確率が1/2である以上、
次の封筒を選んでも得られる金額が増えるかどうかは分らないと考えます



616 :s5179:2010/04/11(日) 06:21:13
>>614
>>1の問題が『一方を選んで中を見ると10000円だった。』
ではなく
『無作為に一方を選んで中を見ると10000円だった。』
ならば10000円が少ない金額の封筒である確率1/2を受け入れてもらえるのでしょうか?

617 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 06:28:25
>>615
はたしてこれは文系脳ゆえなのか

たとえばモンティホールで司会者がハズレのほとんどを除去して二択にした場合
変えるか変えないか選択肢は2つしかないが
ただの2択ではなく、「ハズレを除去する」というプラスアルファの条件が加わったが故の選択だから
選んだ方が当たり・選んでない方が当たりの確率は各1/2ではない
これはs5179さんも疑いはしないと思うが
たとえば2択以前に付加されている別の条件「金額が1:2である2つの封筒」という条件が
ただの2択プラスアルファの条件になる余地は全くないのかどうか

s5179さんも240さんと同様
それを疑ってみるのは普通のサイコロを各面1/6として扱うことを疑うのと同等だと考えるわけですね。

618 :s5179:2010/04/11(日) 06:31:54
これは勝ったかもしれんね・・・
ずっと反証や反論がないからね
>>613も『感覚的な事なので説明も論証もできないけど』とか言ってるしププ

619 :s5179:2010/04/11(日) 06:33:57
>>617さん
すみません、浮かれていました

それを疑ってみるのは普通のサイコロを各面1/6として扱うことを疑うのと同等だと考えます

620 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 06:37:05
>>616
「無作為に」がつくかつかないかは
関係ないように思いますが。

>>615も合わせて「無作為」を付加した意図を推測した上で答えてみるが
2つの封筒があり、一方だけに当たりが入っている場合で
どちらに入っているかの情報を事前に得ることは不可能なときに
「念入りにどっちを選ぶかを考えて決めても」「自分の意志に寄らず、コインかなんかでランダムにどっちを選ぶか決めても」
当たる確率は1/2だと思ってます

621 :s5179:2010/04/11(日) 06:39:59
>>617

『金額が1:2である2つの封筒』という条件が
『金額が1:100である2つの封筒』でも
『金額が1:∞である2つの封筒』でも
『等しい金額は入っていない』でも

少ない金額の封筒を初めに選ぶ確率は1/2であると思います



622 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 06:44:21
>>618
勝敗は求めてない
理解に至っている方々と比べれば理解度が劣っているのは承知の上なので
勝利宣言が希望ならこっちで敗北宣言してもいいですが。

>>613でも書いてる通り数学的に筋道立てて説明も論証もできるわけではなく
個人的な違和感を払拭するきっかけを探しているだけなので

623 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 06:47:38
>>621
そこにひっかかりを感じるのだが、
4番目「等しい金額は入っていない」だと1/2にひっかかりを感じない

自分のひっかかりの正体に少し近づいたような気がするようなしないような


624 :s5179:2010/04/11(日) 08:29:58
>>622
自分も勝敗は求めていません、
勝利宣言は2つの封筒問題の原案者にしたと思って下さい

しかし、すこし煽りぎみにしたり
突っ込み所を用意しないと議論が進まないのも事実かと

たびたび同じ事を書き込みますが
>>1が有限で一様な確立分布であり上限が20000以上の場合はもちろん交換したほうが得です。
無限の場合において交換した方が得と考える人は有限の場合と無限の場合を混同していると推測します。


625 :s5179:2010/04/11(日) 08:40:47
>>584の言う

>統計不能でも期待値は存在する、なんて頭でっかちの奴がまだいるのか。

も、とても貴重な意見だと思います。
上限が無限になると統計不能になるので期待値は存在しないのかも
なので統計学で扱えるのは有限の問題、もしくは偏りのある無限の問題、
無限で一様な分布の場合、数学で解く必要があると思います


626 :s5179:2010/04/11(日) 09:13:16
2つの封筒問題をシュレディンガーの猫に例えると

猫が死んでいるかどうかは2つの封筒を用意した段階で決まっている
猫が死んでいるかどうかの確認は2つの封筒両方を開けた時に出来る

1つめの封筒を開けたとき猫が死んでいるかどうかは分からない
【死んでいる確率1/2、生きている確率1/2】ではなく
【死んでいる確率1、生きている確率0】と【死んでいる確率0、生きている確率1】が等確率である

書き込んでみたけど、逆に分かりにくい例えだね

627 :7:2010/04/11(日) 09:40:32
違うかもしれないが
金額が高いほう、低いほうという表現の意味が伝わってないのでは?

>>612での意味は
2つの封筒に入っている金額をX円,2X円とした時に
2X円(高い方)を選ぶ確率を1/2、X円(低い方)をを選ぶ確率を1/2とする
というような意味であって

封筒を開けると中身の金額がY円であったなら
Y円が高い方である確率(他方がY/2円である確率)を1/2
Y円が低い方である確率(他方が2Y円である確率)を1/2とする
という意味ではないと思うのだけど
その辺を混同してないか?

勘違いしやすそうな表現だとは思うから
何かこだわりとか意図がないなら表現を変えた方が良いと思う。
なんだったら
2つの封筒をA,Bとおく。コインを投げて表ならAの中身を確認し
裏ならBの中身を確認する。
としても、問題ないと思うが。

628 :240:2010/04/11(日) 12:03:58
>>627
で、そのコインの表裏の出る確率は1/2なんだよね?
誤解の無いように、「ただしコインの表裏の確率は1/2とする」と書いておいた方が良いね。
すると、それって本当に1/2なのかな?って疑問を持つ奴が現れる。
つまり、そんな説明をつけたしたって無駄なんだよ。

>>623
現実の世界では、コインだって封筒選びだって正確に1/2かどうかは分からない。
しかし、問題の作者が1/2と仮定してといて下さい、と言っているならばそれに従うべき。
もちろん君が考えたかったら、表が1/3のいびつな形のコインとか
2倍の封筒を選ぶ確立が1/2より大きい不思議な封筒とか考えても良いけどそれはまた別の問題。

イメージする際は、二つの封筒は色形まったく同じで、中の金額の違いによる重さや厚みの
違いはまったく無い、選ぶ人にとってまったく同じに見える封筒だと思うと良いかもしれん。
>>612を書いたのだからこんな説明は不要なのだが、、、)

629 :240:2010/04/11(日) 12:14:36
>>624
>しかし、すこし煽りぎみにしたり
>突っ込み所を用意しないと議論が進まないのも事実かと
議論を進めたいなら突っ込み所が無いか注意して慎重に書き込むべき。
私は、真剣に悩んでいる人がいると思うから書き込んでいるのであって、
暇つぶしに付き合う気は無い。

630 :240:2010/04/11(日) 13:04:08
「7を正しいとすることは不可能である。」つまり
>「任意の金額c円に対し、
>選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が2倍である確率が1/2である。」
>という確率分布は存在しない。
の証明方針を書く。
本当は入れられる金額は実数値とするべきである。
そうしなければ、選んだ封筒の金額が奇数の場合に不都合が生じるからである。
しかし、連続な確率分布を扱うのは面倒なので、以下では金額は自然数値として説明する。
読んでもらえば分かるが、以下の議論は金額が実数値の場合にも適用可能である。

631 :240:2010/04/11(日) 13:07:23
封筒X,Yに入れられる金額がm円、n円である確率をp(m,n)とおく。
確率分布であるから全ての確率の和は1。
(*1)つまりp(1,1)+p(1,2)+p(2,1)+p(3,1)+p(3,2)+,,,=1である。
金額の比は1:2であるから、
(*2)m=2n および n=2m 以外のm,nに対してはp(m,n)=0である。
もし全てのm,nに対してp(m,n)=0ならば、(*1)が成立しない。よってp(m,n)>0となるようなm,nが存在する。
(*2)よりこのm,nはm=2nまたはn=2mのどちらかを満たす。対象性によりm=2nの場合のみ考える。
(*3)つまりある自然数cが存在し、p(2c,c)>0となっている。
封筒Xを選んでその金額が2c円の場合、もう一方がc円、4c円である確率はそれぞれ1/2なのだから、p(2c,c)=p(2c,4c)が成立する。
封筒Yを選んでその金額が4c円の場合、もう一方が2c円、8c円である確立はそれぞれ1/2なのだから、p(2c,4c)=p(8c,4c)が成立する。
これを繰り返すと、
(*4)p(2c,c)=p(2c,4c)=p(8c,4c)=p(8c,16c)=p(32c,16c)=,,,,が成立する。
(*1)と(*3)と(*4)は矛盾する。よって背理法により示された。

632 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 13:15:58
>>603
8→Pの考察
金額が固定されれば1.25倍になっても
金額が未知数ならば1.25倍しても値域は変わらない。
正の数全体から正の数全体への恒等写像にすぎない。

P→Qの考察
二人の関係は等価である。
仮定では片方が1.25倍になるといっているのだからもう片方も1.25倍にならざるを得ない。
したがって両者が1.25倍になるのは正しい。

Q→Rの考察
交換する前の状態と交換したあとの状態は等価でない。
交換する前の状態と2回交換した状態は等価であるがいえる。
したがって交換する度に期待値は1.25倍、1/1.25倍、1.25倍…を繰り返す。
つまり奇数回交換で1.25倍、偶数回交換で1倍である。

633 :240:2010/04/11(日) 13:45:01
封筒の中身を見ない場合には、選んだ封筒と他方の封筒の条件は対象だ。
よって、どちらの期待値も必ず同じになる。このことと、P、Q,Rは矛盾するように見える。
しかし、>>367氏によるご指摘の通り、二つの封筒に入れられた金額の確率分布の期待値がそれぞれ∞であれば、
∞×1.25=∞であるからP,Q,Rを満たし、しかも両者は対象である。よってなにも不思議ではない。
確率分布の期待値が有限である場合には、P,Q,Rのような現象は起こらない。

しかし、そもそも7の時点で矛盾を含んでいるのだから8以降の文章には意味がないと私は思うけどね。

634 :240:2010/04/11(日) 14:25:28
>>632
Aは封筒Xをえらんだが交換して封筒Yにした。
Bははじめから封筒Yをえらんだ。
Qが正しいとしてBが封筒を交換すると、封筒Xの期待値は封筒Yの期待値の1.25倍。
これは人によらないので、Aが封筒Yから封筒Xにもう一度交換した場合も1.25倍。
これがRの理由。

もちろん期待値∞ならばその1倍も1.25倍も1/1.25倍も同じ∞だから、
君の主張に間違いはないけどね。

635 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 17:18:57
>>627
コインの裏表が各1/2の確率というのは認めた上で
コインの裏表と封筒が1対1対応したら
必ず高額・低額の確率とコイン裏表の確率が等しくなるのかどうか
そこにひっかかりを感じているわけです

>>626
不確定性は確率とはまた別の問題では?

>>628
意図が全然伝わっていない。
>>612の訂正はひっかかってるポイントとは別だから
あえて>>612での訂正を見た上でさらにコインと封筒とは別だと感じるとレスしているのですが。
>>613>>614>>617>>620等参照
その上で>>628
>コインだって封筒選びだって
>表が1/3のいびつな形のコインとか2倍の封筒を選ぶ確立が1/2より大きい不思議な封筒とか
というように「コインの裏表の確率が1/2であるのと同様に高額封筒を選ぶ確率が1/2」というところから
出ようとしていない立場で返答されても、ひっかかりを解き明かすきっかけにはなっていないです。
「右の封筒を選ぶ確率」、「左の封筒を選ぶ確率」などだったら1/2でいいと思います

モンティホールと数学的に対応するかしないかはともかく、モンティホールに対応させて言うならば
司会者がハズレを除去したあと、残り2択で当たりの確率を問うのがモンティホールですが
いわばその当たりの確率に相当する方に関してひっかかってると言ってるときに
2択だから、どちらを選ぶかは1/2だと言われているようなズレを感じますよ

636 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 17:32:02
>>631
この説明は今までの過去ログにはなかったわかりやすさがありますね

2で選ぶときに高額・低額が1/2になるかどうかにひっかかりがある原因として
他に似た感覚をもたらす適切な例えを知らないのでモンティホールを挙げましたが
あれは交換した時の当たりの確率が1/2ではないことはちゃんと条件を追っていけば示せます
選択肢では2択でも、コインのような特に他の条件には束縛されないものとちがって
封筒の「高額・低額」にかんしては1:2という束縛条件があるので
その束縛条件自身が確率1/2を変えてしまう影響を持つか持たないか
これがずっと感じているひっかかりです。だんだん言語化できるようになってきた。

>>631の前半はその「ちゃんと条件を追っていく」感覚をもたらしてくれました。
 全ての起こりうる可能性をまず考慮する(*1)
 そこから該当しない事象が除去される(*2)
このような段階を追って、ひっかかりを解消したかったわけですよ。
ただ、この流れでいっても、(*3)の
「それぞれ1/2なのだから」は仮定として保証されてないものを使っている気がします。

637 :240:2010/04/11(日) 18:14:00
よく読んで考えてくれ。
どんな問題にも仮定(前提条件)がある。「5パーセントの食塩水を、、、」
という理科の問題で、本当に5パーセントなの?と疑問を持っても無意味だろ?
封筒二つとか、お金を入れるとか、金額の比は1:2、などと同様、2で確率が1/2であることは
この問題の前提条件なの(書いた私自身が言うのだから間違いない)。
なぜ封筒二つなの?とかなぜお金入れるの?と同様に、なぜ確率1/2なの?という疑問は無意味なの。
(*)「問題を解く際にはその問題文に書いてある仮定は無条件に正しいと認めなければならない。」
当たり前だよね?

なんでこんな基本的な説明をしなきゃならないんだか、、、

>「それぞれ1/2なのだから」は仮定として保証されてないものを使っている気がします。
>>603の7に書いてある。
もしかして背理法を知らない?
7を正しいと仮定した上で、矛盾を導く。それによって実は7は正しく無かったという結論が得られる。


638 :240:2010/04/11(日) 18:24:49
>「右の封筒を選ぶ確率」、「左の封筒を選ぶ確率」などだったら1/2でいいと思います
なぜ1/2でいいんだ?問題文にそんなこと全然書いてないぞ。
選ぶ人は実は右利きで、右ばっかり選ぶかもしれないぞ。

639 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 18:27:54
>>637
文意を理解してもらえてないことだけは分かりました。

今まで同様

>どんな問題にも仮定(前提条件)がある。「5パーセントの食塩水を、、、」
>という理科の問題で、本当に5パーセントなの?と疑問を持っても無意味だろ?
>封筒二つとか、お金を入れるとか、金額の比は1:2、などと同様、2で確率が1/2であることは
>この問題の前提条件なの(書いた私自身が言うのだから間違いない)。
>なぜ封筒二つなの?とかなぜお金入れるの?と同様に、なぜ確率1/2なの?という疑問は無意味なの。
>(*)「問題を解く際にはその問題文に書いてある仮定は無条件に正しいと認めなければならない。」
>当たり前だよね?

のうち

>どんな問題にも仮定(前提条件)がある。「5パーセントの食塩水を、、、」
>という理科の問題で、本当に5パーセントなの?と疑問を持っても無意味だろ?

>(*)「問題を解く際にはその問題文に書いてある仮定は無条件に正しいと認めなければならない。」
>当たり前だよね?

などの部分は何の疑問も感じない上で、1/2にひっかかりを感じているということだけは伝えておきます。
はたして本当に前提条件として正しいのか(強すぎる束縛条件になっていないか)に対して
前提条件だから、という答えは答える姿勢になっていると思えない
というか、ひっかかりを感じていると言っている部分の一つ先の段階で受け止めたり返答したりをされてるように見える。
だからこそ>>635でそうではないんですよと過去のレス番を参照したり
>「右の封筒を選ぶ確率」、「左の封筒を選ぶ確率」などだったら1/2でいいと思います
と書いたわけですよ

文意が伝わっている上で、そのひっかかりが数学的にナンセンスであると思われるならば、
>>240さんにはそのナンセンスに付き合うことを強要する気はありませんので。
基本的な説明の反復なら必要ないですよ。

640 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 18:35:09
>>638
右左に固定する印象を与えるのは表現として不適切でしたね。

「一方の封筒を選ぶ確率」とでもしますか。
あるいは、右(あるいは左)の封筒を選ぶのは自由意志だとして確率は関与しないとしてもいいですが

「右の封筒を選んだ場合、そちらが高額である確率P(R1)」「左〃 P(L1)」
「右の封筒を選んだ場合、そちらが低額である確率P(R2)」「左〃 P(L2)」
とすると、
P(R1)+P(R2)=1、P(L1)+P(L2)=1とそれぞれ規格化されてる場合
P(R1)=P(L1)、P(R2)=P(L2)であることは認めますが
それぞれが1/2であるという断定にはひっかかりがあります。

641 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 18:42:37
ところで>>14には

>■確率分布の混同
>その封筒が高額の方である確率は1/2でいいのかを考えよう
と書いている人がいるが、この人はどういう考え方をしているのか
ひっかかりに対する解決の糸口を持ってそうなので
1/2で正しいか違うのかだけでも示してもらいたい。
それと、2の段階で1/2かどうかというこのひっかかりは
確率分布の問題ということいなるのかそうでないのか

642 :240:2010/04/11(日) 18:49:00
(*)に同意するんだろ?それなら私の問題を考える際には
>はたして本当に前提条件として正しいのか(強すぎる束縛条件になっていないか)
こんな疑問は持たないはずだ。前提条件は理由なしに正しい認めるもんなんだよ。

君が、封筒を選ぶ確率がそれぞれ1/2では無い場合について考えたいのであれば考えればよい。
しかしそれは>>603の問題とは別の問題を考えることになる。
だって問題の前提条件を変えたら別の問題だからね。

私が推測するには、君は私の出題意図に疑問を感じているのだと思う。
その場合は、「なぜ1/2という前提条件を設定したのか?」と聞けばよい。
「1/2という前提条件は正しいのか?」という疑問はナンセンスだ。

643 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 18:52:18
>>642
(*)とはどの(*)のことですか?

644 :240:2010/04/11(日) 19:00:43
>>637の(*)

645 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 19:10:27
成程、「背理法のための」仮定であり
「矛盾を導くための確率1/2」でしたか。

>>604のABCD…がまとめを進めている流れに見えなかったので
背理法をやってるように見えませんでした、>>240さんには要らぬ手間をかけたようです。
その後s5179さんの
>>615>少ない金額の入っている封筒を初めに選ぶ確率は1/2です。
に対して話を進めていたので、>>637で背理法をいきなり出されて何を言ってるのかと思ってましたよ

646 :240:2010/04/11(日) 19:20:04
いきなりではない。一般的に背理法を用いていることに気づかない人が多いので
>>631にわざわざ「背理法」とかいたんだよ。


647 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 19:38:57
>>646
それは自分の話の流れを自分で理解してる人から見ればそうだろうけど。

>>631で「背理法のための仮定として」1/2を使うなら
>4c円である確率はそれぞれ1/2なのだから
ではなく
>>631内で(*3)の前までに(*0)とでもして入れておいて使わないと
背理法のために仮定してるようには見えないと思うし、
>>628の段階で直接、背理法のために言ってますよと注意喚起があれば
もう少し早くかみ合ったと思います


648 :240:2010/04/11(日) 20:05:48
君は大きな勘違いをしているよ。
>>630は読んだ?

649 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 21:32:43
>>605
は別スレでやってくれないか。その疑問はスレ違い。

650 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 21:33:42
>>605
に回答するのもスレ違いなんで放置で。

651 :s5179:2010/04/11(日) 22:47:24
>>635
2つの封筒問題とモンティ・ホール問題を関連付けてみましょう

2つの封筒A、Bがあり、中にそれぞれお金を入れる。
いれる金額は上限が無限の自然数の中から無作為に選びいれる、
ただし、A、Bが同じ金額になった場合やり直す
Aを選んで中を見ると10000円だった。

Bの封筒を選択した方がよいか?

事後確率を使うのならばBの金額は1000:∞の割合で(つまり必ず)Aより多くなります
よって封筒Bを選択した方が金額が増えると考えられ、よい選択とされます・・・(a)

一方、モンティ・ホール問題の隠喩「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」であると考えるならば
封筒Aと封筒Bに入っている金額は無作為に選ばれている為、Aの方が金額が多い確率1/2、Bの方が金額が多い確率1/2です。
よってBの方を選択しても金額が増えるか減るかは分かりません・・・(b)

たぶん635さんは(a)が正しいと感じられたはずです
しかしその場合封筒Aがどんな値であればBを選択しないのでしょうか?
封筒Bを初めに選び10,000,000円だった場合は封筒Aを選択しますか?
もし10,000円の場合は交換し10,000,000円であれば交換しないのであれば
あなたは直感だけでこの問題を解いていると思います。

因みに、240さんに怒られるので先に断りますが
『上限が無限の自然数の中から無作為に選びいれる』ことは不可能です。
すみませんが、可能であると仮定して問題を解いて下さい



652 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 01:08:12
(a)
>事後確率を使うのならばBの金額は1000:∞の割合で(つまり必ず)Aより多くなります
ここにひっかかる

(b)
>Aの方が金額が多い確率1/2、Bの方が金額が多い確率1/2です。
金額を確認しても?

>『上限が無限の自然数の中から無作為に選びいれる』ことは不可能です。
上限がない件に関しては
そこに問題があるとは思っていないので見ていないけど。
結局のところ>>631は背理法の一部でしかなかったわけだけど、

>(*1)つまりp(1,1)+p(1,2)+p(2,1)+p(3,1)+p(3,2)+,,,=1である。
>金額の比は1:2であるから、
>(*2)m=2n および n=2m 以外のm,nに対してはp(m,n)=0である。
>もし全てのm,nに対してp(m,n)=0ならば、(*1)が成立しない。よってp(m,n)>0となるようなm,nが存在する。
>(*2)よりこのm,nはm=2nまたはn=2mのどちらかを満たす。対象性によりm=2nの場合のみ考える。
(*2)で該当しない事象が排除されたのと同様
2つの封筒問題でその後に起こる「金額を確認したら10000円だった」のところで
さらに該当しない事象が排除されるわけだから
(*3)以降の無限を理由にしている部分が意味をなさないと思うので。

653 :240:2010/04/12(月) 02:11:43
>>631>>630の前半に書かれている命題の証明。その証明には背理法を用いている。
この内容は>>628で話題になっている2の確率が1/2であることとは別の話。
よって>>647に書かれている
>>628の段階で直接、背理法のために言ってますよと注意喚起があれば
は不可能。

>>>631は背理法の一部
ってどういう意味だ?こんな日本語の使い方始めてみるぞ。

>「金額を確認したら10000円だった」のところで
これは>>630>>631とはまったく関係ない話だぞ。

なんだか書いててむなしくなってきたよ。。。
注意深く読んで、よく考えて、それでも分からない部分は素直に質問してくれ。

654 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 02:17:02
>>631
その論法をそのまま、実数に適用するのは無理がないか?
まず、(*1)のところを、実数でどうやって構成する? 
整数なら、(1,1)、(2,1)、(1,2)、(3,1)‥とリスト化することが可能だが実数でどうするつもり?




655 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 02:29:27
結局のところ>>631は背理法の一部でしかなかったわけだけど、



結局のところ>>631(の下記引用などでこちらが理解の助けになると思った部分は
こちらが役に立つと思った使われ方ではなく、>>631の)背理法の一部でしかなかったわけだけど、

だと思ってもらえればいいです。
元々気になっている部分に背理法が関係あるとは思ってないので、
背理法の流れの中の、気になる部分に似てるところに反応してしまったせいで
煩わせてしまったのは申し訳ないけど、
>>628が背理法とは別問題なら、やっぱりこっちの発言意図が通じていないと思いますよ。

(高額封筒が選ばれる確率を1/2と仮定する→矛盾が起きる→仮定は誤り)という背理法に対して
「高額封筒が選ばれる確率が1/2というところに引っかかる」と思うのは、背理法の、後に誤ったこととされる部分をおかしいと言ってるわけだから
おかしくて当然というのは分かるが
背理法でない部分で、「高額封筒が選ばれる確率を1/2」としているのなら、やはりそこにひっかかりますよ。


656 :240:2010/04/12(月) 02:33:17
その質問から察するに、君は、確率変数が連続な値をとる場合を知らないだろ。
君の疑問は、封筒問題に対する疑問ではなく、単に、連続な場合を知らないことによる疑問だ。
知りたければ確率論の本でも買って勉強してくれ。

657 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 02:35:00
>>656
それは
>>654に対して?それとも>>655に対して?

658 :240:2010/04/12(月) 02:44:59
>>655
の最後の行に対しては、
>>650
があるので返答出来ない。別スレでやってくれ。
というかすでに沢山の返事を書いているので、それらを注意深く読みさえすれば理解できる事だし。
とにかくそれは封筒問題とは全く別の疑問点なの。

659 :240:2010/04/12(月) 02:46:24
>>656>>654に対して。

660 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 02:57:01
>>658
つまり、モンティホールの例示のように
2択であることと、可能性が1/2であることとは対応しないことがある、という見方は
封筒問題ではありえないという立場ですね。
背理法のための仮定だからありえなくて当然、というのとは別で。

そこを掘り下げることは、このスレで疑問を挙げるのは論外なほど封筒問題とは関係ない問題だと。

注意深く読んでも、
コインの裏表出る確率が1/2であることと同じ、という反復にしか見えなかったので
本当にコインと等価なのかという疑問には何ら答えになっていないと思うのですよ。
「何故違うの?」に対して「違うから」にしか見えないです。 

それと、>>605があるので返答できないというのは
論理的な態度には見えないのですが。
「自分はこれは関連問題だとは思わない(何故かというは説明なし)、したがってスレ違い」
というのは。

661 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 03:43:50
>>656
連続な値をとる場合については既知だが
>>631の論法を、どうやって実数に拡張するのかに興味がある。

662 :240:2010/04/12(月) 03:48:57
>>628の中段は読んだの?
君は、
私が「コインの表の出る確率は1/2である。これと同じ理由で封筒の場合も1/2である。」と主張している。
と勘違いしているんじゃないかい?
私の主張は全然違うよ。

まず、コインの表の出る確率は必ずしも1/2ではない。作る気になれば1/3のコインも作れる。
色々な確率の可能性がある訳だ。
だから注意深い出題者は「ただしこの問題ではコインの表の出る確率は1/2とする」という注意書きを入れる。
だって、この注意書きが無ければ、1/3だと思って解く学生や1/4だと思って解く学生が出るかもしれないからね。
(もちろん、受験業界では注意書きが無くても1/2であるという暗黙のルールが出来上がっているようだが。)
そして問題文に「コインの表が出る確率は1/2とする」と注意書きがある以上は、1/2として解かなければならない。
1/3で解いた学生は0点だ。何で1/2なの?という疑問はナンセンスだ。

君が疑問に感じるように、封筒の二者択一の場合も二倍を選ぶ確率が1/2とは限らない。
例えば、選ぶ人が入れた人の顔色を伺って選ぶ場合や、封筒がうっすら透けて見える場合には、
1/2よりも高い確率で二倍の封筒を選ぶことが可能だ。
色々な確率の可能性がある訳だ。
だから1/2として計算する人や2/3として計算する人など色んな人が現れるかも知れない。
「それでは困るから、ここでは1/2で計算することにしましょうね。」と>>612の2で仮定している訳だ。
念のため繰り返すが、「1/2になるのが当然だ」と言ってるんじゃないよ。
「色んな確率の場合がありうるから、計算するのに困るじゃん。ここでは1/2の場合について考えようね」
と言っているんの。きみが1/2が気に入らない、あるいは、気にかかる、のであれば他の場合を考えても良いよ。
でもそのときは別のスレでやりましょうってこと。

663 :240:2010/04/12(月) 04:01:58
>>661
私は確率論を勉強したことが無いので、通常の言葉や記号の使い方を知らない。
その辺のミスを突っ込まれるのが嫌だから君が手伝ってくれ。
まず、連続で非有界な一様分布が存在しないことを示してくれ。
(離散の場合は>>251で既に証明してある。)

664 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 04:49:44
>>662
何度も
「理想的なコインの裏表が出る確率が1/2であることを疑う」こととは別だと繰り返しても
言葉が通じないようですね。

>>662の2段落目は完全にわかった上で
封筒とコインが等価とは思えないということを最初から言ってるのですが。

665 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 05:19:48
>>663
>>630
> 読んでもらえば分かるが、以下の議論は金額が実数値の場合にも適用可能である。 
とあるが、読んでもどうやって実数に適用させるのかわからないので解説して欲しい。

また、>>631において、
> (*1)と(*3)と(*4)は矛盾する。
とあるが、 これは (*1)と(*3)と(*4)の3者が互いにそれぞれ矛盾という意味なのか?
しかし、 (*1)と(*3)は特に矛盾をしているようには見えない。
また(*3)と(*4)も矛盾しているようには見えない。
いったい何が矛盾しているのか解説して欲しい。

666 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 05:38:53
> 連続で非有界な一様分布が存在しない

封筒の問題だけに限定して高校生にもわかるようなレベルでやるなら 以下で十分だと思われる。

正の実数について一様に分布するということは
ア) 確率変数 p(x) {x>0} は定数関数p(x)=a {0≦a≦1}  
イ) p(x)を 正の実数全体の範囲(0<x<∞)で定積分すると1

ここで、ア)の p(x)=aを不定積分すると P(x)= ax+c となる。
この結果を利用し正の実数全体の範囲(0<x<∞)で定積分すると
これは aが0ならば0、a>0ならば∞にしかならず、先のイ)と矛盾。

667 :s5179:2010/04/12(月) 06:00:05
>>652

>事後確率を使うのならばBの金額は1000:∞の割合で(つまり必ず)Aより多くなります
ここにひっかかる

であれば、無限の自然数の中から無作為に1つの値を選び
それが1000以上である確率を求めて下さい・・・@

>Aの方が金額が多い確率1/2、Bの方が金額が多い確率1/2です。
金額を確認しても?

そうです、金額を確認してもです
何度も断りますが、無限で無作為の場合だけです、
選ぶ値は偏りがあったり、有限の場合は事後確率が使えます。

試しに>>651の問題が、
上限が100,000円、Aの封筒が10,000だったら事後確率を使いBの封筒を選びますか?・・・A

>>651の問題でAの封筒が10,000,000円だった時、あなたはBの封筒を選びますか?・・・B

@ABに答えてみて下さい。
そうすれば、自分の考えをまとめる手助けになるかもしれません


668 :s5179:2010/04/12(月) 06:05:25
>>652

@ABを答えるの避けないでね、粘着して何回も同じ質問しちゃうよ

669 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 06:19:47
>>667
@
→∞

ただし、二つの封筒問題でAが10000円のとき
Bの封筒の期待値が上になる説明とは関係ないと思う
それとも、>ただし、A、Bが同じ金額になった場合やり直す
から判断すると、本来の2つの封筒問題とは別の問題?
何度か言ってるように金額が1:2というところが何らかの束縛条件になっていると思うので
それが与えられていない問題はあまり意味がないと思うし
ひっかかりを解決する役に立つようには思えませんが。

ABを選ぶ、というかBの期待値が10,000より上だと思う

ただし上限があるとすれば、2つの封筒問題とは似ても似つかないものになると思いますが

B>>651の問題が>>651のどの部分を指すのかはっきりしないが
上限が無いと保証されているならばAが10,000,000円だった時でも
Bの期待値が10,000,000円より大きいと思う

670 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 06:21:12
>>668
それと
何度か事後確率と言う言葉をつかっているようなので
参考までに何をどう計算するのか数式で具体例を挙げてみてください

671 :240:2010/04/12(月) 09:20:57
同一人物か知らんが、それが分かるなら、

672 :240:2010/04/12(月) 09:33:34
>>666
同一人物では無いかもしれないが、それが分かる人なら>>654のような質問はしないはずだが、、、?
とりあえず>>654に対する答えは
連続な場合の(*1)を>>666にならって書けば、
p(x,y)のxy平面の第一象限上の積分=1
となる。
しかし、実は二つの封筒問題のp(x)はサポートがy=2x、x=2y上にしか存在しない。
つまり、通常の関数では表せない場合なんだ。だから正確に言えば、連続な場合の(*1)は
関数p(x,y)の代わりに測度\muを用いて、
\mu(\Omega)=1ただし、\Omega={(x,y)\in R^2 | x>0, y>0 }
と書くんだと思う。まぁ、君の方が詳しいだろうけど。

673 :240:2010/04/12(月) 09:38:46
>>665
この議論は>>251(およびそのやや下あたり)で書いたものと同じなのだが。
(*3)(*4)から総和が∞に発散することが得られ、このことは(*1)と矛盾する。

674 :s5179:2010/04/12(月) 09:55:22
>>670
仕事中で携帯からしか書き込めないから少し待って欲しい
因みにどれを数式を使い解けばいいの?

あと>>668は2つの封筒問題と同じで問題に誤りがあるので解けないよ
分かってた?

675 :240:2010/04/12(月) 10:16:07
コインの表裏が出る確率は一般には1/2ではない。
封筒も一般には確率1/2ではない。
そしてこれらの二つの問題は、全く別の問題で等価ではない。
本当に私の言いたいこと分かっている?

一応>>664さん用の説明も考えたんだが、以下の(A1)-(A3)は納得できる?(>>664以外の人は以下の文は読まないでくれ)
全く同じ封筒が二つある。これをAとBとする。
(A1)全く同じだからAを選ぶ確率もBを選ぶ確率も1/2である。
この封筒に金額の比が1:2でお金を入れる。
ただし、選ぶ人には全く気づかれないようにお金を入れた。選ぶ人はお金が入っていることすら知らない。
(A2)つまり、超能力でもない限り、お金を入れた行為が選ぶ人のA,Bの選び方に影響することは有り得ない。
(A3)よってAやBを選ぶ確率は1/2のまま。


676 :s5179:2010/04/12(月) 15:54:09
>>669

@
→∞ ではなく確率を聞いているので1ですよね答え

>本来の2つの封筒問題とは別の問題?

もちろん別の問題です。
2つの封筒問題の1:2に束縛条件を感じているようなので
1:2の比が無くても
『一方を確認すると、他方の期待値が必ず大きくなる』
『確認する前は金額の少ない封筒を選ぶ確率は1/2、なので金額を確認する前は交換してもしなくても損得不明である』
問題を用意しました。
繰り返しますが、どちらの問題も有限で一様な確率分布、
もしくは有限でも無限でも分布が示されていれば、事後条件付きの確率問題として解けます。

>>651の出題意図は

『1:2の条件がなくとも2つの封筒問題のパラドクスを成立させる事が出来る』
です。

そろそろ2つの封筒問題と>>651の問題は
条件不足や条件に誤りがある為に解けない問題であると理解してもらえないでしょうか?
<以降ふざけますし嘘です>
でなければAの封筒が1,000,000,000円であれば封筒Bを選びます?の質問を桁を増やしながら∞回繰り返します。


677 :s5179:2010/04/13(火) 08:30:08
>>651が解けない問題であると考える理由を述べます。

@ 上限のない自然数の集合(可算無限集合、値の偏りの無い一様分布)から無作為に1つの値を選ぶ
A 選んだ値を確認する、有限可算の値である
B Aを十分な回数繰り返す、すべて有限可算の値である
C 確認できるのは、すべて有限可算の値である
D 可算有限集合は可算無限集合のごく1部である
E A〜Dより@の場合において偏りが生じているのが確認できる
F @の場合においての可算無限集合から可算有限集合への偏りは統計不能、計算不能である
G @を前提条件とした計算はFより無意味である
H >>651の問題において10000円の情報は真であるが、@を前提条件とした計算は無意味である


678 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 11:42:05
>>677
> @ 上限のない自然数の集合(可算無限集合、値の偏りの無い一様分布)から無作為に1つの値を選ぶ 

ここを

> @ 上限のない自然数の集合(可算無限集合、構成可能な値の偏りのある分布)から無作為に1つの値を選ぶ 

と修正すると、それ以降の論議にも意味はありますか?


679 :s5179:2010/04/13(火) 13:56:33
>>678
上限のない自然数の集合に構成可能な値の偏りを教えて頂ければ
それに沿って論議を展開してみます。


680 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 00:48:01
>>674

>>670参照
「誤りがあるので解けない」部分を聞いているわけではありません。
「s5179さんが事後確率が使えるとしている部分」に関して
具体的な式提示を求めているだけです。
>>631のように、実際の式や過程を具体的に示されたものを見れば
考えが進むこともあるし、相手が何を言っているか伝わりやすくもあるので。

>>651
>事後確率を使うのならばBの金額は1000:∞の割合で(つまり必ず)Aより多くなります
>>667
>選ぶ値は偏りがあったり、有限の場合は事後確率が使えます。
>事後確率を使いBの封筒を選びますか?・・・A

>>675
(A1)は了解。>>240さんは>>638でそこの部分を一方が選ばれる確率は1/2(=「理想的な」コインの裏表と同様)という話から
意図的に特定の一方を選ぼうとすると1/2からいくらでもずらせるという話に持って行ってしまったようなので
伝えるのに苦労しましたが。
(A2)了解
(A3)ここに飛躍がある気がする。

ともかく、こちらとしては、あえて(A1)と(A3)を並べることで、
(A1)の部分で止まっているのではないということを何度も繰り返したつもりですが
そのたびに(A1)に関する話としてしか返事が返ってこないので、
(A1)はクリアして(A3)の段階でひっかかりを感じるということがまずは伝われば本望です。
その上で(A3)で疑問を感じることがナンセンスならナンセンスと判定してもらえれば。




681 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 00:58:32
>>676
よくわからないけど
束縛条件なし、数値の上限もなしの場合に期待値が発散することと
1:2が束縛条件になりそうな「2つの封筒問題」とは
パラドックス(なのか、論理的矛盾はなく、たんに理解不足なのかはともかく)としての問題点が別物だと思うので
>『1:2の条件がなくとも2つの封筒問題のパラドクスを成立させる事が出来る』
という話の流れは意味があるように思えません。

何らかのパラドックスが成立しているとしても
2つの封筒問題パラドックスにあたるものは成立していないように思います


682 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 01:01:33
>>677
その説明が正しいとして、一様分布を否定しただけでは?

では一様分布でなければどんな分布なのか、という話が次に来て然るべきだと思いますが、
そこのところはどうなるのでしょう。

683 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 01:16:57
>>679
>>678ではないが、ひっかかりの解消にむけての進展がありそう。
構成可能かどうかはともかく、やってみてほしい。

自然数nの確率が8.1*10^-n
nが大きくなれば指数関数的に小さくなっていくという分布ではどうでしょう
和が0.999…1で確率の和は1になると思います

684 :240:2010/04/14(水) 03:39:05
>>680
(A1)(A2)は了解してくれたと事なので、これらは正しいとする。
以下(A3)が正しいかどうか考える。
(A3)に飛躍を感じるというのは、つまり、(A3)の確率は1/2じゃないんじゃないかな?と感じんてるんだよね。
それじゃぁ、君の感じるとおり1/2じゃないとしてみよう。
何でもいいのだが例えば(A3)でAを選ぶ確率は2/3、Bは1/3としてみよう。

俺の前に全く同じ二つの封筒AとBが置かれる。俺はAを選んだ。また置かれた。こんどはBを選んだ。
これが繰り返され、ABBBAABAAB、、、と1/2の確率でAとBを選んでいた。
(ここでこっそりお金が入れられる。)
ABBBABABB、、、あれ?俺はなぜかAを2/3の確率で選んでるぞ?いったいなにが起こったんだ???

このように、確率が1/2から2/3に変わったと言うことは、お金を入れた行為が「俺」の選択に影響したという
ことだ。実際「俺」はお金を入れる前と入れた後で何かが変わったと感じている。
これは、(A2)と矛盾している。
なぜこんな矛盾が起こったかと言えば、初めに(A3)の確率は1/2じゃないとしたからだ。
つまり背理法により(A3)の確率は1/2が正しい事が分かった。

685 :240:2010/04/14(水) 04:04:07
>>671
意味不明な言葉や言葉の誤用が沢山あって適当に推測して読んでるから誤解があるかもしれんが。
その議論には無理があるよ。
ステップ3、の「十分な回数」が有限回なのだから、
ステップ5、の確認できる値がごく一部なのは当たり前。
ステップ3では可算無限回よりい沢山繰り返さなきゃだめ。

例えば、「1以上10以下の自然数」に関して、同じ議論を適用してごらん。
ただし、ステップ3で繰り返す回数は4回くらいにして。
確認できる値は最大で4つだから「1以上10以下の自然数」のごく一部でしょ。
かたよりなく「1以上10以下の自然数」の値を確認するためには、
10よりはるかに大きい回数繰り返すことが必要でしょ。

コインだって一回しか投げなきゃ、表だけ、とか、裏だけとか、偏った値しか確認できないでしょ。

686 :240:2010/04/14(水) 04:05:06
上のは>>671じゃなくて>>677でした。

687 :s5179:2010/04/14(水) 07:24:35
>>680
「s5179さんが事後確率が使えるとしている部分」であれば
無限で一様な場合は使えないので式提示は不要です。

>>681
あなたの考える、2つの封筒問題パラドックスを書き込んで頂ければ比較出来るのですが・・・

>>682
上限のない自然数の集合から無作為に1つの値を選ぶ
と各値の確率分布は一様になると思うのですが、682さんはどんな分布になるとお考えですか?

>>683
自然数nの確率が8.1*10^-nですか?
自然数nの確率が9*10^-nでなくて?
総和が1になってないし、またアキレスと亀やる?









688 :s5179:2010/04/14(水) 07:37:05
>>685
Aye, Sir!

@ 上限のない自然数の集合(可算無限集合、値の偏りは無い)から無作為に1つの値を選ぶ・・・(と一様分布になると思われる)
A 選んだ値を確認する、有限可算の値である
B Aを終り無く繰り返す、有限可算の値を終り無く確認する
C 確認できるのは、すべて有限可算の値である
D 可算有限集合は可算無限集合のごく1部である
E A〜Dより@の場合において偏りが生じているのが確認できる
F @の場合においての可算無限集合から可算有限集合への偏りは統計不能、計算不能である
G @を前提条件とした計算はFより無意味である
H >>651の問題において10000円の情報は真であるが、@を前提条件とした計算は無意味である

It ended. Sir



689 :s5179:2010/04/14(水) 07:44:42
>>688
It ended. Sirは間違い
終わりました!!って言いたかったんだけど・・・

690 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 13:03:20
自然数nが選ばれる確率を9*10^{−n}とすれば、総和は1だろ。

691 :s5179:2010/04/14(水) 19:37:46
>>690
1*10^{−n}足りないじゃん!!

と言ってみるテスト(突っ込み覚悟済み)

692 :240:2010/04/15(木) 00:24:33
>>688
「有限可算の値」なんて言葉はない。「有限の値」というべき。
数(有限の値)が可算無限個集まれば可算無限集合となる。
ステップ5あたりがおかしい。君の議論には本質的な問題がある。

693 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 00:39:43
>>688
可算無限集合から有限回元を取り出したときに選ばれる元は偏っている。
だから特定の元が多数回選ばれたときの統計である期待値は意味をなさないという議論はだめだろう。
可算無限回の試行はしないといけない。

@の集合を有理数とすると可算無限回の試行で全ての元が可算無限回選ばれる状態を作ることができる。
つまり偏りがなくなる。

@の集合が実数のときは0〜1、1〜2のように範囲で区切れば可算無限個になるので有理数と同様にいける。
あとは長さ1は有限なので可算無限回の試行の下では収束するという方向に持っていけるはず。



694 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 02:00:44
>>687
【1パラグラフ】
>無限で一様な場合は
では誰も事後確率など持ちだしていないのに
使えない「事後確率」をわざわざ持ちだしたのは混乱を増すためですか?

有限ならば使えると書いているからには
どういう有限を想定して、その場合どのように計算するつもりだったのかを聞きたいだけです。
でないとこちらが問題にしてない事後確率を持ちだす意味すらわからない。

【2・3パラグラフ】
無作為な場合は2つの封筒パラドックスに感じるひっかかりは感じないと
何度か書いたと思います。

>>621に対する>>623のように。「金額の比が何らかの束縛条件になりそうだ」という思いこみが
真か偽かを説明つきで納得させてもらいたいわけです。
よって金額比がないもの、また>>621の比の値が∞になる3番目などは「2つの封筒問題」にはなってなくて
有限の金額比があるものが「あなたの考える2つの封筒問題」といえるでしょう。
よって3パラグラフ目の問いや>>677>>676にも、ひっかかりを解決するために意味があるようには思えません

【4パラグラフ目】
間違いの訂正は有難いが、それで伝わったのならそこで止まったり煽ったりは必要ないので、
論を先に進めてみてください。
ちなみに、確率総和でなく別のものを1にするような間違いをしていました。

695 :240:2010/04/15(木) 02:18:21
>>694
>「金額の比が何らかの束縛条件になりそうだ」という思いこみが
>真か偽かを説明つきで納得させてもらいたいわけです。
だからなんども言ってる通り、それが真か偽か説明するのは不可能。
なぜなら、
(A)束縛条件となる状況もある
し、
(B)束縛条件とならない状況もある
のだから。
(A)、(B)には同意?

696 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 02:20:07
>>684
>俺の前に全く同じ二つの封筒AとBが置かれる。俺はAを選んだ。また置かれた。こんどはBを選んだ。
>これが繰り返され、ABBBAABAAB、、、と1/2の確率でAとBを選んでいた。
>(ここでこっそりお金が入れられる。)
>ABBBABABB、、、あれ?俺はなぜかAを2/3の確率で選んでるぞ?いったいなにが起こったんだ???
は、目を向ける場所が違っているように思います。
となると、>>675の説明そのものが、引っかかりを感じるポイントとは別の部分の説明のためだったように見えます。

240さんは
「その封筒がAの封筒である可能性」と
「一方の封筒の中身がAである可能性」とを区別してないと思います。
2つの封筒をA,Bとする、なら、どちらかを選ぶのは1/2、他方を選ぶのも1/2でいいと思います
そこを意図的に変えたければ、Aを選ぶのは天下りに1/3という状況を定め、Bを選ぶ確率はゆえに2/3ということでいいと思います。
でも、封筒の中身が高額か低額かという、各封筒が持っている確率はそれとは別の次元のものだと思います。

モンティホールでいえば、司会者がハズレをいくつか除去した後
2択になった状態で
「2択のうちの一方を選ぶ」ならば、これを意志によらずランダムに確率にゆだねるなら
理想的なコインのように見れば1/2でしょう
しかし、「今選んでいる方が正解である確率」は1/2ではありません。そういう違いです。

そして、モンティホールの場合は「中身を知っている司会者がハズレの大半を除去する」という付加条件があるわけですが
2つの封筒では理想的なコインのゆな1/2からのずれを生みだす付加条件は
「1:2の金額」と言う設定の所にありそうだと感じているわけです。

697 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 02:26:09
>>695
該当事象+余事象=全事象というような、完備性みたいな意味合いでですか?
必ず(A)と(B)に分類できるとする、というような。

それなら同意です。

金額が1:2と指定されている2つの封筒問題では
(「金額」にはこだわりませんが。自然数にこだわると本質からはなれると思うので「数値」でいいです)
あるときは(A)、あるときは(B)になるという意味なら同意しません。
どちらになるにせよ、どちらか一方に決まると思います。

>なんども言ってる通り
というのはどのことでしょうか。

698 :240:2010/04/15(木) 02:36:29
>「2択のうちの一方を選ぶ」ならば、これを意志によらずランダムに確率にゆだねるなら
>理想的なコインのように見れば1/2でしょう
最初に選らんだ扉にするか、扉を換えるかについてランダムに選ぶなら、
どちらの扉を選択するかは確率1/2である。
(束縛条件のせいで1/2から変わるなどと言うことは無い。ランダムだと仮定したなら必ず1/2だ。)
しかし、当りをひく確率は1/2では無い。
なぜなら、選んだ扉に当りが入っているのかそれとも換えた扉に当りが入っているかの確率がランダムではないから。

>>684に関する答えの部分は何を言いたいのかさっぱり理解できん。
話を展開する前に、>>684の話そのものに対する返事を詳しく書いてくれ。
どの部分に同意できてどの部分に同意できないのかについて。

699 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 02:40:22
>>698

>最初に選らんだ扉にするか、扉を換えるかについてランダムに選ぶなら、
>どちらの扉を選択するかは確率1/2である。
>(束縛条件のせいで1/2から変わるなどと言うことは無い。ランダムだと仮定したなら必ず1/2だ。)
>しかし、当りをひく確率は1/2では無い。
>なぜなら、選んだ扉に当りが入っているのかそれとも換えた扉に当りが入っているかの確率がランダムではないから。

要するに↑こういうことです。

「どちらの扉を選択するか」と「当たりを引く確率」を区別するのと同様
「一方の封筒を選択する確率」と「封筒の中身が高額である確率」は区別すべきだという話。

700 :240:2010/04/15(木) 02:51:54
>>697
「あるとき」っての何を意味しているのか分からないので、言いたいことが伝わっているかわからんが。
(A)ある状況(つまり、ある問題)では束縛条件になる。
(B)ある状況(つまり、ある問題)では束縛条件にならない。
どちらの状況(問題)もありうる。
封筒問題では(B)状況を想定しましょうという暗黙の了解がある。
ということ。これは何度も言っていることだよね?

もし上記の「(A)(B)両方の状況がありうる」という主張が正しい場合には、
>>「金額の比が何らかの束縛条件になりそうだ」という思いこみが
>>真か偽かを説明つきで納得させてもらいたいわけです。
>だからなんども言ってる通り、それが真か偽か説明するのは不可能。
であることは理解してもらえるよね?

701 :240:2010/04/15(木) 02:57:30
>>699
つまり、
>>675の(A3)に同意する。ただし、A、Bを選ぶ確率と高額、定額を選ぶ確率は別物だ。
ということでOK?

702 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 03:02:38
>>691
1からnまでの確率の和だったら、足りないに決まってるだろ。
まだ足してない確率が残ってるんだから。

「総和」の意味分かってる?

703 :240:2010/04/15(木) 03:05:07
>>698の訂正
>しかし、当りをひく確率は1/2では無い。
は間違いで、
>しかし、選んだ扉(もしくは換えた扉)に当りがある確率は1/2では無い。
でした。すみません。

704 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 03:07:27
>>700
ある問題 なら(A)、別のある問題なら(B)だとして
「金額の比が1:2である2つの封筒問題」はどっちなのかという問いですよ。どちらですか?

>封筒問題では(B)状況を想定しましょうという暗黙の了解がある。
その暗黙の了承はなにゆえですか?
「理想的なコインの裏表が出る確率がそれぞれ各1/2」を疑っていてはきりがないというような意味合いでの
暗黙の了承ですか?

おそらく「何度も言っていること」のというのは
ひっかかりを感じている部分とはべつのことに対する説明のようなので
何度言われてもあまり納得にはつながらないんですよね。

>もし上記の「(A)(B)両方の状況がありうる」という主張が正しい場合には、
その場合には真偽を説明するのは不可能というより不要でしょう。
こういうケースは真、こういうケースは偽ということを示せばいいだけなので。

ただ、2つの封筒問題という1つの問題(金額比の設定も複数考えうるのであえて「1:2」のケースのみに「限定)が
1問が(A)にも(B)にも入るという主張なら正しいとは思えません。

705 :240:2010/04/15(木) 03:10:26
>>701へのレスを待ってから返事する。その方が論点が整理できると思うから。

706 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 03:20:24
>>701
多分OK

封筒ABはは>>675の封筒ABであってますね

707 :240:2010/04/15(木) 03:31:58
それならそうと早く言ってくれれば、、、もともと>>675の(A1)-(A3)は当然納得してもらえると思って書いたのに、、、
しかし、なかなか納得してもらえ無くて苦労した、、、

気を取り直して>>675の続きを書きます。
お金がどのように入っているか?は次の二通りしかありません。
(i)Aが高額でBが定額の場合(ii)Aが定額でBが高額の場合
(i)のとき、(A3)よりA、Bを選ぶ確率は1/2づつなので、高額、定額を選ぶ確率も1/2
(ii)のときも同様。
よっていかなる場合にも高額、定額を選ぶ確立は1/2づつ。

ちなみに、上のモンティーホールの場合も一緒です。
どちらの扉に当りが入っているか?は1/2ではありませんが、
扉をランダムに選ぶのであれば、当たるか?当たらないか?の確率は1/2です。



708 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 04:07:40
>>707
やはり区別してないか、混ぜているように見えます

>どちらの扉に当りが入っているか?は1/2ではありませんが、
>扉をランダムに選ぶのであれば、当たるか?当たらないか?の確率は1/2です。
がと呼応させると説明に都合がいいので使わせてもらうと、

>扉をランダムに選ぶのであれば、当たるか?当たらないか?の確率は1/2です。
こんなことを問題にしたことは無いと思います。

>どちらの扉に当りが入っているか?は1/2ではありませんが、
の「どちらの扉に当たりが入っているか」(または特定の方に注目して、そちらに当たりが入ってる確率は)1/2ではない
に相当する部分をずっと聞いているのに
>扉をランダムに選ぶのであれば、当たるか?当たらないか?の確率は1/2です。
の方がいつも返事でかえってきてる感じです。

709 :240:2010/04/15(木) 04:38:03
>>704
君はコインについても誤解しているから、先にコインをちゃんと理解することをお勧めする。

コインの表裏が出る確率を1/2とする理由は、君が書いた「疑ってもきりがない」からではない。以下理由を説明する。
まず、コインの表裏が出る確率は1/2ではない。(たまたまちょうど1/2のコインもあるかもしれないけど。)
出る確率は、コインの質や投げ方で変わってくる。
だから、コインの問題を出題する時には「このコインの表裏が出る確率は1/2と仮定する。」と書かなければならない。
この但し書きが書いてある問題を解く際にには、コインの表裏が出る確率は1/2として計算しなければならない。
しかし、省略されて書いていなくてもこの但し書きがあるものとするという暗黙の了解がある。

つまり、コインの表裏が出る確率を1/2とするの理由は、
「(省略されているけど)そう仮定すると問題に書いてある」からです。

納得しましたか?

さらに説明すると、
そもそも、コインというのは数学の概念では無いので問題文に書くべきではない。
数学的には「事象AおよびBが起こる確率はそれぞれ1/2とする。さてこの試行を、、、」と書くべきだ。
しかし、それでは受験生がイメージしにくいので、「事象A、B」の代わりに「コインの表、裏」と書いているに過ぎない。
これは、小学生向けの問題ではイメージしやすいように「りんご3個とみかん2個があります、、、」と書くのと同じだ。
つまり、コインやみかんやりんごなんてどうでも良いのだ。
確率1/2ということが言いたいことで(仮定したいことで)なのだから、
「本当にコインの表は1/2なの?」という疑問は無意味なのだ。

封筒はさておき、コインに関するこれらのことついては納得しますか?

710 :240:2010/04/15(木) 04:41:45
>>708
おいおい。なぜ、ながながと説明している封筒ABの話に対して何も返信せずに、
モンティーホールの話にのみ返信する?
封筒の話は納得したのかい?
モンティーホールについても長々と説明して欲しいのかい?

711 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 04:50:11
>まず、コインの表裏が出る確率は1/2ではない。(たまたまちょうど1/2のコインもあるかもしれないけど。)
>だから、コインの問題を出題する時には「このコインの表裏が出る確率は1/2と仮定する。」と書かなければならない。
それをわかってるということを
繰り返すのも面倒なので「理想的なコイン」で済ませてるけど
そこはわかってますよ。
理想的なコインでも極端な投げ方をすれば表がでる確率が限りなく1に近づいたりもするでしょう。
特に注意書きが無い場合は、1/2とするのが暗黙の了承というのもわかります。

ここまでは説明されなくても納得していると何度も繰り返していますよ。
そのたびに無視しているのか、信じていないのか丁寧に説明を繰り返してくれていますが
今回もやはり同様ですね。

>そもそも、コインというのは数学の概念では無いので問題文に書くべきではない。
これもまた脱線もしくは揚げ足取りのように見えます。

>「本当にコインの表は1/2なの?」という疑問は無意味なのだ。
最初からそれに対して「コインの問題と等価だとは思えない」と言っているんですけど。
言いかえれば、封筒の問題で確率を1/2と決めてしまうのは、いわば強すぎる束縛条件というか
適当ではない仮定、問題に即していない仮定のように思えると言う事です。

712 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 04:57:13
>>710
何の返信もしていないように見えますか?
>>706に返信しましたが。それを受けての>>707ではなかったんですか?

いつも聞いてるところと関係ない部分の答えばかり帰ってくるのと
聞いているところとは違う答えが返ってきていますよという説明が毎回通じないので
モンティホールを使って、こちらにとってどうズレているかを伝える努力をしていると思っていただければ。
それと、>>708が本当にモンティホールの説明を求めるように見えますか?
「呼応させると」「に相当する部分」などでモンティホールはあくまでたとえであって
本題ではないと分かるんじゃないかと思いますが…

ひょっとして、からかってるんですか?

713 :240:2010/04/15(木) 04:59:49
>708
>>どちらの扉に当りが入っているか?は1/2ではありませんが、
>の「どちらの扉に当たりが入っているか」(または特定の方に注目して、そちらに当たりが入ってる確率は)1/2ではない
>に相当する部分をずっと聞いているのに
モンティーホールの問題の解答は知っている?
なぜ1/2では無いか?その答えは、問題の仮定に従って計算すると1/3という答えが出るからだ。
(「二択の当たる確率は1/2だ」という決まりは無い。上で書いたとおり「二択でランダムに選ぶ」ならば1/2だけど。)
何度も言うように、問題の仮定に書いてあることは正しいとしなければならない。

封筒の問題でも、例えば、こんなのはどう?
目の前に(封筒にいれていない)金の山があります。その横にはその二倍の金額の山があります。
あなたは、ランダムにどちらか一方を選びます、、、
この問題においては、高額と低額を選ぶ確率がそれぞれ1/2であると納得出来る?


714 :240:2010/04/15(木) 05:18:34
>>711

君は、コインについて誤解を生む書き込みをしている。
>>709で指摘した「疑ったらきりがない」もそうだが、例えば>>660
>コインの裏表出る確率が1/2であることと同じ
(私の主張であるコインの表が出る確率は1/2ではない。と真っ向から対立する。)
だから私は、何度も同じことを書いたのだ。

>>712
からかっていない。
モンティーホールで例えないで、封筒ABについて説明してくれ。
そして、出来れば、>>707中段んの部分の何行目は納得できるが何行目が納得できないと書いてくれ。

715 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:29:53
>>713
>モンティーホールの問題の解答は知っている?
司会者がハズレを排除したから、ということをこれまた何度も挙げたと思う

(1)元々2つの扉だけで、どちらか一方に当たりがあるという情報だけなら
 自分が(ランダムであれ考えた末であれ)選んだ方が当たりである確率は1/2
(2)元々は3以上の扉があり、どれか一つに当たりがあるという情報で選び
 その後当たりの位置を知っている司会者がハズレ扉を排除して2択にまで下場合は
 今選んでいる方が当たりである確率は2択とはいっても1/2ではない

それと等価かどうかははっきりわからないけど
(1)金額の情報は「一方が他方より高額(金額は同じではない)」だけなら
 自分が(ランダムであれ考えた末であれ)選んだ方が高額である確率は1/2
(2)金額の情報は「一方は他方の2倍(負や0を含むと面倒なので値は正のみとする)」の場合は
 (1)とは違う付加条件が何らかの形で効いてきて、自分が選んだ方の封筒に高額が入っている確率は
 1/2と言いきってしまってはいけない気がする


>金の山
ランダム2択なら1/2でいいと思います

716 :240:2010/04/15(木) 05:33:29
>>711
>最初からそれに対して「コインの問題と等価だとは思えない」と言っているんですけど。
君はなんどもこういっているが、おそらく、
「240はコインと封筒の問題が等価だと言っているけど、私は等価だと思えませんよ」
という意味だろ?これは私の主張を誤解している。
「コインの表裏が1/2かどうか?(実際1/2では無い)」という問題と、
「封筒選びで高額が1/2かどうか?(これも実際1/2では無い)」という問題は
全く違う問題だ。等価じゃない。
「等価じゃない」が私の主張なのに、「等価だと思えない」と反論されても困ってしまう。
そして誤解されていると思うから何度も同じことを書いたわけだ。

ではなぜ等価じゃないのに、私はいつもコインの話をするのか?
どちらも、1/2と仮定して問題を解く理由が同じだからだ。
その理由は問題文に「1/2と仮定して解きなさい」と書いてあるから。
君は、書いてある仮定に従わないのか?従わないとしたらその理由は何だ?

717 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:35:45
>>716
> 「コインの表裏が1/2かどうか?(実際1/2では無い)」
> 「封筒選びで高額が1/2かどうか?(これも実際1/2では無い)」
実際1/2でないんなら、1/2として解いちゃだめじゃんw

718 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:43:25
>>714
>コイン
仮定であるがゆえに天下りに受け入れるべき1/2かどうかという話でしょう。
言葉尻にこだわっているか問題に関係ない部分でもとにかくあらさがししているように思えますが。

>>707
>お金がどのように入っているか?は次の二通りしかありません。
>(i)Aが高額でBが定額の場合(ii)Aが定額でBが高額の場合
ここはOK
>(i)のとき、(A3)よりA、Bを選ぶ確率は1/2づつなので、高額、定額を選ぶ確率も1/2
レスがかさむとこういう引用って不親切に見えますね。参照する手間がどんどんわずらわしくなっていく。
>>675の(A3)ですね。「よって、」というように{A3}だけで独立しているわけでもないですし
納得はいきそうな気がしますが、(A3)が指す内容の範囲をを>>240さんの意図どおりに読めているかどうかは
ちょっと分かりませんね。(A2)が影響するとは思っていないので(A1)のままでもいいと思いますし
ともかくABのうち一方の封筒を選ぶ確率はそれぞれ1/2ということを受け入れろということならそれはOKです
>(ii)のときも同様。
これもOKです

>よっていかなる場合にも高額、定額を選ぶ確立は1/2づつ。
ひっかかりはここでしょうね。

719 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:49:59
>>716
>「コインの表裏が1/2かどうか?(実際1/2では無い)」という問題と、
>「封筒選びで高額が1/2かどうか?(これも実際1/2では無い)」という問題は
>全く違う問題だ。等価じゃない。

ではどういう意味合いで等価でないのかを言ってみてくれませんか。
240さんが2つも封筒問題をどう整理しているかがうかがえれば
場合によってはそこであっさりひっかかりが解決してしまうこともありえそうなので。

>どちらも、1/2と仮定して問題を解く理由が同じだからだ。
これも何故同じなのか、等価じゃないそれぞれに関して挙げて見てほしいですがそれはあとでいいです

特に指示のないコインの問題を1/2として解く時の考え方と
2つの封筒問題で封筒に高額が入っている確率を1/2として解くこととは
同じとは思えません。

720 :240:2010/04/15(木) 05:52:29
>>715
モンティーホールの
(1)Aランダムに当りを入れた。B選ぶ人がランダムに選ぶ。
AまたはBのどちらかの仮定があれば当たる確率1/2。
どちらの仮定も無い場合には確率は分からない。
(2)A3つの扉にランダムにいれた。B選ぶ人がランダムに選ぶ。
AまたはBのどちらかの仮定があれば、
今選んでいる扉に当りがある確率は1/3。
どちらの仮定も無い場合には確率は分からない。

封筒
(1)上の(1)と同様。ただし、「当り」を「高額」に換えて読んで下さい。
(2)上の(1)と同様。

>>金の山
>ランダム2択なら1/2でいいと思います
OK。しかし、この「金の山」だと問題文が不自然だよねぇ?
普通の人なら、ランダムに選ばないで、絶対高額の方を選ぶじゃん。
そんな突っ込みをされないためのお約束が「封筒」なの。「目隠しをして選ぶ」でも良いけど。
つまり、[「封筒」とか「目隠し」と書かれたら「ランダムに選ぶ」と仮定しなさい]という暗黙の了解があるの。

721 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 05:56:27
「お約束」とか「暗黙の了解」とか、勝手にそんなこと決められてもねw

722 :s5179:2010/04/15(木) 06:02:52
>>240さん
お疲れ様です。
>>713の出題
>目の前に(封筒にいれていない)金の山があります。その横にはその二倍の金額の山があります。
>あなたは、ランダムにどちらか一方を選びます、、、
>この問題においては、高額と低額を選ぶ確率がそれぞれ1/2であると納得出来る?
は的確な指摘だと思います。
これに同意して、まだ納得しないのであれば
『相手は理解しているけど理解してないふりをしている』のだと思います。
>>692の件は了解しました、やはり自分の考えが浅いようなので
『無限と連続 遠山啓 岩波新書』を読み終えてから訂正したいと思います。

>>693
ちょっとまってね

>>694
すみません、モンティーホイールの問題を出してくる人と勘違いしていました
>>713の(もしくは上記>以降の)確率は1/2ですか?

>>702
分かってますよ、総和の意味は



723 :240:2010/04/15(木) 06:04:37
>>719
コインの確率はコインの投げ方や形状による。
封筒の確率は、選ぶ人や入れる人の行動による。
まったく違う現象。

1/2として解く理由は
どちらの問題にも、「ランダムです」とか「1/2です」と書いてあるから。(といっても暗黙の了解で書いてないが。)

君は、「束縛条件」とか、「強すぎる仮定」というようなことを書いていたと思うが、
つまり、「封筒の問題において1/2と仮定すると、他の条件と矛盾してしまう」ということを心配しているのか?

724 :s5179:2010/04/15(木) 06:09:32
おはようございます、モンティーホールです。
私はモンティーホイールとは別人です・・・

725 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:12:06
>>720
モンティホールのたとえを使う意味が全くないような。特に(2)。
封筒の問題でどっちも(1)扱いにする態度である以上
>>240さんが(2)に意味合いを感じないのは分かるにしても、
モンティホール問題でなくしてしまっては(1)(2)をわざわざ使う意味がないのでは

けっきょくひっかかりを感じるという部分を取り合う気が無いか無視しているだけのように思います。

>お約束
そんな粗っぽい問題ではないと思いますが。
宝くじの一等に注目した場合に
一等が当たるか当たらないかの2択だから1/2だと言われてるような気がしますね。
封筒は確定するための情報を与えない
確定できないから確率で考える
与えられたさまざまな条件をもとに確からしさを考える
モンティホールなら司会者の操作によって1/nから変動があるのかどうかも考える
宝くじなら全何本のうち一等が何本入っているかということを考える、というように。

726 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:13:09
>>723
> 「ランダムです」とか「1/2です」と書いてあるから。(といっても暗黙の了解で書いてないが。)

「書いてあるから。といっても書いてないが」

頭大丈夫か?w

727 :240:2010/04/15(木) 06:13:46
>>718

>レスがかさむとこういう引用って不親切に見えますね。参照する手間がどんどんわずらわしくなっていく。
>>>675の(A3)ですね。

>>707にはちゃんと>>675って書いといたんだけど。。。

以下の論法は理解できる?

(I)全ての場合は、Aの場合とBの場合の二つの場合に分けられる。
(II)Aの場合、命題Pは正しい。
(III)Bの場合、命題Pは正しい。
もし(I)(II)(III)が正しいならば、全ての場合について命題Pは正しい。

728 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:19:03
>>723
そういうレベルでの違いですか。
だとすれば現象が違えど確率としての扱い方は同じじゃないでしょうか?
あるいは、結果がコントロールできると想定されているかどうかという意味合いにおいての違いですか?

>つまり、「封筒の問題において1/2と仮定すると、他の条件と矛盾してしまう」ということを心配しているのか?
おそらくそうです、ひっかかりの原因はそれでしょう。

>>631は背理法のための論法だったようですが
例えば>>631
>確率はそれぞれ1/2なのだから
の部分を別の現実的な値に変えた場合に背理法が成立しなくすることができるかどうかなどには興味があります


729 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:29:16
>>727
その論法はまず分かります

となるとそういう見通しに立った上で見れば>>718
>ともかくABのうち一方の封筒を選ぶ確率はそれぞれ1/2ということを受け入れろということならそれはOKです
なので
そこから
>高額、定額を選ぶ確率も1/2
にいくところか、>>727の論法と>>707が対応していないかの気がします
10000円と20000円で 10000円の確率、20000円の確率を問う問題ではなく
10000円と20000円または10000円と5000円から10000円あるいは他の確率を求める問題のはずなので
どっかですりかわりが起きているような。

そのあたりのことが>>631の(*1)(*2)の絞り方で
自分の中で整理のきっかけになりそうな気がしたんですが。

730 :240:2010/04/15(木) 06:35:42
>>725
モンティ「ー」ホールの正解は1/3だよ。扉を換えれば2/3。本当に答え知ってるの?
つまり、>>725に書かれていることは正しいんだよ。

数学的に、
「宝くじで一等の確率=(一等の本数)/(全本数)」
となるのは、ランダムに選ぶという仮定があるからだよ。
ランダムに選ぶというお約束が無ければ、「確率は分からない」が答え。
現実世界でも、ルーレットと矢を使ってランダムになるよう努力しているけど。
もちろん現実世界で本当に完全にランダムかどうかを証明することは不可能だけど。

731 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:39:54
>>730
ランダムに選ぶ / ランダムに選ばない

違いは何?
てかランダムって何?w

732 :240:2010/04/15(木) 06:44:16
>>727
>にいくところか、>>727の論法と>>707が対応していないかの気がします
本気で言っているの?ここまで明快な説明をしているのに「気がします」といわれても、、、
疑問点をもっとクリアにしてくれ。

>>631は考えないほうがいいよ。今議論している部分とは直接関係ないから。

733 :240:2010/04/15(木) 06:46:27
>>731
ランダムは多義語だが、ここでの意味は一様分布、つまり、全て等しい確率で選ぶということ。

734 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:46:55
>>730
なんかまたからかわれてる気がしますね

>つまり、>>725に書かれていることは正しいんだよ
正しいと言うのは>>720がモンティホール問題でない問題にしてしまったということがですか?
>モンティ「ー」ホール
あえて伸ばすのは別問題を想定しているからですか?
>正解は1/3だよ
扉が3つならそうでしょう。>>720は司会者がハズレを除くことも
別の扉を選び直すことも排除した、ただの2択を3択にしただけの問題です。

そもそも>>715
付加された条件によって2択でも1/2にならないという文脈なので
3択のままのものを挙げられても何の意味もないと思うのですが。

735 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:49:07
「お約束」とか
「暗黙の了解」とか
「実際1/2ではないが1/2と仮定する」とか
「書いてあるから。といっても書いてないが」とか
「本当に完全にランダムであるかどうか」とか

電波飛ばしまくっておいて「明快な説明」とはw

736 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:50:01
>>722
総和の意味を分かってるんだったら、あとは
その意味に基づいて計算するだけだろ。
9*10^{−n}の総和は1だ。

737 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:51:39
>>732
クリアにならないからひっかかりと言わざるを得ないんですけど。
そういうあいまいな部分につきあってくださってることは感謝します

>>729に挙げたように
>>631そのものというわけでなく
>>631の途中で使われた整理の仕方で
その対応してなさそうな理由が出てきそうな気がするんですけど

738 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:54:11
>>735

>(I)全ての場合は、Aの場合とBの場合の二つの場合に分けられる。
>(II)Aの場合、命題Pは正しい。
>(III)Bの場合、命題Pは正しい。
>もし(I)(II)(III)が正しいならば、全ての場合について命題Pは正しい。
こういう論法の明快さの話では?

739 :240:2010/04/15(木) 06:57:28
>>728
「現象」とか「コントロール」と言った言葉はなるべく使わないようにした方が良い。
数学での確率の問題は「事象Aが、、、」が本質であって、
「コインが、、、」という問題においてコインについて考えることは無意味。
数学の範囲内で考えよ。

>おそらくそうです、ひっかかりの原因はそれでしょう。
他の条件と矛盾することは無い。しかし、矛盾しないことを示すことは出来ない。
矛盾してしまうと思うのならばいったいどの条件と矛盾するのか提示してくれ。
矛盾が見つけれないのにも関わらず、矛盾してしまうのではないかと心配している理由はなんだ?


740 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 06:58:20
>『相手は理解しているけど理解してないふりをしている』のだと思います。

そのつもりはありませんが。
無自覚的に理解できていることを自覚的に理解できてない可能性はありますが
それとは別問題な気がします

有限の金額比が与えられている問題以外では
高額である確率が1/2なのは納得してると言ってるわけですしね。

741 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:00:43
>>738
そんな当然過ぎることを書いて「明快だ」と威張られてもw

742 :240:2010/04/15(木) 07:00:55
>>735
何なら私に代わって君が説明してくれないか。
細かい所を気にしながら、彼を納得させてたら、いつまでたっても終わらないんだよ。

743 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:05:30
納得させるも何もw
いったい何を説明しようとしてるんだか。
「実際の確率は1/2ではないが確率は1/2である」って?ww

744 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:05:54
>他の条件と矛盾することは無い。
示せたらここが矛盾、で解決だからひっかかりなどと言わずにすむんですがね。

>>728は1/2を採用したが故に矛盾を引き出して、それで背理法が成立したわけですが
例えば1/2でないありえる値で矛盾が出なかった場合が存在しないのか
存在する場合はそれは数学的にどういう意味を持つのかなどが気になります

745 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:07:17
>>741
茶々は入れないでほしいんですが。

746 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:13:31
>>745
茶々を入れてるんじゃなくて馬鹿な発言を馬鹿にしてるだけだよw

747 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:16:52
>>746
そんなこと言うんだったらかわりにひっかかりを解決してくれませんかね

748 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:19:06
>>747
「そんなこと言う」がどうしてお前の「ひっかかり」を解決することにつながるのかをまず説明してくれw

749 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:26:23
>>747
ひっかかりの解決に協力してくれてる人の邪魔をしているから。

750 :240:2010/04/15(木) 07:26:39
>>734

>>725と書いたのは>>720の間違いだった。
とりあえず。モンティーホールをwikiで調べてくれ。
司会者が排除して、選びなおすときに、元から選んでた扉が当りの確率は1/3だよ。

「金の山をランダムに」なら1/2だと納得できるんだろ?
君以外のこのスレの人たちは、「封筒」という言葉から「金の山をランダムに」と同じ状況
を思い描いてるの。
もちろん>>1を書いた人が本当にはどういう意味で「封筒」を使ったのかは分からない。
しかし、この議論の出発点は、>>603の2だったはずだ。
そして私は、>>612で訂正をしている。
この訂正で私が言いたかったことは「金の山をランダムに」と同じに扱えということ。
書いた本人が言うのだから間違いない。少なくとも>>603>>612の問題については1/2であるということで納得してくれ。
そして今後心配ならば、>>1やあるいはそれ以外に「封筒問題」を出題する人に、
この「封筒」ってどういう意味ですか?と聞けばよい。
おそらく、等確率で選ぶと仮定してくれいう意味だよ。と教えてくれるはずだ。

数学というのは必ず何らかの仮定から議論が始まる。
その仮定は何かから導かれるものではなく、無条件に正しいと認めるものだ。

751 :240:2010/04/15(木) 07:28:36
>>746
賢い君が、賢い言葉で彼を納得させてくれると助かるのだけどねw

752 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 07:32:54
>数学というのは必ず何らかの仮定から議論が始まる。
>その仮定は何かから導かれるものではなく、無条件に正しいと認めるものだ。

それは分かるけど>>612は天下りに受け入れていいように思えないです
モンティホールの、司会者がハズレを取り除いたあとが1/2でなくなっているように
1/2にできないことがあるので。

2択で選ぶことと、
情報が完全には与えられていない(確率が0か1に収束していない)もの(封筒の中身、扉のむこうの当たりの存在)の確率を考えることとは別な気がします

753 :240:2010/04/15(木) 08:01:18
前にも書いたが、「2択」だけでは確率は分からない。「2択で等確率」なら1/2だ。
モンティーホールも、3つの扉だけでは、確率は分からない。
ランダム(等確率)に当りが入っている。という暗黙の了解による仮定があるから、
1/3なの。
ハズレを取り除いたあとの二択については、
この暗黙の了解による仮定から計算した結果として1/3と2/3となるの。
もしこの二択でで、「ランダムに当りが入っている」と仮定しちゃったら初めの仮定と矛盾が生じるの。
それに、当りの入れ方を二重に仮定してることになって変でしょ。
封筒問題で、「選ぶ人が高額低額をランダムに選ぶ」と仮定しても他の条件と矛盾しないの。
それに選び方については、他の条件は課していないから二重にもなってないでしょ。

それと矛盾があるか無いかが重要であって、気にかかるか、かからないかは重要ではないの。
これからは、「気にかかる」という言葉は使わないで、「どこどこに矛盾がありそう」とか言ってくれる
と助かる。

754 :240:2010/04/15(木) 08:27:28
私には、二択は1/2。三択は1/3。という考えが君の頭の中にこびりついているような気がする。
もしかしたらこういうことか?
二択は1/2だと思っていた。しかし、モティーホールでは1/2では無くてびっくりした。
これからは慎重に考えよう!コインは1/2でなんとなく納得。でも封筒の高額低額は1/2なのかな?心配、、、

こう考えれば心配ない。
二択だけでは不明。二択+等確率なら1/2。
モンティーホールの二択のときは、等確率に当りが入っていると書かれていないので不明。よって他の条件から1/3、2/3を導く。
コインは(暗黙の了解で)等確率と仮定されているので、1/2。
封筒も(暗黙の了解で)等確率と仮定されているので、1/2。

755 :240:2010/04/15(木) 08:37:44
続けてスマン。
以下のどの場合において、矛盾が生じると感じるのか教えてくれ。
「一方の封筒にAが他方の封筒にはBが入っている。どちらを選ぶかそれぞれ確率1/2と仮定する。」
A=100円、B=200円
A=りんご、B=みかん
A=「あ」と書かれた紙、B=「い」と書かれた紙
A=「1」と書かれた紙、B=「2」と書かれた紙
A=「右」と書かれた紙、B=「左」と書かれた紙

756 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 09:32:30
>>736
総和と言うのなら、nの範囲くらいは示さないと、誤解の元

757 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 17:02:01
以下を仮定する
(仮定 a) 2つの閉じられた封筒には実数金額が入っている。 入っている金額は開けないと見えない。
(仮定 b) 金額の低いほうの金額をα {α>0}とすると、多いほうの金額は2αである。
(仮定 c) ふたつの封筒のうちどちらか一方を等確率に選ぶと、その選んだ封筒が低いほうの金額である確率は1/2である。
(仮定 d) 金額の分布は、2つの封筒の合計金額x {x>0} に対して 確率変数がp(x) = ln(2) / (2^(x)) である。

(定理 1) 封筒の金額の合計が β{β>0}とその倍の2βでは、2^β:1の比でで、低い方の金額が出やすい。

以下を加える
(仮定 e)その選んだ封筒を開けてみると、2円入っていた。

(問題 1) 選んだ封筒が金額の低いほうである確率は?



758 :s5179:2010/04/15(木) 20:59:30
>>757
その問題分りにくいから一度自分で解いてみてよ
上限があるのか無いのか分らないけど偏りは在るから解けそうだよねー

解けない問題は、『取り得る値に上限が無く、各値の確率分布が一様な場合』だからねー

759 :132人目の素数さん:2010/04/15(木) 23:27:08
>>758
その条件でまだ立ち止まってるのかw

>>757
dまでは整理できてるか?

760 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 04:16:26
>>758
> 上限があるのか無いのか分らない

え?

> 取り得る値に上限が無く、各値の確率分布が一様な場合

そんな分布はないと何度言えば(ry

761 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 04:30:19
>>742
>二択は1/2だと思っていた。しかし、モティーホールでは1/2では無くてびっくりした。これからは慎重に考えよう!
かなり乱暴な推定ですね

>私には、二択は1/2。三択は1/3。という考えが君の頭の中にこびりついているような気がする。
>モンティーホールの二択のときは、等確率に当りが入っていると書かれていないので不明。よって他の条件から1/3、2/3を導く。
モンティホールは「等確率に当たりが入っていると書かれていない」は関係ないと思いますが。
「どれか1つだけに当たりが入っている」で十分だと思いますよ
考慮すべきことは「選択する側に情報がどれだけ与えられているか」なので。
他のどの条件から1/3を導くのですか?

こうして見ると逆に>>240さんの2つの封筒問題を理解しているということこそ(モンティホールの理解も)
誤解を理解と錯覚している可能性がありますね。

762 :s5179:2010/04/16(金) 05:24:37
>>760
解けそうだと思ったけど解けなかった。

(仮定e)その選んだ封筒を開けてみると、2円入っていた。

上限12円の問題として解こうとしたんだけど
(仮定e)の2円を引く確率が有限でも無限でも0になってしまう。


763 :s5179:2010/04/16(金) 05:55:08
あれ?>>762間違いだな
上限が無い問題と仮定すると、1/∞を0としないと確率の総和が1にならないけど
そう仮定すると総和∞の封筒を引く確率が0になる問題?
総和∞を引く確率が0ならば有限の問題?
分かりにくいなやはり・・・

有限だと上限が書いていない、出題ミス問題

764 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 08:33:11
電波炸裂だなw

765 :240:2010/04/16(金) 09:32:55
>>761
>他のどの条件から1/3を導くのですか?
モンティーホール問題をwikiで調べてください。
ゲームのルール1に「ランダム」と書かれていることを確認してください。
右の方に3つのドアの書かれた絵と説明が2つあります。この説明を理解してください。
>モンティホールは「等確率に当たりが入っていると書かれていない」は関係ないと思いますが。
一般に二択の場合
(A)「当りが等確率と書かれていれば確率1/2。」
(B)「ただ単に当りが入っているというだけでは確率は分からない。」
等確率と書かれているかいないか、は重要です。
(A)と(B)は理解できていますか?
三択の場合も同様です。
モンティーホール問題は、ルール1に書かれている「ランダム」と言う条件がなければ解けません。


766 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 09:56:43
>>765
>(B)「ただ単に当りが入っているというだけでは確率は分からない。」
「ただ単に当りが入っているというだけ」だから確率は1/2なんだよ。
確率を理解してないね。

>>761
>考慮すべきことは「選択する側に情報がどれだけ与えられているか」
それが正しい認識。

767 :240:2010/04/16(金) 10:28:01
>>760
何だか禅問答をしてるようだなぁ。

君は、「ただ単に当りが入っているというだけ」という文章自体が「どちらにも等しい確率で当りが入っている」
を含んでいる。と解釈しているから、1/2なんだろ?

明示的に書くか書かないかは別として、「等確率」という条件が無けりゃ確率1/2という答えは得られない。
同意しますか?

ちなみに、前にも書いた通り、当りの入れ方を等確率とする代わりに、
どちらを選ぶか等確率としてももちろん当たる確率1/2となるけどね。


768 :240:2010/04/16(金) 10:33:20
すまん
>>760
じゃなくて
>>766

769 :240:2010/04/16(金) 10:53:07
それと、>>755にも答えてくれ。

770 :s5179:2010/04/16(金) 13:43:30
>>757
なんだ指数関数や対数関数の積分が必要かと思ったら

>2^β:1の比でで、低い方の金額が出やすい
の比の部分が低い金額の比が大きければ他の封筒を引かない
小さければ他の封筒を引けばいいのか

『2^β:1の比でで』の『でで』の部分の理解に時間がかかったよ

(問題1)選んだ封筒が金額の低いほうである確率は? 答え8/9


771 :Monty Hall:2010/04/16(金) 13:46:10
Monty Hallの3つの封筒問題

3つの封筒A,B,Cがある、
金額の比が1:2:3となるよう札束を3束用意する。
それらの札束をランダムに1つの封筒につき1束入れる・・・@
封筒の中身は確認出来ないものとする。

(問1)、 封筒Aを選ぶ、他の封筒BもしくはCを選んだ方が得か?

(問2)、(問1)の後、封筒Aの中を見ると6000円だった。他の封筒BもしくはCを選んだ方が得か?

(問3)、(問2)の後、Monty Hallが封筒B、封筒Cの低額な方をポケットにしまう、残りの封筒を選んだ方が得か?

【補足1・・・@においてMonty Hallは封筒の中身を確認しており問3で低額な方を間違えないものとする 】
【補足2・・・その選択をして獲得出来る金額が増えることを得とします 】

772 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 13:56:17
くだらん

773 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 14:05:12
> 【補足2・・・その選択をして獲得出来る金額が増えることを得とします 】 

またこんな誤解を生みそうなことを。
「期待値が高いなら得」 というならわかるが、増えるかどうかは、交換して空けてみないとわからないだろ。
細かい条件に気を配りすぎているくらいにもかかわらず、用語の選択は慎重ではないんだな。


774 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 14:08:27
>>771
封筒の中の金額の分布を明らかにしないと決定できない。

・一般的には、確率の問題で分布が明らかでない場合
 習慣的には一様分布を仮定することが多いが
 その問題の場合、一様分布を仮定すること矛盾が生じる。



775 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 14:11:35
>>770
(定理 1)は仮定から導き出される内容だ。解釈もクソもあるか

776 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 15:04:02
240は
以下には同意なのか?

> 一般的には、確率の問題で分布が明らかでない場合、習慣的に一様分布を仮定する 

777 :s5179:2010/04/16(金) 16:13:52
>>775
失礼だな君は、自分の書き込みも人の書き込みもよく読んだほうがいいよ
『2^β:1』は問題ないよ
『ででに深い意味があるのかと思ってよくよく考えたけど、どうやら誤字らしい、
そう気づくまでに時間がかかった』
そんな低レベルな皮肉を言いたかったんだよ、気づいてくれよ
それにもっと大きな突っ込み所があるだろ、なぜそっちを突っ込まないんだ

778 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 17:11:59
>>763
>>764
慎重な態度をとってるように見せて
出題ミスで済ませて思考放棄してしまうパターンが確立してきたよなw

779 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 17:57:38
思考放棄もなにも、
現実から乖離した思考実験になっている時点で、
元々の問題は単に条件の欠落した「問題として成立していない問題」だったことを
認めているようなものだから、
「ここから先は思考実験だが」と断りを入れて議論するならよし、
そうでなくそれが封筒の問題の本質であるかのように議論されているから
話がややこしくなる。

...と、あまり文脈をフォローせずに書いてみる。大体当たってると思うがw

780 :s5179:2010/04/16(金) 18:05:09
>>779
だいたい当たってると思う

781 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 20:10:30
いや>>763は「有限」と「有界」の区別がついてない時点で痛すぎるw

782 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 20:36:08
「総和が∞」を引く確率とか言ってる時点で何言ってんだかってとこだろ。


783 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 20:39:48
特に誤字のようには見えないんだが
漢字で書いたほうが意味が
意味がわかりやすかったかもしれないね。

> (定理 1) 封筒の金額の合計が β{β>0}とその倍の2βでは、2^β:1の比で出、低い方の金額が出やすい

いずれにしろ、定理と書いてある以上、それまでの仮定から導き出されるべき内容なのだから
この一行が書かれていなくても問題をとくには全く影響はないけど。

> 2^β:1の比でで

784 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 20:41:24
> 漢字で書いたほうが意味が 
> 意味がわかりやすかったかもしれないね。 

これはさすがに「意味が」のひとつ消し忘れ。

785 :s5179:2010/04/16(金) 23:00:27
正の実数は0の上界(まだ有界ではない)
から
(仮定e)その選んだ封筒を開けてみると、2円入っていた。
で有界になる

電波受信出来たかな?

ありがとう、考慮にいれるよ

786 :132人目の素数さん:2010/04/16(金) 23:59:21
ここのスレの議論も参考になるな。

無限の目を持つサイコロ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1039939141/

787 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 00:18:57
>>757の仮定dまでの場合で
金額の多いほうの封筒に入っている金額の期待値は?

788 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 00:20:06
>>762,763あたりを見ると、 連続分布がわかっていない模様。

789 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 00:21:36
>>785
> で有界になる 

そこは「有界になる」というよりは、事後確率(条件付き確率)の問題に変わるところ。

790 :240:2010/04/17(土) 00:45:42
そんな習慣初めて聞いた。まぁ、一般的というのが家の母親みたいなののことなら、そうかもしれんが。

791 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 00:59:05
>家の母親みたいなののことなら

言葉の使い方にやかましいわりには
自分は意味不明な言葉を吐くのな、こいつ

792 :240:2010/04/17(土) 01:07:38
えっ?だって>>774の「一般的」が何を指してるか分からないじゃん。

ところで、確率1/2の彼はいなくなったのかな?
だいぶ無意味な書きこみをしすぎたので、もう一度自分の主張をまとめさせてもらう。

>>603>>604>>606>>630>>631>>672
誰か、連続な場合について>>630の確率測度の不存在の証明を完成させてくれるとありがたいのだが。

793 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 01:44:53
連続分布でこの問題が成立するとでも思ってるのかよ
馬鹿しかいないのかこのスレはw

794 :240:2010/04/17(土) 01:50:07
成立しないことを証明しようとしてるんだよ。何なら賢い君が証明してくれ。

795 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 01:51:57
>>794
うそつけ馬鹿w

>誰か、連続な場合について>>630の確率測度の不存在の証明を完成させてくれるとありがたいのだが。

問題が成立すると思ってるからこその発言だろw

796 :240:2010/04/17(土) 02:01:02
君は、くだらない揚げ足ばかりとって、私の文章の数学的な中身は読んでいないようだね。
というか読んでも理解できないのかな?
それと、君がなぜ連続な場合について問題が成立しないと思っているか説明してくれ。
きっと説明できないんだろうな。何もせずに馬鹿馬鹿とののしるだけが君の能力なんだろ?

797 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:01:56
>家の母親みたいなののことなら

で、これはどういう意図の発言なんだ?

798 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:04:50
>>796
>私の文章の数学的な中身は読んでいないようだね。
ないものは読みようがないw

で?
>>630
>本当は入れられる金額は実数値とするべきである。
入れられる金額を実数値とするとどんな問題になるのかな?
書けるものなら書いてみればいい。
まともな数学の問題としてね。電波は不要だからw

799 :240:2010/04/17(土) 02:08:58
文字通りだよ。私や私の職場の人間にはそんな習慣ない。しかし、家の母親や姉や近所のガキならそうするかもしれん。
どこが意味不明なのか、私にはさっぱりわからん。

800 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:10:39
電波の振幅が増大して参りましたw

801 :240:2010/04/17(土) 02:14:35
>>798
問題は>>603そのまま。まぁ、実数値のコインや札は無いから、紙に実数を書いて入れる事になるが。

802 :240:2010/04/17(土) 02:16:22
反論なしにその手の書き込みを繰り返すのは、自分の馬鹿っぽさを強調するだけだよ。

803 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:19:25
>>801
全然ダメw

「お金」は自然数値しかないんだから実数の場合も同じでいいわけがない
紙に実数を書いて入れる?どうやって??

横着しないでちゃんとやれよw

804 :240:2010/04/17(土) 02:27:18
>紙に実数を書いて入れる?どうやって??
もちろんこれは簡単に出来るよ。
実際に今、紙にルート2って書いて封筒に入れたよ。

805 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:29:34
>>804
え?入れる数はルート2って決まってるの??
「実数」ってルート2だけ???w

806 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:34:38
まさかとは思ったが
やっぱり「実数」もわかってないらしいな電波君はw

807 :240:2010/04/17(土) 02:34:43
決まっていないよ。なんなら、ルート3を入れてみようか?
もちろん実数は非可算無限個あるよ。しかし、紙に書いて一つの封筒に入れるのは一つの実数だけだよ。

808 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:36:10
>>753
>という暗黙の了解による仮定があるから、1/3なの。
これと、封筒の中の高額低額では
暗黙の了承を持ち出していいかどうかの適切さが違うと思います。

モンティホールは「選ぶ側にとって」の確率を考えている問題ではないんですか?
特にヒントを与えられていないということは、
どの扉も他の扉より確率が高いという「情報がないから」
現在選ぶ側が持つ情報だけだと「等確率」になるということじゃないんでしょうか?
あるいは統計熱力学みたいに
ABCの扉の当たり確率がそれぞれ1/2・1/4・1/4等すべての確率分布を想定した場合にも
選ぶ側の情報からすれば
ABCが1/2・1/4・1/4、1/4・1/2・1/4、1/4・1/4・1/2という分布がそれぞれ同様に確からしいと見ることになるから
結局「分布が分からなくても、等確率として扱うことになる」んじゃないでしょうか。

>>240さんは
天下りに等確率としていい保証はない、したがって等確率と断定するのはおかしい。
ただし、等確率と言う仮定の下で導かれた結論は、その仮定の下では正しい
と言う態度でしょう、おそらく。
モンティホールでいえば
(特に言及なし)→求めることはできない
(等確率だとする)→3つの扉のモンティホールならば、扉を変えないときの当たり確率1/3
という区別を明確にしようとしてるんでしょうけど、

2つの封筒の場合
(特に言及なし)→求めることはできない …これに関しては興味ありません。ひっかかりの解消に何ら意味を持たないので。
(Aの封筒を選ぶ、Bの封筒を選ぶ がそれぞれ等確率とする) …このときどうなるかにしか関心はありません。
この「等確率」が指すものは何かと言うと、>>631でいえば
>対象性によりm=2nの場合のみ考える。
ここに相当することであって、
>もう一方がc円、4c円である確率はそれぞれ1/2なのだから
の1/2は別物だと思うんですが。

809 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:36:24
>>807
で?非可算無限個の実数の中からどうやってその一つの実数を選ぶのかな?

810 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:40:30
ひょっとすると
240は実数全部を記したリストを持っていて
その中から等確率で一つの実数を選ぶことができるのだろうか??


特殊な電波を受信したらできるようになるのかもなww

811 :240:2010/04/17(土) 02:41:59
それは要するに確率分布の質問してるんだろ?
その件は散々既出だろ。

「紙に実数を書いて封筒に入れることは可能」
反論あるなら不可能である理由を説明しろ。


812 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:44:04
>>779
2つの封筒問題もそうなんですか?

「2つの封筒にはお金が入っている。金額の比は1:2であることはわかっている」
「一方の封筒の金額を確認したら10000円だった」
もう一方の封筒の金額の期待値は?

というだけの条件が現実離れしているようには思えないのですが。

一つは確率分布が与えられていず、特定の確率分布をもってきて使っていい保証もない以上
求められないという考え方。これは慎重な態度だとは思いますが、そこで話が終わってしまって
こちらとして得るものはないので興味ありません。
モンティホールで、当たりが入っている確率を等確率と見るような「暗黙の了承」
ただし誤りのない仮定に限りますが、その元でどう計算できるのかということに興味があります。

813 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:46:19
>>809
おまいら>>786で予測してた通りに議論するなw。
ちなみに自然数が奇数のときに不都合のくだりは別に実数まで拡張しなくても有理数で十分なんだけどね。
でも今の場合問題なのは有界でないことなので
実数でも[0,20000]とか有限区間であれば議論できるだろ。

814 :240:2010/04/17(土) 02:46:37
だから、等確率なんて一言も言ってないだろ。
勝手に一様分布を仮定するなんて、
君は家の母親レベルの人だったのか。

815 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:47:43
>>811
で?非可算無限個の実数の中からどうやってその一つの実数を選ぶのかな?

答えられないのかね?w


とりあえず、君が知っている実数は今のところルート2とルート3の二つしかないようだがw
封筒に入っている可能性のある金額は

 (1/2)√2, √2, 2√2, (1/2)√3, √3, 2√3

この6通りということかな?
 

816 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:50:23
>>768

>>760>>766
封筒の中高額低額の確率が1/2にひっかかりを感じると言っている自分とは別人です

>>755
どれにも矛盾は感じません。
どれも金額の比1:2という束縛条件とは関係ないので。

817 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:51:20
>>813
>実数まで拡張しなくても有理数で十分なんだけどね。
しかし
>本当は入れられる金額は実数値とするべきである。>>630
とかいう電波君がいるもんでねw

>実数でも[0,20000]とか有限区間であれば議論できるだろ。
ほほう。
ではそれで問題を定式化してくれるかな?
電波君は逃げに入ったようだからw

818 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:51:23
>>240さん

アンカーをつけてくれませんか?
どれがどれに対するレスなのか全くわかりませんよ。

819 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 02:52:17
>>814
ほうほう、一様分布は仮定しないと。
ではどんな分布を仮定するのかね?

820 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:00:03
ところで、俺は「等確率」などと一言も言っていないのだが、
なぜ電波君は「勝手に一様分布を仮定するなんて>>814」とか言い出したのだろう?
↓を読んで「等確率」「一様分布」とかどっから出てくるのだろう??w


ひょっとすると
240は実数全部を記したリストを持っていて
その中から等確率で一つの実数を選ぶことができるのだろうか??

821 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:02:08
あれ、俺「等確率」って言ってるな(自爆)wwww

>>820は俺の電波炸裂だ
忘れてくれwww

822 :240:2010/04/17(土) 03:02:23
確率分布について何も情報が書かれていなけりゃ、仮定しようが無い。
君はなぜ一様分布を仮定するんだい?

823 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:05:45
>>822
だから条件をちゃんと書かないと数学の問題にならんだろw


何も情報がない?しかし実数ではあると??

ではあらゆる実数が入っている可能性があるのかな?

824 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:08:17
>s5179さん

>>722の続きはその後どうなりました?
>>677
上限のない自然数
確率分布は 自然数nの確率9*10^-nにした場合。

偏りがあって一様でなくなったときに>>677のどこが成り立たなくなるのか、あるいは成り立つのかとか
>>631で(*4)p(2c,c)=p(2c,4c)=p(8c,4c)=p(8c,16c)=p(32c,16c)=,,,,が成立する。が成立しなくなった場合に
>>631はどうなるかなどが気になります

825 :240:2010/04/17(土) 03:09:35
>>817
実数値といえば、値が有理数のみの場合も含むし、値が1のみの場合なども含む。
まぁ、君にとっての実数値は「全ての実数の値を等確率にとる」なんだろうけどね。

826 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:09:48
>>822
今回は答えてくれないんですか?
アンカーが無いと無視されてるのか返事されてるのかもわからないんですが。

827 :240:2010/04/17(土) 03:12:33
>>822
>だから条件をちゃんと書かないと数学の問題にならんだろw
だから、>>604を読め。

>君はなぜ一様分布を仮定するんだい?
に答えてくれ。

828 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:13:53
>>825
>君にとっての実数値は「全ての実数の値を等確率にとる」なんだろうけどね。
俺はそんなことはどこにも書いてないw
妄想はいいから、答えてくれないかな?

封筒にはあらゆる実数の値が入っている可能性がある

ということでいいのかな?
答えられないのかな??w

829 :240:2010/04/17(土) 03:16:05
>>826
君は確率1/2にひっかかりをかんじる人か?それなら名前を何かつけてくれ。

830 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:17:40
>>827
>>604?実数の場合の問題の定式化とは全然関係ないんだけどw

横着せずに実数の場合の問題をちゃんと書けよ
まともな数学の問題になるように。
電波不要だと言ってるだろw

>>君はなぜ一様分布を仮定するんだい?
>に答えてくれ。
俺は「一様分布を仮定する」などと言ったことはない。
幻覚でも見ているのか?ww

831 :240:2010/04/17(土) 03:26:58
>>828
>封筒にはあらゆる実数の値が入っている可能性がある
あまり言い文章じゃないなぁ。
正確には「確率変数の値が実数全体である。」ということ。

832 :240:2010/04/17(土) 03:29:56
>>830
>俺は「一様分布を仮定する」などと言ったことはない。
>>819はそのように言っているように見えるが。


833 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 03:31:27
>>826
これでいいですか?

>>240さん以外へのレスも含めると今回は
>>808>>812>>816>>818>>824>>826ですが

今までのアンカー無しのレスの中にこちらへのレスはありますか?

834 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:31:54
>>831
>正確には「確率変数の値が実数全体である。」ということ。
どこが正確なんだかw
ほんとにわかってなさそうだなw

「任意の実数値について、確率変数がその値をとる確率が正」

ということでいいかな?
例えば正規分布とか指数分布とか、所謂「連続確率分布」だと

835 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:33:59
>>832
>>819はそのように言っているように見えるが。
やっぱり常に電波を受信してる人は違うねw
「一様分布を仮定しないことはわかった。ではどんな分布を仮定するのだね?」と正常な人は読むんだよww

836 :240:2010/04/17(土) 03:38:08
>>833
丁寧なアンカーありがとう。
>>816について、
>A=100円、B=200円
の場合には金額の比が1:2なのだが。これにもひっかかりを感じないと言うことでOKなのか?

837 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:38:38
ここまできたら
そろそろ電波君も気付いたかな?
ダメかな?w

838 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 03:40:39
今晩は状況的に見てこっちまで解答が回ってこなさそうですね
s5179さんなどのレスも期待して去ります

839 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 03:42:35
>>836
レス来てましたね。すみません。

それは金額比1:2という束縛条件からきた結果ではないように思います。
たまたま形の上で金額比1:2にもあてはまるだけでしょう。


840 :240:2010/04/17(土) 03:47:39
>>835
君は>>810とは別人か?
君も名前をつけてくれ。
>>810は等確率(一様分布)を仮定してるじゃん。

一様分布を仮定していなけりゃ、
「紙に実数を書いて封筒に入れることは可能」
だよね?OK?

841 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:52:10
>>840
>>810は等確率(一様分布)を仮定してるじゃん。
やっぱり常に電波を受信してる人は違うねw
>>810


ひょっとすると
240は実数全部を記したリストを持っていて
その中から等確率で一つの実数を選ぶことができるのだろうか??
特殊な電波を受信したらできるようになるのかもなww
特殊な電波でも受信しない限り無理だよなあwwww


と、正常な人は読むんだよw

842 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 03:54:22
>>840
>一様分布を仮定していなけりゃ、
>「紙に実数を書いて封筒に入れることは可能」

じゃあ例えば正規分布を仮定すれば可能だと?
具体的にどうやって紙に書く実数を一つ選ぶの?
君は実数全部を記したリストでも持っているのかな?w

843 :240:2010/04/17(土) 03:57:16
>>839
Aに200円、Bに400円を入れる。高額を選ぶ確立を1/2と仮定する。
にはひっかかり感じる?
(A,B)に1/2の確率で(100円、200円)を入れ1/2の確率で(200円、400円)を入れる。
高額を選ぶ確率を1/2と仮定する。
には引っかかりをかんじる?

844 :s5179:2010/04/17(土) 04:03:59
眠れないので起きました

自分の主張が変わったので書き込みます

『2つの封筒問題は一方の封筒を見た段階でそれが低額か高額かが分からなければ解けない』

例えば>>1の問題で分布が一様な場合、下限5000円以下かつ上限20,000円以上であれば、
引いた方がよいかどうかは分かりません。
0円超30,000円以下の場合などもそれに該当するの他方の封筒を引いても得かどうかは分からない
下限0で上限無しとする場合、2つの封筒問題は他方の封筒を引いても得かどうかは分からない

>>757
(問題1)選んだ封筒が金額の低いほうである確率は? 

(1、2)の封筒組を引く確率:(2、4)の封筒組を引く確率=8:1
(1、2)もしくは(2、4)の封筒組を選んで2を引く確率1/2
(2、4)の封筒組で2を引く確率 1/2

『金額が低い方である確率』なので(2.、4)の封筒組に絞ってから 2を引かなければならない

答え 1/2










845 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 04:06:59
>Aに200円、Bに400円を入れる。高額を選ぶ確立を1/2と仮定する。
これは大丈夫です


>(A,B)に1/2の確率で(100円、200円)を入れ1/2の確率で(200円、400円)を入れる。
>高額を選ぶ確率を1/2と仮定する。

(100,200)の組である確率と(200,400)の組である確率が1/2ずつと保証されているわけですね。
(100,200)の200と(200,400)の200は完全に別ものだと。
だとすれば、高額、つまり(100,200)のうちの200または(200,400)のうちの400である確率が
1/2と仮定するのはひっかかりはありません。

846 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 04:10:33
>>844
>『2つの封筒問題は一方の封筒を見た段階でそれが低額か高額かが分からなければ解けない』
これは問題が問題でなくなってしまった状態ではないですか?

一方を確認して10000円だったとき
それが低額だと分かるならもう一方は20000円に決まってしまうじゃないですか。

それとも、期待値や確率を論じる必要のないこの状態まで持ってくれば
確定してしまっているが故にはっきりしたことが言えるけど、
それより情報が少ない状態では確率や期待値を考えることも無理、ということですか?

847 :240:2010/04/17(土) 04:11:15
>>841
「240はひょっとすると一つの実数を選ぶことが出来るのだろうか?」
なら良いけど、
「の中から等確率で一つの実数を選ぶことができるのだろうか??」
というように勝手に等確率(一様分布)を仮定してるじゃん。



848 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:13:42
>>841
240は等確率とは言っていないのに、810は「240は等確率に選ぶ」と言っている。
そのような場合、等確率を仮定したのは、240ではなくて810だと読むのが正常。

そうでなければ、 以下の論が認められてしまう。

俺が 「 841は自分が馬鹿だとわかっているのかな? 」 と言っただけで
841 は 自分が馬鹿だと 思っていることになる。

正常な判断なら 、 この場合は、841が馬鹿だと思っているのは 841ではなく 俺。

849 :s5179:2010/04/17(土) 04:14:27
>>845

ういー
初めに引いた封筒が低額である確率が1/2を上回れば引いた方がよいと言えます
なので確率は必要ですし、期待値もその確率に従って算出する事が可能です。

850 :s5179:2010/04/17(土) 04:17:33
>>846

ういー
初めに引いた封筒が低額である確率が1/2を上回れば引いた方がよいと言えます
なので確率は必要ですし、期待値もその確率に従って算出する事が可能です。

大事なことなのでアンカーミスを直し再書き込み

851 :s5179:2010/04/17(土) 04:23:27
低額、高額の2つの封筒があり
無作為に選べば低額、高額それぞれ1/2の確率になると思います。

思いませんか?みなさん

852 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:24:51
あらら電波君逃げちゃったなw
ついに自分の馬鹿っぷりに気付いたかな?
ここまできたらそりゃそうかww
もう飽きてきたし、電波君に宿題を出して寝るとしよう


(電波君への宿題)
確率変数XとYはY=2Xという関係を満たしている。
さらに、X+Yは標準正規分布に従うものとする。このとき、

  X=10000 または Y=10000

となる確率を求めよ。


電波を受信せずに解いてくれ。できるかな?w

853 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:26:31
>>848
どうでもいいけど、

「848は電波君が確率論に造詣が深いとでも言うのだろうか??電波君本人でもなけりゃありえないよなあ」

こう発言したとしても「電波君は確率論に造詣が深い」と仮定したことにはならないよ、電波君ww

854 :240:2010/04/17(土) 04:26:30
>>848
そういう第三者の意見は助かるよ。たとえ私の方に批判的であったとしてもね。

855 :s5179:2010/04/17(土) 04:27:31
という事は>>1の問題は期待値10,000円で解決ですね

めでたし、めでたし

                                            糸冬
                                       ---------------
                                        制作・著作  数学板




856 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:28:35
>>844
それは 「封筒が(2,4)の組であった場合に、金額の低いほうの封筒を引く確率」
問題は「引いた封筒が2円であった場合に、その封筒が金額の低いほうである確率」

857 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:28:55
>>854
電波君、電波君、>>842への回答はどうしたの?
噛み付けそうなとこにだけ必死に拘ってもダメだよw


一様分布じゃないんでしょ?で?正規分布だったら?

858 :s5179:2010/04/17(土) 04:34:21
>>>856

(1、2)の封筒組を引く確率?

全事象は?全事象は書いてある?

859 :s5179:2010/04/17(土) 04:39:39
>>855

駄目じゃん俺、金額比が1:3だったら期待値15,000円になるじゃん

続行


860 :240:2010/04/17(土) 04:40:37
>>853
君の「等確率」の書き込みのせいで、いったいどれだけのレスと時間を無駄にしたと思っているんだ。
もし君が議論を続けたいなら、自分の書き込みの非は認めるべきではないか。
もしろん、それが君の主張自体の誤りを意味する訳ではないのだから。

それと、なぜ正規分布なんだ?
極端な例で言えば、R上の確率測度\mu(x)でx=1のみにサポートを持つ。
これにしたがって実数(と言っても1だけど)を紙に書いて入れることは可能。

861 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:40:41
>>790
それはいいところに住んでいるな。   
オレの住んでいる国では、 たとえば高校入試の問題などでも
断りもなく、コインの裏表は1/2の等確率で出ることになっているし
サイコロは1〜6がやはり等確率で出ることになっている。
オレ自身も、確率分布について断り書きのない問題は、一律に評価することはできず
なにか分布を独自に仮定して解くしかないと考えてはいるのだが
いかんせん、世間はそうなっていない。 
そういえば、 数列の 次の項を予測する問題なども、 それがどんな数列なのか断りもないのに
(2,4,6,8、x、12) ときたらxは10であると強要されたりもしたよ。
おそらくオレの住んでいる国は、数学にあまり厳密でない国民性なのだろう。



862 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:45:30
>>852
これで問題が成立していると思ってるのだろうか…ヤレヤレ

863 :240:2010/04/17(土) 04:48:09
>>845
おそらく以下の場合もひっかからないんだよね?
確率aで(100,200)の組をいれ、確率bで(300,400)の組をいれ、確率cで(700,1400)の組をいれ、、、と入れる。
このとき高額を選ぶ確率を1/2とする。

では、君が引っかかる場合というのはどんなときなんだろう?

864 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 04:48:18
>>850
では
『それが低額か高額かが分からなければ解けない』は間違いで
『それが低額、高額である確率がそれぞれ分からなければ解けない』
ということですね

>>851
それは以前から同意しています。
無作為、ランダムのところで慎重になる必要があるのかもしれませんが。
>>621へも回答した通り、4つのうち下の2つはそれぞれ1/2でいいと思います

それと>>824たのみますよ

865 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:49:13
>>860
ん?電波君がなぜか「等確率」に必死に拘っているからではないかね?
>>819で君が一様分布は仮定しないことは認めてやっているだろう??


で、いい加減逃げるのはやめてくれないか。>>842への回答は?

正規分布を仮定したとしたら、一つの実数を選んで紙に書くことができるのかね?

Dirac measureだとしたら可能なんだね?
当然だろう。
しかし連続分布じゃないものを今持ち出すのはやめてくれないかw

正規分布なら可能なのかね?Yes or No?



あと、>>852は解けないのかね?w

866 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:51:11
>>851
もちろんそう考えていいと思います。

ただし、その封筒をあけて金額を確かめてしまったら、そういうわけには行きません。
>>757の問題では、 金額を確かめてしまっているので、 そういうわけには行かなくなったのです。

わかりやすい例で説明しましょう。 
一方の封筒には、 10円、もう一方には20円入っています。
どちらかを無作為に選んだ場合、金額の低いほうを選んでいる確率は1/2です。

しかし、空けて中身を確かめてしまったら、1/2ではありません。 
金額の低いほうを選んでいる確率は0か、1のどちらかになってしまいます。
(決定してしまっていることを確率というのは気持ち悪いかもしれませんが)

867 :s5179:2010/04/17(土) 04:54:51
>>856

>引いた封筒が2円であった場合に、

封筒組は(1、2)(2、4)に絞られて

>その封筒が金額の低いほうである確率

(1、2)の2は金額の高いほうの封筒だから
(2、4)の封筒組を選ぶ確率か

答え 8/9 であってたのか

で?

868 :240:2010/04/17(土) 04:56:49
>>861
もちろん、「コイン」や「サイコロ」などの特定の単語については、暗黙の了解があるのは私も知っている。
(うちの大学の入試問題はおそらく注意書きがあったと思うけど。)
私が、そんな習慣知らないと言っているのは、一般的な場合。
例えば、全事象は事象Aと事象Bの和です。事象Aが起こる確率は?という場合。
答えは「分からない」であって「1/2」ではない。というのが私の習慣。

869 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 04:56:59
>>865
申し訳ないが確率変数が10000になるような数学にはあまり興味がない。
できたら確率変数pは 0≦p≦1 になるような普通の数学の話題をやってくれないか。


870 :s5179:2010/04/17(土) 04:58:54
>>864

分からないです。
ごめんね

871 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:03:33
>>867
その答と>>866と合わせて読めば、 
無作為に選んだ状態では等確率だったものが、他の情報が示されれば
等確率ではなくなることがあることが納得が行くかと。

さらに>>757の問題は正の実数全体が範囲。 
実際に構成可能な分布がある場合は、金額の上限を設定などなくても
確率は計算できるし、問題として成立するということ。

872 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:03:58
>>869
こちらこそ申し訳ない。

>できたら確率変数pは0≦p≦1になるような普通の数学の話題をやってくれないか。

さすがにこれほどの電波発言をされると、俺にはなすすべがないw
超弩級の電波2匹が相手となると、もう退散するしかないな。


おやすみ、電波達ww


>>852やっとけよ>電波1号

873 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:05:51
>>621
>『金額が1:∞である2つの封筒』

これは封筒に入っている金額が実数ではなくなってしまっているのでちょっと問題外かな。

874 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 05:07:21
>>863

どうも>>240さんは回答として必要な内容以上に補足している部分から
その補足の意図を読み取ってくれないことが多いようですが、
>>845
>(100,200)の組である確率と(200,400)の組である確率が1/2ずつと保証されているわけですね。
>(100,200)の200と(200,400)の200は完全に別ものだと。
この文を添えたことから伝わると思ったのですが。

200の重なりのところから何か影響が出そうに思います
それと、特定の組から高額・低額を選ぶのは1/2という方はまずいいとして、
そこに組同士がまた1/2というのは、これはまた別の変数と言うか自由度だと思います。
ただ、この点は>>863では等確率とせずa,b,cとしてあるので、そこにかんしてはいいと思います

(300,400)はおそらくミスで(200,400)か(300,600)なのだと思いますが
これはまた一つのきっかけになりそうな気がします
1:2でないものが混じる場合は重なっても束縛度がかわってきそうな

875 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 05:11:25
>>870
どれが分からないのですか?

>>870の3件とも投げっぱなしに見えますが。

それでは>>677などは何だったんですか

876 :s5179:2010/04/17(土) 05:11:56
(1.2)の封筒を選ぶ確率 8/9・・・@
@かつ1を選ぶ確率 8/18  (a)
@かつ2を選ぶ確率 8/18 (b)

(2,4)の封筒を選ぶ確率 1/9・・・A
Aかつ2を選ぶ確率 1/18 (c)
Aかつ4を選ぶ確率 1/18 (d)

で@Aを採用するんだったら全事象は(a)+(b)+(c)+(d)でしょ
期待値は 30/18 だね

(b)と(c)だけで期待値って出せるの?





877 :240:2010/04/17(土) 05:16:16
すまんが>>834を見逃していた。
>「任意の実数値について、確率変数がその値をとる確率が正」
>ということでいいかな?
良くない。私の主張は
「実数を一つ選んで紙に書くことは可能」

君はおそらく>>834のような確率測度\mu(x)にたいして、
一点の測度が0になることを問題視しているんだろ?
そうならそうと早く言ってくれれば良かったのに、、、
その件ならはるか上の方で指摘されているよ。


878 :s5179:2010/04/17(土) 05:21:08
>>875

>>677は240さんから問題点を指摘されたので鋭意改稿中です

果報は寝て待て!!

879 :ヒッカカリ:2010/04/17(土) 05:26:53
>>878
はい。わかりました

あと>>864の上の2つは?

880 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:27:42
>>852
そんなん計算させて何が楽しいんだ?
(e^(-30000^2/2)+e^(-15000^2/2)) / 2π

まあ、ほとんど0だな。 

881 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:40:55
つーか、封筒の中身は
正の実数(でなきゃ自然数)ってことなんだから
標準正分布にはなりようがないわな。

882 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:49:17
 

883 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:49:45
>>868
> 例えば、全事象は事象Aと事象Bの和です。事象Aが起こる確率は?という場合。 
> 答えは「分からない」であって「1/2」ではない。というのが私の習慣。 

やっぱりいい環境に住んでると思うよ。
こちらでは わからなければとりあえず1/2だ。
分からないからと、ほっておくわけにはいかないこともよくあるからね。
そして通常それでおかしなことになるようなことはない。
 
# なにしろわかんないんだから、おかしくなりようがない
# おかしいことになるってことは、それがおかしいってわかっているからだよ。

この話をすると、 それじゃ明日人類が滅亡する確率は「する/しない」の2事象だから1/2か?
と反論されることがよくあるんだが、 それは反論にはならない。
これまでの長い経験上、それが1/2でないということは知っている(わかっている)からね。
1/2にするのはまさに「わからない」ことだけなんだ。

884 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 05:49:59
 

885 :s5179:2010/04/17(土) 06:53:30
>879
>それが低額、高額である確率がそれぞれ分からなければ解けない

2つの封筒があれば、低額の封筒を引く確率+高額の封筒を引く確率=1です。
よって高額の封筒を引く確率は自ずと分かります。

封筒の合計金額は2つの封筒から低額の封筒を引く確率と高額の封筒を引く確率とは無関係です。
封筒の金額の比率も2つの封筒から低額の封筒を引く確率と高額の封筒を引く確率とは無関係です。
2つの封筒の中身が決まった後に、
2つの封筒から低額の封筒を引く確率と高額の封筒を引く確率の特殊な変動があるのでしょうか?

値を確認する前に2つの封筒の合計金額と比率は決まっています。
確認してから、それぞれ他方の封筒の金額や比率が決まるわけではありません

>>757の問題
のように見かけ上は低い封筒の確率1/9高い封筒の確率8/9になることはありますが
この場合でも合計金額の低い封筒組、高い封筒組どちらも
初めに低額の封筒を引く確率は1/2です。




886 :s5179:2010/04/17(土) 07:05:31
ヒッカカリさんて
>>1の問題が取り得る値が自然数で各値の確率分布が一様、上限が20,000円の場合解けます?



887 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 07:09:58
>>885
> 値を確認する前に2つの封筒の合計金額と比率は決まっています。 
> 確認してから、それぞれ他方の封筒の金額や比率が決まるわけではありません 

視点を混同してはいけない。
封筒を引いた人にとっては確認しないと決まらない。

>>757の問題 
> のように見かけ上は低い封筒の確率1/9高い封筒の確率8/9になることはありますが 

見かけ上ではなく、その問題の場合は実際にその確率。

> 初めに低額の封筒を引く確率は1/2です。 

これは間違いではないが、 金額を確認したら1/2ではなくなる。

888 :s5179:2010/04/17(土) 07:14:50
886の設問は
封筒組が
(1,2) (2,4) (3,6) (4,8)・・・・・・・・・・(9999、19998) (10000,20000)
で各封筒組が等確率で選ばれるとします。

初めに引いた封筒が10,000円だったら他方を選びます?


889 :s5179:2010/04/17(土) 07:19:15
>>887
ほんと?
引いたけど確認する前は1/2で数字をみると確率が変るの?
もしかして計算の元になる事象が変ってない?
モンティーホールの問題は、つまり事後条件付き確率の問題においても
元になる事象は変わってないよ

890 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 09:01:41
>>888
(5000,10000), (10000,20000)がそれぞれ1/10000の確率で選ばれる。
初めに引いたのが10000なのだから他方は1/2で5000、1/2で20000だ。
1回の試行で選ぶかどうかは条件が足らんから好きに汁。
10000より小さかったら氏ねという条件が付与されたら他方を選ばないだろ。

もちろん封筒の数が無限個の場合は自明でなくなる。



>>240は実数全部を記したリストを持っていて
>>その中から等確率で一つの実数を選ぶことができるのだろうか??
通常、どう選ぶかの実現は数学の範疇ではない。
神のような人(オラクルさん)がいて
実数一つくれっていったら一つ出してくれると考える。

実数全体の一様乱数はありえないかもしれないが
それは外の人にとっては関係ないこと。
2乗して-1になる数の存在を認めることと似たようなもの。

891 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 14:53:51
>>890
> 実数一つくれっていったら一つ出してくれると考える。
有理数ならそれほど問題ないが実数だとそう簡単にはいかんよ

892 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 15:39:10
期待値と損得は関係ないのですが。
確実に1億円もらえるのに、5000万か2億かの博打ファンドに手を出すのは理解できません。

893 :s5179:2010/04/17(土) 22:37:14
>>890
激しく正解

でも>>888みたいな分布(自然数)で上限が無い場合、
他方の封筒を引かない(初めに奇数を引いた時は他方を引く)のが賢い選択なんだ
理由は、初めに偶数を引いた時、他方の封筒を引くと奇数(低額の封筒)を選択する可能性が上がるから
(1、2)(2,4)(3,6)と各封筒組を順番に他方を引かない場合と引く場合を余さず試行すれば分る
今日やってみてびっくりした
みんな知ってた?

愚直に数え上げるの簡単でいいわー

実数で上限の無い場合は分布の偏りに関係なくどんな選択しても変らなかった
いろいろ考えるのが無駄だとわかった

上限がある場合は他方の封筒を選んだ方がいい場合が多い(問題による)

もちろん2つの封筒があってその内の低額、高額の封筒を等確率で引く場合です
4つの封筒もしくは2つの封筒組問題の話じゃないよ

2つの封筒組問題として捉える人が多くて困っちゃうよね

と、電波を垂れ流す・・・・


894 :s5179:2010/04/17(土) 23:30:06
でも条件付確率の問題として2つの封筒問題を解く人の気持ちも分るんだけどね
実際に使えそうだし、論理は破綻していないように思う
どっちが正しいのだろう?

895 :s5179:2010/04/18(日) 06:47:44
現実世界では
上限はありませんなんて言われたら100%嘘で、それを信じて引くと馬鹿をみる
嘘でない上限金額を言われたら引いた方がよくて
嘘の上限金額を言われたら・・・実際の上限金額との多寡がポイントか

下限はみんな興味ないよね

896 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 19:08:50
ほらひぐらしでやってたやつだよ

梨花がレナから手をひとつ選んだらアメが1つあって喜んでたけれど
もう片方の手にはアメが2つあったっていう

897 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 20:02:07
>>895
普通マイナスは無く、「金が入ってます」がウソである可能性を含めてもせいぜい0だろう
整数値にも限られるし。実際にとりうる上限金額の可能性などを問題にするような
ペテルスブルクの方向では2つの封筒問題を扱いたいとは思わないな

898 :s5179:2010/04/18(日) 21:08:38
>>897
マイナスの事を言っているのではありません
ヒントを与えたつもりなのですが・・・

やはり期待値は振動しているみたいです

899 :s5179:2010/04/18(日) 22:20:29
>>897
上限が変らずに下限が上がると不思議なことに封筒を交換するプレイヤーが得をする場合が減ります

2つの封筒問題はユニークです、ペテルスブルクともモンティーホールとも似ていません

今までのレスを読み返していますが240さんは本当に大人だなと思う
答えが怪しい、問い掛けには一切答えていない。
ほとんど間違った事を言っていない
確実に正しいと思うことのみ主張してる

まあ、>>1の問題は相変わらず条件不足で解けない問題なんですが
理解は出来た

>>1の問題において
5000円(1/2倍)を引く確率1/2 (5000円損)
20000円(2倍)を引く確率1/2 (10000円得)
期待値12500(期待値1.25倍)と言うならば
10000円のことを
5000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(2倍) (5000円損)
20000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(1/2倍)  (10000円損)
期待値10000円(期待値1.25倍)
と言える。

分り難いが分る人には期待値1.25倍のパラドクスを解く鍵になると思う。




900 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 14:29:04
>>889
> もしかして計算の元になる事象が変ってない? 

「事象が変わっている」と言うのなら、どこが変わっているのかを具体的に。
でないと変わってい「ない」ことを説明するのは非常に大変だ。

それとも「変わっているような気がするけど、わからない。」というレベルの話なの?


901 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 14:34:03
>>891
たとえば、針の角度が測定可能な仮想ルーレットを仮定すれば
それを元に任意の実数に拡張することは容易。
しかし、もしかして針の角度を測定する方法の存在について語りたいなら
ここではスレ違い(というか板違い)だろう。


902 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 14:37:05
>>890
> 実数全体の一様乱数はありえないかもしれないが 
> それは外の人にとっては関係ないこと。 
> 2乗して-1になる数の存在を認めることと似たようなもの。 

それはさすがに違う。  前者は数学的矛盾を含むが、 後者は含まない。


903 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 14:40:52
>>893
> 初めに偶数を引いた時、他方の封筒を引くと奇数(低額の封筒)を選択する可能性が上がるから 

何に比べて上がるのか? 

904 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 14:58:21
>>899
> 5000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(2倍) (5000円損) 
> 20000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(1/2倍)  (10000円損) 
> 期待値10000円(期待値1.25倍) 

期待値は、このような計算は可能ではないでしょう。
期待値とは、それぞれの事象が起こる確率と得られる金額の積の総和です。


> 期待値1.25倍のパラドクス

いったい何をもって期待値1.25倍のパラドクスだと言っているのですか?



905 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 17:58:29
>>901
解ってないな
単に連続確率分布を作りたいだけならルーレットなど持ち出さなくても
可積分な非負値関数を一つ決めれば済むこと。
しかし連続だと一点の確率は必ず0になる。
すべての実数xについてそのxを選ぶ確率が0なのに、「実数を一つ選ぶ」とは数学的にどう定式化するのか。

906 :s5179:2010/04/19(月) 19:06:35
分からない人って本当に分からないんだねー

>>900
元の期待値は(X、2X)です。 期待値は3/2X
(10000、20000)の封筒組であれば、期待値15000円
1/2の確率で10000円を先に引く交換すると必ず20000円
1/2の確率で20000円を先に引く交換すると必ず10000円
これを
確率1/2で10000円を先に引いた時、勝手に5000円の封筒が存在することにするして
5000円を引く確率1/2、20000円を引く確率1/2で期待値12500円  ( 5000円の事象が増えている )
確率1/2で20000円を先に引いた時、勝手に20000円の封筒が存在することにして
10000円を引く確率1/2、40000円を引く確率1/2で期待値25000円 (40000円の事象が増えている)
この引くはずの無い、5000円と40000円では40000円の方が
封筒を交換した事によって得られる金額(期待値)に及ぼす影響が大きいので、
他方の封筒を引いた方が得にみえます
増えてる事象は(10000、20000)に対して (5000、10000) (20000、40000)です。

>>903
他方の封筒を引かない場合に比べて、奇数(低額の封筒)を選択する可能性が上がる。
交換しないプレイヤーは絶対交換しないのではなく、初めに奇数を引いた時、交換する、
て言っても分からないか・・・

>>904
>>1の問題において10000円を引いた後に
5000円(1/2倍)を引く確率1/2 (5000円損) 20000円(2倍)を引く確率1/2 (10000円得) 期待値12500(期待値1.25倍)
【【と言うならば】】 ←ここ重要、言わないって宣言してるの分かる?







907 :s5179:2010/04/19(月) 19:11:27
>>906
【元の期待値は(X、2X)です】は誤り
元の事象は(X、2X)です。Xを引く確率1/2 2Xを引く確率1/2だから損得不明なんでしょ?
Xを引く確率が3/4になるんだったら他方の封筒を引いた方がよい
でも(X、2X)の封筒組からXだけ引く確率上げられるの?
どんなマジックハンドだよ


908 :s5179:2010/04/19(月) 19:14:50
>>907
初めにXを引く確率・・・です。

察しが悪いし、文盲ばっかだから疲れる

まあ、そんな察しの悪いみんなより俺っち低学歴
社長だけど・・・と捨て台詞

909 :s5179:2010/04/19(月) 19:16:09
でも、勝てる土俵は楽しいな〜
どんどんこーい

910 :s5179:2010/04/19(月) 19:18:54
>>906
誤 勝手に20000円の封筒が存在することにして
正 勝手に40000円の封筒が存在することにして

突っ込ませんよ!!先にセルフ突っ込みだ!!

911 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 19:49:38
キチガイは楽しそうでいいな

912 :s5179:2010/04/19(月) 19:54:12
>>911
ああ、楽しいさ
期待値1.25倍のパラドックスも理解出来たから、もう迷わんよ
でも、色んな解法に影響されてコロコロ解き方を替えたからこそ分ったんだよ
1つの解法しか頭に無い、他の解法を試しもしない人間には一生理解出来ない問題だと思うよ

913 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 21:51:12
>>905
まず点でなく区間で考える。
例えば0〜1、1〜2、2〜3…のように区切ると
実数の区間列は自然数と一対一対応する。
こうすれば連続無限と可算無限のギャップが埋まる。



914 :132人目の素数さん:2010/04/19(月) 22:06:31
>>905
関数fが確率変数Xの確率密度関数である時の
X∈(a,b)である確率P(a<X<b)=∫[a,b]f(x)dxを口語的に
"(-∞,∞)から1つの実数Xを取ってきた時にa<X<bとなる確率"と
言ってるだけじゃないの?

915 :s5179:2010/04/20(火) 07:48:03
ヒッカカリさんのひっかかりは解消されたのだろうか?

>>757
のような偏りのある場合においても損得不明です。
説明出来ます。
反論や分からない人はどうぞ

916 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 20:39:51
>>915
> のような偏りのある場合においても損得不明です。 

これは、期待値が決定できないということ?
それとも自分にはわからないので計算できていないということ?

917 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 20:45:17
>>906
> > 初めに偶数を引いた時、他方の封筒を引くと奇数(低額の封筒)を選択する可能性が

> 他方の封筒を引かない場合に比べて、奇数(低額の封筒)を選択する可能性が上がる。 


そりゃ、始めに偶数を引いていることが前提なのだから

・他の封筒を引かない場合は、奇数である可能性は0 (既に偶数であることが決定)
・他を引く場合、最初の偶数が4n+2の場合で、かつそれが大きいほうだったときには
 交換した後の封筒は奇数である。 それ以外では偶数である。

最初に奇数である確率は0なのだから、交換すれば奇数を選択する可能性が上がるのは自明なことでは?

918 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 20:47:41
>>907-908 あたりは 自問自答なのですか?
それともs5179を名乗る人は複数いるのですか?

919 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 20:57:52
>>906
> 元の期待値は(X、2X)です。 期待値は3/2X 
  中略
> 増えてる事象は(10000、20000)に対して (5000、10000) (20000、40000)です。 

なにがいいたいのかよくわからないが、
それは、封筒に入っている金額の話ではないのか?

>>885 >>887 >>889 をとおして
>  初めに低額の封筒を引く確率は1/2です。   >>885
>  金額を確認したら1/2ではなくなる。  >>887
> 引いたけど確認する前は1/2で数字をみると確率が変るの?  >>889

とあるように、 初めに低額の封筒を引く確率についての話をしている。 
封筒に入っている金額の期待値の話ではない。


920 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 21:03:17
> 【【と言うならば】】 ←ここ重要、言わないって宣言してるの分かる? 

計算があっているかどうかは別として
期待値とは前者のような計算が可能なものであるが
後者のような計算はできない と主張しているのだが、それはわからない?


> 5000円(1/2倍)を引く確率1/2 (5000円損) 
> 20000円(2倍)を引く確率1/2 (10000円得) 
> 期待値12500(期待値1.25倍)と言うならば 
> 10000円のことを 
> 5000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(2倍) (5000円損) 
> 20000円を引いた後、確率1/2で引く10000円(1/2倍)  (10000円損) 
> 期待値10000円(期待値1.25倍) 
> と言える。 


921 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 21:05:39
>>905
言葉のあやの話がしたいのなら、もったいぶったことを言わず
最初からそのように言っておけば解って貰えただろうに。

922 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 21:11:07
まあこの問題を実数で考えられると思う奴はセンスなさ過ぎだな。

923 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 22:37:12
結論が別の袋を選ぶ、になる時点でおかしいだろ
変えなくていいようになる方法を考えろ

924 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 00:24:27
試行できないことのパラドックスなんて錯覚以外の何者でもないだろう。
それだけのことなのに、おまいら暇人だなw

925 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 00:57:03
まあこの問題を実数で考えられないと思う奴は馬鹿過ぎだな。

926 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:09:49
実数にするなんて簡単だろ。

確率変数X,Yは連続確率分布でP(X=a,Y=2a)=P(X=2a,Y=a)が任意の実数aで成り立つとする。
このとき条件付き期待値E(Y|X=10000)を求めよ。

これが金額実数の場合の定式化。
誰か解いてくれ。

927 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:14:52
完全に話が元に戻ってるなwww
延々と無限ループしてろ

928 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:20:36
>>926
>確率変数X,Yは連続確率分布でP(X=a,Y=2a)=P(X=2a,Y=a)が任意の実数aで成り立つとする。

そりゃ成り立つだろ(爆笑ww

929 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:40:55
>>928
何がおかしい?
成り立つと仮定する問題なんだが。

930 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:45:56
>>929
可愛い奴www

931 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 02:25:13
実数も確率も根本的にわかってないんだろうな。
確率0の事象の上で何を議論するつもりなんだかw

932 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 02:39:41
>>926は別におかしくないだろ。
煽ってる奴らが馬鹿過ぎ。

933 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 02:56:43
>>929が自力で気づくのは無理みたいだから教えてやるか。

まず、
 P(X=a,Y=2a)=P(X=2a,Y=a)
のP(A)が事象Aの起こる確率を表すつもりなら、
連続確率分布である以上両辺とも明らかに0なので、等号が成立するのは当たりまえ。

もし、X,Y∈Rでの広義積分∫∫f(X,Y)dXdY=1を満たす確率密度関数f(X,Y)を考えて
f(a,2a)=f(2a,a)
ということを言いたいのであれば、
f(X,Y)がX,Yについて対称に定義されているだけで必ず成立する。

あえて言うなら

広義積分∫f(A)dA=1を満たす確率密度関数f(A)を満たす確率変数Aと、
Aとは独立に1/2ずつの確率で0,1の値をとる確率変数Bを考え、
確率変数X,Yは
B=0のとき(X,Y)=(A,2A)
B=1のとき(X,Y)=(2A,A)
となるものとするとき、
P[B=0]*f(a)=P[B=1]*f(a/2)が任意の実数aについて成り立つという条件のもと
E[Y|X=10000]を求める

ぐらいか。これでようやく議論が初期の病んだ状態まで戻せるw

で、通常の実関数で上記条件を満たすようなf(A)は存在しないので、
それは不可能な仮定で、そもそも問題文からも読み取れないそのようなモデルを
無理やり設定したのが間違いという常識的な連中と、
そのモデルに固執し、超準解析の世界で強引にf(A)を考えたらどうなるか
という思考実験をしたがる連中が、前提の違う不毛な言い合いをする、というのが
このスレの趣旨なのだが、その構造すら理解できない連中がほとんどなので
ただのカオスと化している←いまここ

934 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 04:19:44
> そのモデルに固執し、超準解析の世界で強引にf(A)を考えたらどうなるか 
> という思考実験をしたがる連中が、前提の違う不毛な言い合いをする、というのが 

どうもそのモデルに固執してないのがいるから、そうでないのと話が食い違ってるんだと思うが。

935 :s5179:2010/04/22(木) 05:57:24
>>916
>期待値が決定できないということ?
って受け取ってよ

>>917
もちろん自明です。
1度封筒の中が自然数の場合で(1、2)から順番に試行して見て下さい
そうすれば偶数値の封筒を先に引いた場合は交換しない戦術が有利なのがわかるはずです

>>920
2つの封筒問題の期待値の計算の仕方は
目の前にある2つの封筒(A、2A)に対して
必ず交換する場合は
期待値=(2A×初めにAを引く確率)+(A×初めに2Aを引く確率)です。
初めにAと2Aを引く確率は背反なので
【期待値=A+A×初めにAを引く確率】でも表せます。
初めにAを引く確率が0.6ならば期待値は1.6Aです。
しかし目の前に(A、2A)の封筒組があり、中身が分からないのであれば
一般的にAを初めに引く確率は1/2です、なので期待値は3/2.

厳密に問題を記述するならば
金額比は1:2、
初めに金額比1(低額)の封筒と金額比2(高額)の封筒を選ぶ確率は等確率・・・@
と書けばよい

因みに@が初めに低額封筒を選ぶ確率11/20高額封筒を選ぶ確率9/20であった場合でも
1つの封筒を確認した段階では他方の封筒の期待値は不明です
しかし他方の封筒を選択した方がよいことは分かります




936 :s5179:2010/04/22(木) 06:32:06
>>757の問題は

(仮定c)ふたつの封筒のうちどちらか一方を等確率に選ぶと、その選んだ封筒が低いほうの金額である確率は1/2である。
と書いてあるので

(問題1)選んだ封筒が金額の低いほうである確率は?

答え1/2

他方を引いた方が得か、引かない方が得かは分からないです。

仮定Cを【仮定C´:低いほうの金額である確率は11/20】とすれば、他方の封筒の期待値は不明ですが
交換することによって期待値が増えることは分かるので交換した方が得です。
この場合
(1、2)の封筒組は(2,4)の封筒組より8倍出やすいが2がでた段階で他方の封筒の期待値(得られる金額の期待値)13/9とするのは誤り、他方の封筒の期待値は不明です。
しかし
(1、2)の封筒組だった場合、交換することによって得られる金額の期待値は29/20から31/20にふえるし
(2、4)の封筒組だった場合も、交換することによって得られる金額の期待値は58/20から62/20にふえます
期待値が増えるので交換した方が有利であると分かります。
封筒組の総額は小さい方が8倍出やすいが、他方の封筒に交換したほうが得です。

議論すれば理解が進むでしょ?
そろそろ分かった?
 

937 :s5179:2010/04/22(木) 07:08:31
>>917
すこし時間があるから注意しておくけど
初めに引いた封筒が1の場合、2の場合、3の場合と数え上げて考えると間違えるよ
(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)・・・・・と数え上げてね

(1、2)の封筒組の場合
偶数交換しない
1/2の確率で初めに1を引く、交換する、得られる金額2
1/2の確率で初めに2を引く、交換しない得られる金額2  期待値2
偶数交換する
1/2の確率で初めに1を引く、交換する、得られる金額2
1/2の確率で初めに2を引く、交換する、得られる金額1  期待値3/2

(2、4)の封筒組の場合
1/2の確率で初めに2を引く、交換しない、得られる金額2
1/2の確率で初めに4を引く、交換しない、得られる金額4  期待値3
偶数交換する
1/2の確率で初めに2を引く、交換する、得られる金額4
1/2の確率で初めに4を引く、交換する、得られる金額2  期待値3

(3、6)の封筒組の場合
偶数交換しない
1/2の確率で初めに3を引く、交換する、得られる金額6
1/2の確率で初めに6を引く、交換しない得られる金額6  期待値6
偶数交換する
1/2の確率で初めに3を引く、交換する、得られる金額6
1/2の確率で初めに6を引く、交換する、得られる金額3  期待値9/2

どう?あとは自分で出来る?
出来ないんだったら数学板には書き込みをせずにROMってた方がよいよ

938 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 07:47:45
「期待値」とは、同じ試行を何度も繰り返したとき、平均的に得られる金額。
2つの封筒から一方を選ぶ試行を、非常に多い回数行えば、期待値が高いほうを
選択するのが得だか、試行が1回しか行えないときは、期待値で損得は議論できない。
例えば、他方の封筒を選んだほうが得になる確率が(安定的に)99%以上になるためには、
\sum_{k=0}^{[n/3]} {n \choose k}/2^n < 0.01
({n \choose k} は二項係数)
を解いて、n ≧ 52 回以上試行を繰り返さないといけない。
職業的賭博師なら期待値の高いほう選ぶのが賢明だが、
一生のうちにほとんど賭をしない人は、期待値の低いほうを選んだほうが得に
なる場合も少なくない。

なお、教科書では
「期待値が高い」=「得」
となっているが、これは、数学的な「得」の定義で、現実の損得とは一致しない。


939 :s5179:2010/04/22(木) 07:55:03
>>933
じゃあ、自然数でやろうず
そうすれば>>937が使えて上限がなければ偶数の封筒の場合交換しないのが答えになる

よって初めに見た金額が10000円の場合(10000は偶数なので)、交換しない!!


まあ、自分で(>>651)否定してるように上限のない自然数の中から無作為に1つの数字は選べないけどね・・・

940 :s5179:2010/04/22(木) 08:00:15
>>938

言わんとしている事はわかりますが、
>職業的賭博師なら期待値の高いほう選ぶのが賢明だが、
>一生のうちにほとんど賭をしない人は、期待値の低いほうを選んだほうが得に
>なる場合も少なくない。
はあなたの主観(もしくは一生のうちにほとんど賭をしない人)からの負け惜しみです。

つまり、『言い訳御苦労様です』ってこと


遅刻してしまう

941 :s5179:2010/04/22(木) 08:04:07
>>938
あとここは数学板、もし

>なお、教科書では
>「期待値が高い」=「得」
>となっているが、これは、数学的な「得」の定義で、現実の損得とは一致しない。

の議論がしたければ学問・文系・哲学板に2つの封筒スレを立てればいいと思う

942 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 08:07:06
> 940
私は > 938 だが、もっと極端な例としては、次のような問題がある。

「くじA」は,1% の確率で当たりが出て1兆円がもらえるが,
99% の確率ではずれが出て,この場合1億円を支払わなくてはいけない.
「くじB」は全部が当たりくじで,100% の確率で 10億円もらえる.
簡単な計算で分かるように,「くじA」の期待値は,
1兆 ×0.01 - 1億 × 0.99 = 99億100万円,
「くじB」の期待値は10億円で,「くじA」の期待値のほうが大きい.
今,「くじA」か「くじB」の一方を選んで1回だけそのくじを引くチャンスが
与えられた.さて,どちらのくじを引きますか?

私は、迷わず、期待値の小さい「くじB」を引く。


943 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 08:28:42
>>1
一回限りの試行に期待値を考えても意味はない。

>>942
一回限りの試行に期待値を考えても意味はない。
そのくじが毎日出来るのなら、100回やれば1回1兆円もらえるのだから、はずれの度に1億払うことなど問題ではない。毎回迷わずAを引く。あたってもやめない。
1回限りなら迷わずB。その際期待値など考えない。意味がないから。

944 :s5179:2010/04/22(木) 08:29:39
>>938
訂正するならいまのうち
ヒント
くじBの値段

945 :s5179:2010/04/22(木) 08:43:28
>>938
もう一つヒント

控除率

数字ではなく現実の話をしてるんだよね

携帯だから詳しく書けなくてゴメンね

946 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 09:23:55
>>945
いいから早く中学校にいけよ。
遅刻して先生に怒られるんじゃねーぞ。

947 :s5179:2010/04/22(木) 09:30:49
因みに私は株式会社の社長かつ創業者なので自己資本が5000億円ほどあります。
もちろん株価により上下しますが、だいたいそれくらいです。
なので勿論くじAを引きます。
10億円ではキャシャーンの実写版も作れないよ
なんか貰って得か?

948 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 12:06:34
> 947. 大変、本質をとらえたご発言ですね。
危険論とか破産確率論というのがあって、>942のようなくじでどちらを選ぶべきかは、
その人の持っている資産によって変わってくるんですよね。
ちなみに、単に損得だけの話なら、何回繰り返してくじをひくと、
どちらが得になる確率が高いか、は確率分布まできちんと考慮すればわかる。
高校1年で習った確率の知識だけで考えようとすると、間違った結論に到達します。
ちなみに、「期待値」というのは、数学的には「中心極限定理」とか「大数の法則」
とか呼ばれる命題が成立するような試行でのみ、意味があるわけですね。
そのへんを正確に理解していないと、ペテルスブルグのパラドックスなんかは
正しく理解できない。


949 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 12:12:04
だが、このスレで話題になっている問題のポイントとは関係のない話だ。
残念だったな。

950 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 14:39:07
>>935
> >期待値が決定できないということ? 
> って受け取ってよ 

>>257 の場合は、普通に計算できますよ。 ありえない分布じゃないから。
期待値が計算できるかどうかに、別に上限があるかどうかは関係ないですよ。

951 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 14:40:23
>>935
> 1度封筒の中が自然数の場合で(1、2)から順番に試行して見て下さい 
> そうすれば偶数値の封筒を先に引いた場合は交換しない戦術が有利なのがわかるはずです 

どういう条件(分布)の場合の話ですか?

952 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 14:54:08
> 2つの封筒問題の期待値の計算の仕方は 
> 目の前にある2つの封筒(A、2A)に対して 

中略

> 因みに@が初めに低額封筒を選ぶ確率11/20高額封筒を選ぶ確率9/20であった場合でも 
> 1つの封筒を確認した段階では他方の封筒の期待値は不明です 
> しかし他方の封筒を選択した方がよいことは分かります 

いえ、そういう話とは関係なく、 期待値の計算は総和ですから、
>>920の引用部の後者のような計算はできません。

その後者がやっていることは、 宝くじが当たったときの益と
競馬で馬券が当たらなかったときの損の平均をとっているようなものです。

5000円が出たときと2万円が出たときは
まったく別の現象と考えなければなりません。

そのような期待値を考えるなら、
5000円が出て、損をした(2500円だった)ときと
2万円が出て、得をした(4万円だった)時についても考慮しなくてはなりません。


あと、 @とは何の@ですか? それがわからないので
その節について、検討することができません



953 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 15:08:16
>>936
>>757の問題では、(仮定e)が与えられているので

> 他方を引いた方が得か、引かない方が得かは分からないです。 
ということはありません。

> (1、2)の封筒組は(2,4)の封筒組より8倍出やすいが
> 2がでた段階で他方の封筒の期待値(得られる金額の期待値)13/9とするのは誤り
> 他方の封筒の期待値は不明です。 

なるほど、あなたと話がかみ合わない理由がわかりました。
あたなたの言う「期待値」は普通の数学で言う  
「 (ある事象が起こる確率×得られる金額)についての全事象の総和 」
のことではないようですが、「期待値」という言葉をどのような定義で使っていますか?

954 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 15:13:28
>>939
> まあ、自分で(>>651)否定してるように上限のない自然数の中から無作為に1つの数字は選べないけどね・・・ 

無作為 と 等確率(一様分布)  を 混同してはいませんか?

一様分布でなければ 、自然数を無作為に選ぶことは可能ですよ。

955 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 15:16:10
>>943
> 一回限りの試行に期待値を考えても意味はない。 

「意味がある/ない」の定義は?

956 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 15:18:28
>>948
> 意味があるわけですね。

同じく、 「意味がある/ない」の定義は?

957 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 16:01:22
おそらく、以下のような感じだと思われる。

期待値と幸福度がよく比例している間には意味があって
あまり比例していない状態を意味がないと言う。
そしてその境界は、人によって異なる。 

>>942 の問題も、 金額設定を1億分の1にすれば
くじAを引く人も多くなるだろう。

958 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 16:05:46
おそらく 幸福度は対数関数のようなグラフになっていて
ある一定範囲でしか、期待値とは近似できない。  

959 :s5179:2010/04/22(木) 17:10:46
>>950
あなたがどんな期待値を計算するか予想は出来ますが
どうぞ計算式と期待値を書き込んでみて下さい。

>>951
あなたの好む分布でどうぞ、結果は同じです
必ず>>937のようにやって下さい、そして私の間違いを指摘してみて下さい。
どんな分布でやっていいか迷うのであれば、nは自然数1から上限なし、(n、2n)の封筒組の確率が1/2^n、でどうぞ

>>952
>>920の引用部の後者のような計算はできません。
は同意します。私も出来ないと思いますし計3度ほど否定しています。
引用部の前者を否定する為の例えです、私は前者のような期待値の計算も誤りであると考えます。

>あと、@とは何の@ですか?それがわからないので
>その節について、検討することができません
とは私の、どの@に対する発言なのでしょうか?
ミイラ取りがミイラになっていませんか?

>>953
私の期待値とは得られる金額の期待値です。
2つの封筒問題の多くの場合において振動しています。

>>954
すみません盲目的に一様分布を想定していました、訂正します
上限のない一様分布の自然数の中から無作為に1つの数字は選べないけどね・・・
『無作為は母集合の分布を引き継ぐ操作』の意味で使っています。

なんか味方が増えてる気がする・・・




960 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 17:14:36
>>959
> とは私の、どの@に対する発言なのでしょうか? 

>>952で引用した 部分に@という記号がある。 引用元は>>935



961 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 17:16:54
>>959
> 私の期待値とは得られる金額の期待値です。 

「期待値」の定義に「期待値」という言葉そのものを用いてはいけません。
きちんと定義してください。

いずれにせよ、一般の数学で使われる
 「 (ある事象が起こる確率×得られる金額)についての全事象の総和 」 
ではないということでよろしいですか?
 




962 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 17:18:08
>>959

> 2つの封筒問題の多くの場合において振動しています。 

「期待値」が「振動」ということは、
「期待値」とは、なにかの関数の極限のような存在なのですか? 

963 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 17:19:02
> なんか味方が増えてる気がする・・・ 

気のせいでしょう

964 :s5179:2010/04/22(木) 17:22:25
>>960
ああ、それでしたら
>>935内の
初めに金額比1(低額)の封筒と金額比2(高額)の封筒を選ぶ確率は等確率・・・@
の事です。

そしてそれが等確率ではなく初めに低額を引く確率11/20、初めに高額を引く確率9/20でも
1つの封筒を選んだ段階では他方の封筒の期待値は求められない(振動しているので、振動の範囲は分かるけど)
と言う意味です。

ごめんなさいね、2行も離れてたら忘れるよね

965 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 17:23:28
> 振動しているので
なんだこれ?

966 :s5179:2010/04/22(木) 17:30:47
>>961
いえ私はちゃんと、全事象の総和が1になるように考えています。
>>1の問題において期待値12500円とする人は『全事象の確率の総和が1』にはなっていないと思いますが

私はもう冷静ですので、くだらない煽りや誘導にはひっかかりません。
次スレも立てます。

もっと反論出来ない鋭い意見の人が現れて、自分の考えの間違いを正してくれるかもしれないので・・・

まあ1部をのぞいてアホしか残ってないけどね
もちろん私もアホですよ、みんな仲良くして下さい。

967 :s5179:2010/04/22(木) 18:21:10
暇つぶしなので以下は暇だったら読んで下さい

みんなは>>1の問題で上限20000円ですと言われて
初めの封筒を引いた時に10000円が出て、
他方の封筒を引いてもいいよって言われたら引く?

俺は引かねー、だって上限20000円うそくせージャン

初めに上限金額20000円引いたらだれも他方の封筒引かないジャン
俺が出題者なら上限20000円って言って(5000円と10000円入れるね)
もっと賢いひとは2500円と5000円入れるんジャネ?

まあ、我が息子にはちゃんと10000円と20000円の封筒を用意するけど
おまえらには1000円と2000円で十分だよね、多すぎるくらいだワ

968 :s5179:2010/04/22(木) 18:27:11
>>961さん
>>966は誤りかも!!
>>1において期待値12500円の計算は全事象の確率の和が1以上になってるかも!!

やっぱ議論は必要なんだね、
アホ呼ばわりして、どうもすみません

969 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 19:00:46
> 全事象の確率の和
なんだこれ?

970 :s5179:2010/04/22(木) 19:30:52
>>969
はいはい、

全事象が起こる確率は1、
でも期待値12500円の計算は全事象の確率が1以上になってるかも!!
であってるかな?
厳密だなお前

971 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 20:32:37
アレな展開ではあるが、ようやく期待値の定義にたどり着いたか。

972 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 22:32:40
>>933
なんだかんだいいつつ金額を実数として問題書いているじゃん。

973 :s5179:2010/04/22(木) 22:41:08
遅レスごめんね、いまさらだけど

>>962
>「期待値」が「振動」ということは、
>「期待値」とは、なにかの関数の極限のような存在なのですか?

このレスを見る限りでは962さんは期待値は実数値関数と関係がないと考えてる?
10000に対しての5000、20000は実数値関数だよね
俺こんな所で間違ってる?

で5000と20000は背反かつ独立だとも思う
背反の同意は簡単に取れると思うので割愛

なので独立について
(5000、10000)の封筒組で5000を後に引くことと
(10000、20000)の封筒組で20000を後に引くことは関係がない
(5000、10000)の封筒組で5000を後に引く確率が上がっても
(10000、20000)の封筒組で20000を後に引く確率は上がるか下がるかは分からない

(5000、10000)の封筒組において
【仮定1】10000を初めに選ぶ確率を7/8とする→必ず交換する場合は後に5000を選ぶ確率は7/8となる
(10000、20000)の封筒組において
【仮定2】10000を初めに選ぶ確率を9/10とする→必ず交換する場合は後に20000を選ぶ確率は9/10となる

【問1】初めに10000円を選んだ時、必ず交換する場合の期待値は?

5000×7/8+20000×9/10=22375

期待値、初の20000円超えです。【仮定1】【仮定2】が間違っているわけではありません、期待値の計算方法が誤りです。




974 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 23:25:48
>10000に対しての5000、20000は実数値関数だよね
962じゃないが、意味わからん

975 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 00:12:35
複素数で考えよというフラグか

976 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 06:53:54
>>966
>>915では >>1の問題についてではなく
>>757の問題でも 期待値が決定できないようなことを言っています。

>>1の問題については分布が明らかではない(少なくとも一様分布では成立しない)ので
期待値が決定できないことについては、異論はないのですが
なぜ>>757の問題で、期待値が決定できないのでしょう?

>>757の問題では、構成可能な分布も明らかになっており
一つ目にひいた封筒の中身の金額もわかっています。
また、全てのケースにおいて、それが起こる確率と得られる金額も決定しています。
それなのに期待値が決定できないのは何か他に理由があるのでしょうか?

> いえ私はちゃんと、全事象の総和が1になるように考えています。 

全事象の総和が1になる ところは変わらないが、 一般の数学で言う「期待値」とは
異なる条件のものであるということですか?


977 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 06:59:06
> で5000と20000は背反かつ独立だとも思う 

これは、初めに引いた封筒の中身が1万円だったときに
もう一方の封筒に入っている金額の話ですよね?

背反ならば 独立ではないでしょう。  
そのあたりも、普通の数学とは用語の定義が異なるのですか?


978 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 07:01:08
おまえらオレが楽しんでるんだから邪魔だけはするなよ。

979 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 07:04:50
>>973
> 5000×7/8+20000×9/10=22375 
> 期待値の計算方法が誤りです。 

それ以前に、 全事象の合計が1になっていないようですが?

> (5000、10000)の封筒組において 【仮定1】10000を初めに選ぶ確率を7/8とする
> (10000、20000)の封筒組において 【仮定2】10000を初めに選ぶ確率を9/10とする

どうして異なる条件下で起こる特定の事象を選んで全事象としたり
 その期待値を計算しようとするのですか?



980 :s5179:2010/04/23(金) 07:23:30
>>976
確率の和を1以上に出来る間抜けな計算式を使って期待値の計算をどうぞ
もしかして封筒組2つの期待値の平均を期待値にするつもりですか?
もっと間抜けですね

>>977
(5000、10000)の封筒組を選ぶ・・・事象A
(10000、20000)の封筒組を選ぶ・・・事象B

事象Aと事象Bは背反です。

事象Aにおいて10000円を先に選ぶ・・・事象A-10000
事象Bにおいて10000円を先に選ぶ・・・事象B-10000

事象A-10000と事象B-10000は独立です。

理解するポイントは事象A、Bの余事象です。
まだ習ってませんか?



981 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 07:44:45
すべての発言が脳内で閉じていて、何を前提にどこに向かおうとしているかが外部
から読み取れず、そのため期待したのと異なる反応が返ってくると、それを適切に
伝える言葉を発していない自分の問題とは気づかず、反応した奴がバカだと思い込
んで、さらに別の角度から説明しようとするが、そこまでの自分の言葉自体が全部
伝わっていることを前提にさらに言葉足らずの言葉を積み上げていくので、意味不
明の言葉のかたまりがどんどん肥大していき、そんなものを全てフォローしてさら
に脳内の自己完結したロジックを補完して理解してくれる人などいるわけもなく、
実は言いたいことは適切に説明すれば単純な正しいことかもしれないけど、それを
理解できない他の奴らはバカだと思い込んだまま1スレを使い果たそうとしている
・・・そういう人にs5179は見える

982 :s5179:2010/04/23(金) 07:46:07
>>979

>どうして異なる条件下で起こる特定の事象を選んで全事象としたり
>その期待値を計算しようとするのですか?

だよねー、>>1の問題において期待値12500としたり
>>757の問題の期待値が求められると思う人の考え方で期待値を計算してみました

>>973
のような期待値の求め方は出来ないし、意味の無いものだと思う

それともう私は次スレは立てません
賢明な人は十分に理解して書き込まなくなってしまったので
残ってるのは、まさに残りカスです。

983 :s5179:2010/04/23(金) 07:49:18
>>981

大丈夫?
ちょっと火病ってるよ
もう少し冷静になろうよ、残りカスとか言ったのは謝るからさ


984 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 07:55:35
>>980
>>973が間抜けな計算式であることはわかっているようですが
間違ってない式がわからないようですね。

事象A,B以外で10000円が出てくることがないことが明らかであり
事象Aが起こる確率,事象Aにおいて10000円を先に選ぶ確率
事象Bが起こる確率,事象Bにおいて10000円を先に選ぶ確率
等が明らかならば
先に10000円を選らんだという条件の下での他方が5000円である条件付き確率
先に10000円を選らんだという条件の下での他方が20000円である条件付き確率
が求まり、そこから
先に10000円を選らんだという条件の下での他方の封筒の金額の条件付期待値
というものが求まります。
勉強したことないみたいですね。

985 :s5179:2010/04/23(金) 08:05:00
>>981
あとさ、私は期待値12500円とする人の考え方や
>>757の問題の期待値を求められると考えるひとの計算方法も理解した上で発言してんの

981さんはその文を読む限り、私の考え方を全く理解してないじゃん
思考停止してるよ
どの辺がわからないのかな?教えてくれたら答えるけど

986 :s5179:2010/04/23(金) 08:07:21
>>984
計算をどうぞ
>>973以外の、私の主張する計算方法と同じになったら笑いますねw

987 :s5179:2010/04/23(金) 08:12:38
>>984
あなたは【期待値の平均を求める】と予言します。
ちゃんと期待値を求めてね
逃げるなよ

では出勤します、今日は移動時間が短いので携帯から書き込めません

988 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 08:18:28
>>981
だからオレが楽しんでんだkら邪魔するなよ

989 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 08:22:20
>>982
>>1とは違って、>>757の問題では普通に交換後の期待値は計算できますが
なぜできないと主張するのですか? 

990 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 08:24:41
>>985
> >>757の問題の期待値を求められると考えるひとの計算方法も理解した上で発言してんの 

なぜそれを理解したうえで、間違った方法に固執するのですか?
もしかして正しく理解できていないのではありませんか?

どのように理解したのかを言ってみてください。

991 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 08:27:55
なんでいつも非難だけなの?
あなたの正解を書いてみたら?

992 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 09:03:39
「非難」というのは 一般的な日本語としては
「責め咎めること」 という意味だと思います。

誰かが誰かを責めたり咎めたりしているように見うけられる書き込みは
具体的にはどれのことでしょうか?


993 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 09:08:28
>>980
> 確率の和を1以上に出来る間抜けな計算式を使って期待値の計算をどうぞ 

なぜそんな式を使うように指示をするのですか?
そのような方法では正しい期待値が計算できるようには思えません。
どうして普通に、各事象が起こる確率の総和が1であるような考えを
否定するのでしょうか?

994 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 12:44:09
四十八日。


995 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 15:58:53
>1 の問題に戻って、しつこいようだけど、高校の教科書ならいざしらず、
数学的な確率論の教科書で「得」「損」という言葉は不用意に用いられないはず。
高校の教科書では、「期待値が高い」=「得」と単純に考えているが、
この考えが適切でないことは、昔から指摘されている。
現代の確率論の考え方では、「得」という用語は、その厳密な数学的定義を
与えない限り用いてはならない。
従って、>1 の問題には、数学的な不備があり、解答が紛糾することになる。
「別の袋を選ぶほうが期待値が高くなる。」
という命題は正しいが、
「別の袋を選ぶほうが得になる。」
というのは、無定義用語が含まれるので命題でなく、真偽が判定できない。


996 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 16:09:48
>>995
そういう台詞は期待値を書き込んでから言いましょう
説得力がアリマセンヨ

997 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 16:10:36
>>995
そういう台詞は期待値を書き込んでから言いましょう
説得力がアリマセンヨ

998 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 16:22:28
>>995
そのあたりの話はこのスレが立つ前から既に解決済み。

999 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 17:11:32

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1272010151/

1000 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 17:13:29
>>991

>>757の問題では
選んだ封筒が低額なほうである確率は 1/9
よって高額のほうである確率は8/9
この2つが全事象で、もちろんその合計は1

低額であった場合(1/9)、交換すると4円を得、
高額であった場合(8/9)、交換すると1円を得る

以上のことから、 交換した場合得られる金額の期待値は 4/3円
交換前に得ている金額は2円なのだから
「期待値が高いほうが得、低いと損」という定義するなら
交換すると損ということになる。

これが私の解なのですが、あなたの正解はどうなっていますか?
まさか、他人に書けと言っておいて、自分は知らぬ存ぜぬでとおすつもりは
ないですよね。

1001 :1001:Over 1000 Thread
このスレッドは1000を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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