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代数的整数論 019

1 :132人目の素数さん:2010/03/25(木) 06:47:49
代数的整数論 019
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。

2 :132人目の素数さん:2010/03/25(木) 06:48:34
過去スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264907022/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1268013108/

3 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 06:49:37
定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Π(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^I と書き X のI乗と呼ぶ。

4 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 06:55:28
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) ある小さい集合 I があり、Y は X^I (>>3)の部分対象(過去スレ018の646)となる。

(A) (Y, Hom(Y, X)) は単湧き出し(過去スレ018の715)である

証明
(@) ⇒ (A)
h:Y → X^I を単射とする。
各 i ∈ I に対して π_i:X^I → X を射影とする。
過去スレ018の901より、(Y, (π_i)h)_I は単湧き出しである。
J = {(π_i)h; i ∈ I} とおく。
J ⊂ Hom(Y, X) である。
よって、過去スレ018の736より、(Y, Hom(Y, X)) は単湧き出しである。

(A) ⇒ (@)
(Y, Hom(Y, X)) は単湧き出しであるとする。
各 f ∈ Hom(Y, X) に対して π_f:X^Hom(Y, X) → X を射影とする。
h:Y → X^Hom(Y, X) で各 f ∈ Hom(Y, X) に対して f = (π_f)h となるものが
一意に存在する。
過去スレ018の901より、h は単射である。
よって I = Hom(Y, X) とおけばよい。
証明終

5 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 06:57:06
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C の対象 X が余分離対象(過去スレ018の219)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^I (>>3)の部分対象(過去スレ018の646)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の813より X が余分離対象であるためには
任意の対象 Y に対して (Y, Hom(Y, X)) が単湧き出し(過去スレ018の715)であることが
必要十分である。
よって、>>4より本命題が得られる。
証明終

6 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 06:57:52
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) ある小さい集合 I があり、Y は X^I の極値的部分対象(過去スレ018の646)となる。

(A) (Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出し(過去スレ018の755)である

証明
(@) ⇒ (A)
h:Y → X^I を極値的単射(過去スレ018の496)とする。
各 i ∈ I に対して π_i:X^I → X を射影とする。
過去スレ018の902より、(Y, (π_i)h)_I は極値的単湧き出しである。
J = {(π_i)h; i ∈ I} とおく。
J ⊂ Hom(Y, X) である。
よって、過去スレ018の807より、(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しである。

(A) ⇒ (@)
(Y, Hom(Y, X)) は極値的単湧き出しであるとする。
各 f ∈ Hom(Y, X) に対して π_f:X^Hom(Y, X) → X を射影とする。
h:Y → X^Hom(Y, X) で各 f ∈ Hom(Y, X) に対して f = (π_f)h となるものが
一意に存在する。
過去スレ018の902より、h は極値的単射である。
よって I = Hom(Y, X) とおけばよい。
証明終

7 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 06:59:02
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C の対象 X が極値的余分離対象(過去スレ018の815)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^I の極値的部分対象(過去スレ018の646)であることが必要十分である。

証明
定義(過去スレ018の815)より X が極値的余分離対象であるとは、
任意の対象 Y に対して (Y, Hom(Y, X)) が極値的単湧き出しであることである。
よって、>>6より本命題が得られる。
証明終

8 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 08:34:48
命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
単位区間 I = [0, 1] は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
f:Y → X と g:Y → X を CTop の射で f ≠ g とする。
f(y_0) ≠ g(y_0) となる y_0 ∈ Y がある。
過去スレ007の664より X は正規空間(過去スレ007の663)である。
Urysohnの補題(過去スレ007の668)より、連続写像 h:X → I で
h(f(y_0)) = 0 かつ h(g(y_0)) = 1 となるものが存在する。
よって hf ≠ hg である。
よって I は CTop の余分離対象である。
証明終

9 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 08:59:39
命題
コンパクト位相空間全体の圏 CTop における単射は写像としての単射である。

証明
Set を集合全体の圏とする。
関手 F:CTop → Set を次のように定義する(F は忘却関手と呼ばれる)。
CTop の対象 X に対して F(X) を X の台集合とする。
CTop の射 f:X → Y に対して F(f):F(X) → F(Y) は写像としての f とする。

* = {p} を1点からなる位相空間とする。
* は CTop の対象である。
明らかに (*, p) は関手 F の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、F は (*, p) により表現可能(過去スレ017の729)である。
よって、過去スレ018の361より、CTop における単射は
写像としての単射と一致する。
証明終

10 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 09:06:23
命題
コンパクト位相空間全体の圏 CTop は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
f:X → Y を CTop における全単射とする。
f が CTop における同型であることを証明すればよい。

>>9より f は写像として単射である。
過去スレ018の408より f は写像として全射である。

A を X の閉集合とする。
A はコンパクトであるから f(A) もコンパクトである。
Y はHausdorffであるから f(A) は Y の閉集合である。
よって f は閉写像である。
f は連続な全単射であるから f は CTop における同型である。
証明終

11 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 09:48:04
命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
f:X → Y を CTop における射とする。
f が正則単射(過去スレ018の456)であるためには
f が X と Y の部分空間 f(X) の同型を誘導することが必要十分である。

証明
必要性:
f が正則単射であるとする。
u:Y → Z、v:Y → Z があり、f = Ker(u, v) となる。
K = {y ∈ Y;u(y) = v(y)} とおく。
過去スレ018の411より、K は Y の閉集合である。
よって K はコンパクトである。
明らかに K = Ker(u, v) である。
よって、f(X) = K であり、f は X と f(X) の同型を誘導する。

十分性:
f が X と f(X) の同型を誘導するとする。
h:f(X) → Y を包含写像とする。
Z = (Y+Y)_h (過去スレ018の510)と置く。
f(X) はコンパクトであるから Y の閉集合である。
よって、過去スレ018の529より Z はHausdorffである。
よって Z はコンパクトである。

p:Y+Y → Z
μ_1:Y → Y+Y
μ_2:Y → Y+Y を標準写像とする。
h = Ker(pμ_1, pμ_2) である。
よって、f は正則単射である。
証明終

12 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 10:01:40
命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
f:X → Y を CTop における射とする。

以下の条件は同値である。

(@) f は単射である。
(A) f は正則単射(過去スレ018の456)である。
(B) f は極値的単射(過去スレ018の496)である。

証明
(@) ⇒ (A)
f を単射とする。
>>9より f は写像としての単射である。
f は連続写像 g:X → f(X) を誘導する。
g は写像として全単射であるから CTop における射としても全単射である。
>>10より CTop は平衡的であるから g は同型である。
よって、>>11より f は正則単射である。

(A) ⇒ (B)
過去スレ018の494より正則単射は極値的単射である。

(B) ⇒ (@)
自明である。
証明終

13 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 10:07:39
命題
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
単位区間 I = [0, 1] は CTop の極値的余分離対象(過去スレ018の815)である。

証明
>>8より I は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。
>>10より CTop は平衡的である。
よって、過去スレ018の819より I は極値的余分離対象である。
証明終

14 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 10:24:54
命題
I = [0, 1] を単位区間とする。
任意のコンパクト空間 X に対してある集合 J があり、
X は I^J (>>3)の閉部分空間と位相同型になる。

証明
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>8より I は CTop の余分離対象である。
>>5より、CTop の任意の対象 X に対してある小さい集合(過去スレ017の321) J があり、
X は I^J の部分対象になる。
>>12より X は I^J の正則部分対象(過去スレ018の646)になる。
>>11より X は I^J の部分空間 K と位相同型になる。
K はコンパクトであるから K は I^J の閉集合である。
証明終

15 :132人目の素数さん:2010/03/25(木) 12:05:31

                   /  ̄ ̄ ̄\
              /        \       陽だまり さんさん
               /              ヽ
             。             l     心は 晴れ模様 ♪
             ∧     ( ◎ )     |)
          ((  ̄(::::)           l      ふたつの 瞳は 
          ‐ ─  / ┼一          /      
        ニニ ニ  / __|\         /       ひまわり の種のよう♪
              ‐┘ |   \ ___/

16 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:01:45
湧き出し(過去スレ018の713)の双対概念を吸い込み(sink)と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
C の対象 X と射の族 (f_i:X_i → X), i ∈ I の対 ((f_i), i ∈ I, X) を
吸い込み(sink)と呼ぶ。
ここで、I はある類(過去スレ017の323)である。

X を吸い込みの値域(codomain)と呼び、
族 (X_i), i ∈ I を吸い込みの定義域(domain)と呼ぶ。

吸い込み ((f_i), i ∈ I, X) を
(f_i, X)_I、(f_i, X)、(f_i:X_i → X)_I、(f_i:X_i → X)
(X_i → X)_I、(X_i → X) などとも書く。

I が空集合のとき吸い込みは値域 X のみで定まる。
これを (φ, X) と書き、空吸い込み(empty sink)と呼ぶ。
空吸い込みは C の対象と同一視される場合がある。

I が小さい集合のとき吸い込みは小さい吸い込み(small sink)と呼ばれる。

I = {1, 2、...、n} のとき吸い込みは n-吸い込み(n-sink)と呼ばれ
((f_1,..., f_n), X) とも書かれる。

射 f:X → Y は 1-吸い込み (f, Y) と同一視される場合がある。

X を値域とする射の類 S があるとき S を S 自身を添字の類とする族とみて
吸い込みが定義出来る。これを (S, X) と書く。
S が X を値域とする射全体の類のとき
(S, X) を X を値域とする全吸い込み(total sink)と呼ぶ。

17 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:05:56
定義
吸い込み(>>16) S = (f_i:X_i → X)_I と射 f:X → Y に対して
吸い込み (ff_i:X_i → Y)_I を fS と書き、S と f の合成(composition)と呼ぶ。


18 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:10:37
定義
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ に対して T_i = (g_(i,j):X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みの族とする。
このとき吸い込み (f_ig_(i,j):X(i,j) → X)、i ∈ I、j ∈ J_i を
S(T_i) と書き、族 (T_i)_I と S の合成と呼ぶ。


19 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:14:14
定義
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
任意の射の対 u:X → T、v:X → T に対して
uS = vS なら u = v となるとき、S を全吸い込み(epi-sink)と言う。


20 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:16:42

空吸い込み(>>16) (φ, X) が全吸い込み(>>19)であるためには
任意の対象 Y に対象に対して Hom(X, Y) が空または1個の射からなることが必要十分である。


21 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:17:49

1-吸い込み(>>16) (f, X) が全吸い込み(>>19)であるためには
f が全射であることが必要十分である。


22 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:24:33

痩せた圏(過去スレ018の33)においては任意の吸い込み(>>16)は全吸い込み(>>19)である。
逆に、>>20よりこの性質を持つ圏は痩せた圏である。


23 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 15:26:31
定義
F:C → D を関手とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
D における吸い込み (F(f_i):F(X_i) → F(X))_I を F(S) と書き、
F による S の像と言う。

24 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:27:27
定義
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を Set における吸い込み(>>16)とする。
X = ∪f_i(X_i) のとき S を合併的に全射(jointly surjective)であると言う。

25 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:29:22
命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を Set における吸い込み(>>16)とする。
S が全吸い込み(>>19)であるためには S が合併的に全射(>>)であることが
必要十分である。

証明
必要性:
S が全吸い込みであるとする。
X ≠ ∪f_i(X_i) として矛盾を示せばよい。
Y = ∪f_i(X_i) とおく。
u:X → {0, 1} を任意の x ∈ X に対して u(x) = 0 で定義する。
v:X → {0, 1} を y ∈ Y のとき v(y) = 0、y ∈ X - Y のとき v(y) = 1
で定義する。
u と v は Y で一致するから uS = vS であるが u ≠ v である。

十分性:
X = ∪f_i(X_i) とする。
u:X → T、v:X → T に対して uS = vS であるとする。
任意の x ∈ X に対して x = f_i(x_i) となる i ∈ I と x_i ∈ X_i がある。
uf_i = vf_i であるから u(x) = v(x) である。
よって u = v である。
よって、S は全吸い込みである。
証明終

26 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:33:21
命題
表現可能な反変関手(過去スレ017の653)による全吸い込み(>>19)の像(>>23)は
単湧き出し(過去スレ018の715)である。

証明
S = (f_i:X_i → X)_I を C における任意の全吸い込みとする。
F は表現可能であるから F = Hom(-, T) と仮定してよい。
F(S) = (Hom(f_i, T):Hom(X, T) → Hom(X_i, T))_I は
Set における単湧き出しである。
証明終

27 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:40:28
命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F:C → Set を忠実な関手とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
このとき F(S) (>>23)が合併的に全射(>>24)であれば S は全吸い込み(>>19)である。

証明
射の対 u:X → T、v:X → T に対して
uS = vS とする。
F(u)F(S) = F(v)F(S) である。
>>25より F(S) は全吸い込みであるから F(u) = F(v) である。
F は忠実であるから u = v である。
よって、S は全吸い込みである。
証明終

28 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:48:32
定義
F:C → D を関手とする。
C における吸い込み(>>16) S に対して、
F(S) (>>23)が D における全吸い込み(>>19)であれば、
常に S が C における全吸い込みであるとき、F は全吸い込みを反映するという。

29 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 17:51:25
命題
忠実な関手(過去スレ017の403)は全吸い込みを反映する(>>28)。

証明
F:C → D を忠実な関手とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を C における吸い込みとする。
F(S) (>>23)が D における全吸い込みであるとする。
C-射の対 u:X → T、v:X → T に対して
uS = vS とする。
F(u)F(S) = F(v)F(S) である。
F(S) は全吸い込みであるから F(u) = F(v) である。
F は忠実であるから u = v である。
よって S は全吸い込みである。
証明終

30 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:17:34
定義
S を全吸い込み(>>19)とし、次の性質(E)を持つとする。

(E):ある吸い込み T と単射 m があり、S = mT であれば m は同型である。

このとき S を極値的全吸い込み(extremal epi-sink)と言う。

31 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:23:09
命題
平衡的(過去スレ018の452)な圏における全吸い込み(>>19)は極値的(>>30)である。

証明
過去スレ018の756と双対原理(過去スレ018の159)。

32 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:30:07
命題
S が分離対象(過去スレ018の212)であるためには任意の対象 X に対して
(Hom(S, X), X) が全吸い込み(>>19)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の213の(2)より明らかである。

33 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:30:51
定義
任意の対象 X に対して (Hom(S, X), X) が極値的全吸い込み(>>30)であるとき、
S を極値的分離対象(extremal separator)と言う。

34 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:37:15
命題
平衡的(過去スレ018の452)な圏における分離対象(過去スレ018の212)は極値的(>>33)である。

証明
S を平衡的な圏における分離対象とする。
>>32より任意の対象 X に対して (Hom(S, X), X) は全吸い込み(>>19)である。
>>31より (Hom(S, X), X) は極値的全吸い込み(>>30)である。
よって定義(>>33)より S は極値的分離対象である。
証明終

35 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:47:13
定義
P = (μ_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
任意の吸い込み S = (f_i:X_i → Y)_I に対して射 f:X → Y で
S = fP (>>17)となるものが一意に存在するとき P を余積(coproduct)と言う。
P は族 (X_i)_I の余積とも言う。

36 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:50:45
記法
P = (μ_i:X_i → X)_I を (X_i)_I の余積(>>35)とする。
S = (f_i:X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
このとき射 f:X → Y で S = fP となるものが一意に存在する。
f を [f_i] と書く。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは [f_i] を [f_1, ..., f_n] とも書く。

37 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 18:53:52
命題
余積(>>35)は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
過去スレ018の887と双対原理(過去スレ018の159)。

38 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/25(木) 19:03:12
C を圏とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
I を離散グラフ(過去スレ017の745)と見なすと、族 (X_i)_I は
図式 F:I → C (過去スレ017の833)と見なせる。
ここで、各 i に対して F(i) = X_i である。

このとき S は余錐 F → X (過去スレ018の841)に他ならない。
よって、族 (X_i) を定義域(>>16)とする吸い込み全体は Cocone(F) (>>843)であり、
余錐間の射(>>843)を射とすることにより圏となる。
Cocone(F) を Cocone((X_i)_I) と書くことにする。

(X_i)_I の余積(>>35)とは Cocone((X_i)_I) の始対象(過去スレ017の288)に他ならない。
従って Cocone(F) における同型を除いて一意である。

39 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 13:54:09

空吸い込み(>>16) (φ, X) が余積(>>35)であるためには X が始対象であることが
必要十分である。


40 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 13:56:53
命題
1-吸い込み(>>16) (f, X) が余積(>>35)であるためには f が同型であることが
必要十分である。

証明
過去スレ018の855と双対原理(過去スレ018の159)。

41 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:09:13
記法
P = (μ_i:X_i → X)_I を (X_i)_I の余積(>>35)とする。
X を Σ(X_i)_I または ΣX_i と書く。
P を (μ_j:X_j → Σ(X_i)_I)_I または (μ_j:X_j → ΣX_i)_Iと書く。
μ_j を入射(injection)または標準単射と呼ぶ。

I が有限集合 {1, ..., n} のときは
ΣX_i を (X_1)+...+(X_n) とも書く。

42 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:13:46
命題
Q = P(P_i) を吸い込みの合成(>>18)とする。
各 P_i と P が余積(>>35)であれば Q も余積である。

証明
過去スレ018の891と双対原理(過去スレ018の159)。

43 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:16:15
命題
Q = P(P_i) を吸い込みの合成(>>18)とする。
Q が余積(>>35)で各 P_i が全吸い込み(>>19)であれば P は余積である。

証明
過去スレ018の898と双対原理(過去スレ018の159)。

44 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:21:02
P = (μ_i:X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i:X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
このとき f:X → Y で S = fP となるものが一意に存在する。
よって、(X_i)_I を定義域とし Y を値域とする吸い込みの全体と Hom(X, Y) は
1対1に対応する。
即ち、余積により吸い込みを射と見なすことが出来る。

45 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:23:42
命題
P = (μ_i:X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i:X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
f = [f_i] (>>36)とおく。

このとき S が全吸い込み(>>19)であるためには f が全射であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の901と双対原理(過去スレ018の159)。

46 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:26:36
命題
P = (μ_i:X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
S = (f_i:X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
f = [f_i] (>>36)とおく。

このとき S が極値的全吸い込み(>>30)であるためには
f が極値的全射(過去スレ018の580)であることが必要十分である。

証明
過去スレ018の902と双対原理(過去スレ018の159)。

47 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:30:18
命題
P = (μ_i:X_i → X)_I を余積(>>35)とする。
i_0 を I の元で各 i に対して Hom(X_i, X_(i_0)) ≠ φ とする。

このとき μ_(i_0) は断面(過去スレ018の430)である。

証明
過去スレ018の903と双対原理(過去スレ018の159)。

48 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:32:57
命題
C を圏とする。
C においては任意の類(過去スレ017の323) I を添字類とする余積(>>35)が存在するとする。
このとき C は痩せた圏(過去スレ018の33)である。

証明
過去スレ018の908と双対原理(過去スレ018の159)。

49 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:34:16
命題
C を小さい圏(過去スレ017の322)とする。
C においては任意の小さい集合(過去スレ017の321) I を添字集合とする余積(>>35)が
存在するとする。
このとき C は痩せた圏(過去スレ018の33)である。
従って前順序集合と見なされる。

証明
過去スレ018の909と双対原理(過去スレ018の159)。

50 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:35:10
定義
C を圏とする。
C においては任意の小さい集合(過去スレ017の321) I を添字集合とする余積(>>35)が
存在するとする。
このとき C は余積をもつと言う。

51 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 14:36:22
定義
C を圏とする。
C においては任意の有限集合 I を添字集合とする余積(>>35)が存在するとする。
このとき C は有限余積をもつと言う。

52 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:05:14
命題
S を順序集合とする。
S の元の任意の族 (x_i)_I に対して sup(x_i) が存在するとき
S は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
過去スレ017の281より、S は圏と見なせる。
よって、過去スレ018の915と双対原理(過去スレ018の159)を使えばよい。

53 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:06:10
命題
S を順序集合とし、圏と見なす(過去スレ017の281)。
S は余積をもつ(>>50)とする。
このとき S は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
S の元の任意の族 (x_i)_I に対して sup(x_i) は (x_i)_I の余積である。
よって、>>52より S は完備束である。
証明終

54 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:07:37
命題
C を小さい圏(過去スレ017の322)で、余積をもつ(>>50)とする。
>>49より、C は前順序集合と見なされる。

このとき C に付随する順序集合(過去スレ018の917) C/〜 は
完備束(過去スレ018の914)である。

証明
C/〜 を圏と見たとき C/〜 は余積をもつ。
よって、>>53より C/〜 は完備束(>>914)である。
証明終

55 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:09:04
定義
C を圏とする。
I を類(過去スレ017の323)とする。
(f_i:X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
P = (μ_i:X_i → X)_I および Q = (ν_i:Y_i → Y)_I を余積(>>35)とする。

[(ν_i)(f_i)] (>>36)を Σf_i と書き、族 (f_i)_I の余積と言う。
I = {1, ..., n} のとき Σf_i は (f_1)+...+(f_n) とも書く。

Σf_i は各 i に対して次の図式を可換にする唯一の射:X → Y である。

X_i → Y_i
↓   ↓
X → Y

56 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:09:46
命題
C を圏とする。
(f_i:X_i → Y_i)_I と (g_i:Y_i → Z_i)_I を C における射の族とする。

このとき Σg_iΣf_i = Σg_if_i である。

証明
過去スレ018の920と双対原理(過去スレ018の159)。

57 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:11:18
命題
C を圏とする。
(f_i:X_i → Y_i)_I C における射の族とする。

(@) 各 f_i が同型であれば Σf_i (>>55)も同型である。

(A) 各 f_i が断面(過去スレ018の430)であれば Σf_i も断面である。

(B) 各 f_i が引き込み(過去スレ018の328)であれば Σf_i も引き込みである。

証明
>>56と Σ1_(X_i) = 1_ΣX_i より明らかである。

58 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:12:09
命題
C を圏とする。
(f_i:X_i → Y_i)_I C における射の族とする。

各 f_i が全射であれば Σf_i (>>55)も全射である。

証明
過去スレ018の923と双対原理(過去スレ018の159)。

59 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 16:13:25
命題
C を余積をもつ圏(>>50)とする。
I を小さい集合とし、
(f_i:X_i → Y_i)_I と (g_i:X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
k_i:Y_i → K_i を f_i と g_i の差余核(過去スレ017の850)とする。

このとき Σk_i:ΣY_i → ΣK_i は Σf_i と Σg_i の差余核である。

証明
過去スレ018の978と双対原理(過去スレ018の159)。

60 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:27:32
命題
C を余積をもつ圏(>>50)とする。
I を小さい集合とし、(f_i:X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。

各 f_i が正則全射(過去スレ018の558)であれば Σf_i も正則全射である。

証明
過去スレ018の981と双対原理(過去スレ018の159)。

61 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:28:15
命題
C を圏とする。
I を小さい集合とし、(f_i:X_i → Y_i)_I を C における射の族とする。
各 f_i が正則全射(過去スレ018の558)であれば
Σf_i は極値的全射(過去スレ018の580)である。

証明
過去スレ018の983と双対原理(過去スレ018の159)。

62 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:28:59
>>3の修正

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Π(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^I と書き X の I べき乗(I-th power of X)、
または略して X の I 乗 または X の I べきと呼ぶ。

63 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:31:19
定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Σ(X_i)_I (過去スレ018の857)を X^(I) と書き X の I 余べき乗(I-th copower of X)
または略して X の I 余べきと呼ぶ。

64 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:32:45
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) ある小さい集合 I があり、Y は X^(I) (>>63)の商対象(過去スレ018の653)となる。

(A) (Hom(X, Y), Y) は全吸い込み(>>19)である。

証明
>>4と双対原理(過去スレ018の159)。

65 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:38:05
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
C の対象 X が分離対象(過去スレ018の212)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^(I) (>>63)の商対象(過去スレ018の653)であることが必要十分である。

証明
>>32より X が分離対象であるためには
任意の対象 Y に対して (Hom(X, Y), Y) が全吸い込み(>>19)であることが
必要十分である。
よって、>>64より本命題が得られる。
証明終

66 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:50:48
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
X と Y を C の対象とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) ある小さい集合 I があり、Y は X^(I) の極値的商対象(過去スレ018の653)となる。

(A) (Hom(X, Y), Y) は極値的全吸い込み(>>30)である

証明
>>6と双対原理(過去スレ018の159)。

67 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 17:54:12
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余積をもつ(>>50)とする。
C の対象 X が極値的分離対象(>>33)であるためには
C の任意の対象 Y に対して小さい集合 I があり、
Y が X^(I) (>>63)の極値的商対象(過去スレ018の653)であることが必要十分である。

証明
定義(>>33)より X が極値的分離対象であるとは、
任意の対象 Y に対して (Hom(X, Y), Y) が極値的全吸い込みであることである。
よって、>>66より本命題が得られる。
証明終

68 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 18:02:59
>>63の修正

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし
C の対象の族 (X_i)_I を各 i に対して X_i = X となるものとする。
Σ(X_i)_I (>>41)を X^(I) と書き X の I 余べき乗(I-th copower of X)
または略して X の I 余べきと呼ぶ。

69 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/26(金) 18:06:26

Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
(X_i)_I を Set の対象の族とする。
余積 Σ(X_i)_I (>>41)は (X_i)_I の直和集合、即ち ∪(X_i)×{i} である。

70 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 06:45:37
定義
X を集合とし、(X_i), i ∈ I を位相空間の族とする。
各 i に対して、f_i:X_i → X を写像とする。

このとき、全ての f_i を連続にする X の位相の中で最も細かいものを
(f_i), i ∈ I に関する X の終位相(final topology)と言う。

X の部分集合 U が X の終位相に関して開集合であるためには
各 i に対して (f_i)^(-1)(U) が X_i の開集合となることが必要十分である。

71 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 06:46:48
命題
Top を位相空間全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を Top における吸い込み(>>16)とする。

X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相(>>70)と一致するためには
S が次の性質 (FT) をもつことが必要十分である。

(FT):Z を位相空間とし、g:X → Z を写像とする。
g が連続であるためには各 g(f_i) が連続であることが必要十分である。

証明
必要性:
S が性質 (FT) をもつとする。
X の位相をτとする。
(f_i), i ∈ I に関する X の終位相をψとする。
σ を X の任意の位相とする。
性質 (FT) より X の恒等写像 1_X:(X, τ) → (X, σ) が連続であるためには
各 (f_i):X_i → (X, σ) が連続であることが必要十分である。
よって、σ ⊂ τ と σ ⊂ ψ は同値である。
よって τ = ψ である。

十分性:
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相であるとする。
Z を位相空間とし、g:X → Z を写像とし、各 (f_i)g が連続であるとする。
U を Z の開集合としたとき各 i に対して (f_i)^(-1)(g^(-1)(U)) は X_i の開集合である。
よって、g^(-1)(U) は X の開集合である。
よって、g は連続である。
よって、S は性質 (FT) を満たす。
証明終

72 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 06:51:43

X を位相空間とする。
R を X の同値関係とする。
商空間 X/R の位相は標準射 X → X/R に関する終位相(>>70)である。

73 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 06:58:42

(X_i), i ∈ I を位相空間の族とする。
X = ΣX_i を直和位相空間とし、μ_i:X_i → X を入射とする。
X の位相は (μ_i:X_i → X)_I に関する終位相(>>70)である。

74 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:06:50
命題
Top を位相空間全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし、(X_i), i ∈ I を Top の対象の族とする。
X = ΣX_i を直和位相空間とし、μ_i:X_i → X を入射とする。
このとき、吸い込み(>>16) P = (μ_i:X_i → X)_I は余積(>>35)である。

証明
S = (f_i:X_i → Y)_I を Top における吸い込みとする。
X は集合として (X_i), i ∈ I の直和であるから
写像 f:X → Y で各 i に対して f(μ_i) = f_i となるものが一意に存在する。
X の位相は (μ_i), i ∈ I に関する終位相(>>70)であるから
>>71より f は連続である。
よって、P = (μ_i:X_i → X)_I は余積(>>35)である。
証明終

75 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:17:38
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を全吸い込み(>>19)とする。
各 i ∈ に対して T_i = (g_(i,j):X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を全吸い込みとする。

このとき吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)は全吸い込みである。

証明
過去スレ018の734と双対原理(過去スレ018の159)。

76 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:20:32
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ I に対して T_i = (g_(i,j):X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みとする。

このとき、吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)が全吸い込み(>>19)であれば S は全吸い込みである。

証明
過去スレ018の735と双対原理(過去スレ018の159)。

77 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:29:38
命題
Top を位相空間全体の圏とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を Top における全吸い込み(>>19)とする。

このとき、X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相(>>70)と一致するためには
S が極値的(>>30)であることが必要十分である。

証明
必要性:
X の位相が (f_i), i ∈ I に関する X の終位相であるとする。
S = mT とする。
ここで、m:Y → X は Top における単射で、
T = (g_i:X_i → Y_i)_I は Top における吸い込み(>>16)である。

>>76より m は Top における全射である。
よって、m は Top における全単射である。
よって m は写像として全単射である。
各 i に対して f_i = m(g_i) であるから m^(-1)(f_i) = g_i である。
よって、>>71より m^(-1) は連続である。
よって m は Top における同型である。

十分性:
S が極値的であるとする。
X に (f_i), i ∈ I に関する終位相を与えたものを Y とする。
m:Y → X を恒等写像とする。
各 i に対して f_i:X_i → Y は連続である。
f_i = m(f_i) であるから>>71より m は連続である。
よって m は Top における単射である。
S は極値的であるから m は Top における同型である。
よって、X の位相は終位相である。
証明終

78 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:35:06
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
各 i ∈ I に対して T_i = (g_(i,j):X_(i,j) → X_i)、j ∈ J_i を吸い込みとする。
このとき、吸い込みの合成 S(T_i) (>>18)が極値的全吸い込み(>>30)であれば
S は極値的全吸い込みである。

証明
過去スレ018の803と双対原理(過去スレ018の159)。

79 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:37:09
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
射 f:X → Y に対して fS (>>17)が極値的全吸い込み(>>30)であれば
f は極値的全射(過去スレ018の580)である。

証明
過去スレ018の804と双対原理(過去スレ018の159)。

80 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:41:54
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
ある J ⊂ I に対して S_J = (f_j:X_j → X)_J が極値的全吸い込み(>>30)であれば
S は極値的全吸い込みである。

証明
過去スレ018の807と双対原理(過去スレ018の159)。

81 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:43:33
命題
S = (f_i:X_i → X)_I を吸い込み(>>16)とする。
ある j ∈ I に対して f_j:X_j → X が極値的全射(過去スレ018の580)であれば
S は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
過去スレ018の810と双対原理(過去スレ018の159)。

82 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 08:53:57

Ab をアーベル群全体の圏とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とし、(X_i), i ∈ I を Ab の対象の族とする。
直和 ΣX_i は Ab における余積(>>35)である。


83 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 09:02:11

Ab をアーベル群全体の圏とする。
f:G → H、g:G → H を Ab における射で f ≠ g とする。
f(a) ≠ g(a) となる a ∈ G がある。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
n ∈ Z に na を対応させる写像を h:Z → G とする。
h は準同型であり、fh(1) ≠ gh(1) であるから
Z は Ab の分離対象(過去スレ018の212)である。

一方、>>82より Ab は余積をもつ(>>50)。
よって、>>65より、Ab の任意の対象 G に対して小さい集合 I があり、
G が Z^(I) (>>63)の商対象となる。

84 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 09:12:10

Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
I を小さい集合(過去スレ017の321)とする。
(G_i)_I を Grp の対象の族とする。
(G_i)_I の自由積は Grp における余積(>>35)である。
自由積の定義とこの事実の証明は今は行わない。

85 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 09:16:32

Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
過去スレ018の215より Z は Grp の分離対象である。

一方、>>84より Grp は余積をもつ(>>50)。
よって、>>65より、Grp の任意の対象 G に対して小さい集合 I があり、
G が Z^(I) (>>68)の商対象となる。

86 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 10:41:16
定義
I をグラフ(過去スレ017の325)とし、C を圏とする。
F:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
錐(過去スレ018の838) α: X → F は
湧き出し(過去スレ018の713) (α(i):X → F(i))_I と見なせる。
このとき α は自然な湧き出しと言う。

87 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/27(土) 11:11:27
命題
任意の limit(過去スレ018の839)は極値的単湧き出し(過去スレ018の755)である。

証明
I をグラフ(過去スレ017の325)とし、C を圏とする。
F:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
各 i ∈ I に対して F(i) を X_i と書く。
>>86より lim F (過去スレ018の839) は湧き出しと見なせる。
L = (f_i:X → X_i)_I を lim F とする。

r:T → X、s:T → X があり Lr = Ls とする。
S = Lr とおけば、r は L により一意に決まる。
よって r = s である。
よって、L は単湧き出し(過去スレ018の715)である。

湧き出し S = (g_i:Y → X_i)_I と全射 e:X → Y があり。
L = Se とする。
即ち、各 i ∈ I に対して f_i = (g_i)e である。

u:i → j を I における任意の射とする。
F(u):X_i → X_j であり、f_j = F(u)f_i である。
よって、(g_j)e = F(u)(g_i)e である。
e は全射であるから g_j = F(u)g_i である。
よって、S は自然な湧き出し(>>86)である。
よって、射 f:Y → X で S = Lf となるものが存在する。
L = Se = (Lf)e = L(fe)
L は単湧き出しであるから fe = 1_X である。
よって e は断面(過去スレ018の430)である。
過去スレ018の885より、e は同型である。
よって、L は極値的単湧き出しである。
証明終

88 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 23:05:45
くまーは学会に関係ない低脳だ
だから学会の時には
うんこスレを書くつらねる

悔しいのおw

89 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 23:07:29
くまは前々スレで無職であることを自ら語った

またホモであるこもかたった

90 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 23:09:45
くまーのマンコの非存在予想

マンコは存在しない

91 :132人目の素数さん:2010/03/27(土) 23:12:34
出張でアメリカに行っていた
帰ってくる飛行機に中国人が数人乗っていた
そのうるさいことったら



92 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 00:17:57
>>88
> 書くつらねる

>>89
> こもかたった

まあ落着け。顔が真っ赤だぞ。

93 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 00:58:31
くまーはどうして学会にいかないのだ?


94 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 03:57:31
命題
次の図式において左右の四角が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であれば
外側の四角も引き戻し四角形である。

X  → Y  → Z
↓   ↓   ↓
U  → V  → W

証明
上の図式の各射に次のように名前を付ける。

  f   g
X  → Y  → Z
↓u  ↓v  ↓w
U  → V  → W
  h   k

l:T → Z
m:T → U
を次の図式を可換にする射の組とする。

    l
T   →   Z
↓m      ↓w
U  → V  → W
  h   k

(続く)

95 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 03:58:14
>>94の続き

次の図式は引き戻し四角形であるから
n:T → Y で gn = l かつ vn = hm となるものが一意に存在する。

  g
Y  → Z
↓v  ↓w
V  → W
  k

即ち、次の可換図式が得られる。

  n   g
T  → Y  → Z
↓m  ↓v  ↓w
U  → V  → W
  h   k

次の図式1は引き戻し四角形であるから
p:T → X で n = fp かつ m = up となるものが一意に存在する。

  f
X  → Y
↓u  ↓  図式1
U  → V
  h

gn = l であるから l = gfp である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終

96 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 04:19:50
命題
次の可換図式において外側の四角と右の四角が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であれば
左の四角も引き戻し四角形である。

X  → Y  → Z
↓   ↓   ↓
U  → V  → W

証明
上の図式の各射に次のように名前を付ける。

  f   g
X  → Y  → Z
↓u  ↓v  ↓w
U  → V  → W
  h   k

l:T → Y
m:T → U
を次の図式を可換にする射の組とする。

  l   g
T  → Y  → Z
↓m  ↓v  ↓w
U  → V  → W
  h   k

(続く)

97 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 04:20:32
>>96の続き

次の図式は引き戻し四角形であるから
p:T → X で gfp = gl かつ up = m となるものが一意に存在する。

  f   g
X  → Y  → Z
↓u      ↓w
U  → V  → W
  h   k

次の図式は引き戻し四角形であるから l = fp となる。

  g
Y  → Z
↓v  ↓w
V  → W
  k

よって、本命題の主張が得られる。
証明終

98 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 04:35:23
命題
T を終対象(過去スレ017の288)とする。
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であることと
P = X×Y であることは同値である。

P  → X
↓   ↓
Y  → T

証明
自明である。

99 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 04:48:37
命題
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であることと
f:X → Y が単射であることは同値である。

  1
X  → X
↓1  ↓f
X  → Y
  f

ここで 1:X → X は単位射である。

証明
自明である。

100 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 05:11:28
定義
C を圏とする。
C における次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

  f’
P  → S’
↓   ↓
X  → S
  f

f:X → S は圏 C/S (過去スレ017の463)の対象と見なせる。
同様に f’:P → S’は圏 C/S’の対象と見なせる。
このとき f’:P → S’を f:X → S の S’→ S による基底変換(base change)と呼ぶ。
f’:P → S’は f:X → S の S’→ S による引き戻し(pullback)とも言う。

101 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 05:19:23
定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M-射(過去スレ017の645)の任意の引き戻し(>>100)が M-射であるとき
M を引き戻しに関して安定(pullback stable)である、または
引き戻しに関して閉じている(closed under the formation of pullbacks)と言う。

102 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 05:35:44
命題
単射は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は単射であるとする。

  g
P  → S’
↓u  ↓v
X  → S
  f

r:T → P と s:T → P を gr = gs となる射とする。
vg = fu であるから fur = fus となる
f は単射であるから ur = us となる。
>>87より引き戻し四角形は単湧き出し(過去スレ018の715)であるから r = s である。
よって、g は単射である。
証明終

103 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 05:56:52
命題
正則単射(過去スレ018の456)は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は正則単射であるとする。

  g
P  → S’
↓u  ↓v
X  → S
  f

r:S → U と s:S → U を f = Ker(r, s) となる射とする。
g = Ker(rv, sv) を証明すればよい。

まず rvg = rfu = sfu = svg である。
p:T → S’を rvp = svp となる射とする。
f = Ker(r, s) であるから q:T → X で fq = vp となるものがある。
P は引き戻しであるから h:T → P で gh = p となるものが存在する。
>>102より g は単射であるからこのような h は一意である。
以上から g = Ker(rv, sv) である。
証明終

104 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 06:08:59
命題
引き込み(過去スレ018の328)は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であり、f は引き込みであるとする。

  g
P  → S’
↓u  ↓v
X  → S
  f

h:S → X で fh = 1_S となるものがある。
k = hv とおく。k:S’→ X である。
fk = fhv = v
P は引き戻しであるから r:S’→ P で
gr = 1_S’となるもがある。
よって g は引き込みである。
証明終

105 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 06:18:59
定義
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

  m’
T  → X
↓   ↓f
S  → Y
  m

m は単射であるとする。
(S, m) は Y の部分対象(過去スレ018の646)である。
>>102より m’も単射であるから (T, m’) は X の部分対象である。
このとき (T, m’) を (S, m) の f による逆像(inverse image)と呼ぶ。

106 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 06:43:34
定義
C を圏とする。
T = (g_i:X_i → Y)_I を C における吸い込み(>>16)とする。
T は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき lim T (過去スレ018の839)を S の多重引き戻し(multiple pullback)と言う。

これは射 f:X → Y と湧き出し S = (f_i:X → X_i)_I の対 (f, S) で
各 i ∈ I に対して f = g_if_i となるもので普遍性をもつものとして特徴付けられる。

107 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 07:42:43
低脳アホ くまー

108 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 08:36:06
命題
T = (g_i:X_i → Y)_I を吸い込み(>>16)とする。
(f, S) を T の多重引き戻し(>>106)とする。
各 g_i が単射であれば f も単射である。

証明
f:X → Y
S = (f_i:X → X_i)_I
とする。

r:U → X
s:U → X
fr = fs とする。
各 i ∈ I に対して f = g_if_i であるから
(g_if_i)r = (g_if_i)s である。
各 g_i は単射であるから (f_i)r = (f_i)s である。
>>87より、(f, S) は単湧き出しであるから r = s である。
証明終

109 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 08:43:48
              物価推移
           78年     89年    95年     2001   現在
米10キロ     3000円   3741円  3850円   2200円 2800円
マックバーガー  180円    190円   210円    59円  100円
牛肉100グラム  398円    200円   150円   80円   100円
卵10玉      250円    180円   180円   100円   120円
無調整牛乳1g 220円 180円   150円   120円  140円
建売一戸建て  2500万   6000万  4800万  3500万 2500万円
日経平均     6000円  30000円 18000円 14000円 10600円
賃金推移だとこんな感じかな
零細含めた
民間平均給与  500万    700万    650万    500万   350万
政府系職員    450万    750万    800万    850万   750万


公務員は現在の民間平均を信じないかもしれないが民間労働者のネラーなら実体験してるからわかるよなw
年収350万=平均月収29.1万 この額でさえ、ほんとにみんなこんなに稼いでるの?と感じる奴さえ増えてるだろうな。

くまーは無職だけど、生活保護で暮らしているの?

110 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 12:56:49
定義
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
Y の部分対象 (X, m) は次の条件を満たすとき
(X_i, m_i)_I の交わり(intersection)と呼ぶ。

(@) 各 i に対して m = m_if_i となる f_i:X → X_i がある。

(A) f:T → Y を各 i に対して f = m_ig_i となる
g_i:T → X_i が存在するような射とする。
このとき、f = mg となる g:T → X がある。

111 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 12:59:31
>>110の補足
m は単射であるから (A) の g は m と f により一意に決まる。

112 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 13:04:19
いろいろとゴタゴタ苦労して書いているが

homological algberaにしてもcategory theoryにしても

普通の数学の素養があれば誰でも証明出来るので

証明など書かないのがstandard

定義もキーポイントだけで十分


113 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 13:23:21
命題
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
f:X → Y を射とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) (X, f) は (X_i, m_i)_I の交わりである。

(A) 湧き出し S = (f_i:X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i:X_i → Y)_I の多重引き戻し(>>106)となる。

証明
(@) ⇒ (A)
(X, f) を (X_i, m_i)_I の交わりとする。
>>110の(@)より、各 i に対して f = m_if_i となる f_i:X → X_i がある。
S = (f_i:X → X_i)_I とおけば >>110の(A) と>>111より
(f, S) は吸い込み (m_i:X_i → Y)_I の多重引き戻しである。

(A) ⇒ (@)
湧き出し S = (f_i:X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i:X_i → Y)_I の多重引き戻しであるとする。
>>108より f は単射であるから (X, f) は Y の部分対象である。
明らかに (X, f) は (X_i, m_i)_I の交わりである。
証明終

114 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 13:49:09
>>112
このシリーズのすべてに当てはまりますが
(というより数学書のほとんどにあてはまるでしょうが)
各命題は演習問題でその証明は解答と
捉えてください(しかもその解答は間違っている場合が往々にしてあります)。
自分で考えずに他人の解答を先に見るかどうかは読者の自由です。
私としては先ず解答を見る前に自分で解こうと努力し、どうしても歯が立たなかったら
ちらっと解答を見る。
それから再び自分で考えるというような手順を踏むことを薦めます。

なお、命題自体が間違っている場合があるので証明に取り掛かる前に
レス番号で検索してその命題が修正されていないか確かめたほうがいいでしょう。

因みに簡単な命題でも証明を付けているのは私の勉強を兼ねているからです。
さらに付け加えると圏論は基礎的なことをおろそかにしていると
いつの間にか理解不能になるので舐めないほうがいいです。

115 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 14:14:09
>>112
> homological algberaにしてもcategory theoryにしても普通の数学の素養があれば誰でも証明出来る

昔、Langが代数のテキストにそんな事書いてたっけ。
60年代的思考だな。

116 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 14:45:05
命題
(X_i, m_i)_I を Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, f) と (X’, f’) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。
このとき (X, f) と (X’, f’) は同型(過去スレ018の656)である。

証明
>>113より、湧き出し S = (f_i:X → X_i)_I があり (f, S) は
吸い込み (m_i:X_i → Y)_I の多重引き戻し(>>106)となる。
同様に湧き出し S’ = (g_i:X’ → X_i)_I があり (f’, S’) は
吸い込み (m_i:X_i → Y)_I の多重引き戻しとなる。

吸い込み (m_i:X_i → Y)_I を F とおく。
F は考えている圏における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
(f, S) は lim F (過去スレ018の839)であるから
Cone(F) (過去スレ018の840)の終対象(過去スレ017の288)である。

同様に (f’, S’) は Cone(F) の終対象である。

よって、(f, S) および (f’, S’) は Cone(F) の対象として同型である。
よって、同型 h:X → X’で f = f’h となるものが存在する。
よって、(X, f) と (X’, f’) は Y の部分対象として同型である。
証明終

117 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 14:52:08
注意
Y の部分対象の族 (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は
Y の部分対象の類(過去スレ017の323) {(X_i, m_i); i ∈ I} のみに依存し、
写像 I → Sub(Y) によらない。
ここで Sub(Y) は Y の部分対象全体の類を表す。

118 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 14:59:00

Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Y を Set の対象とする。
(X_i)_I を Y の部分集合の族とする。
各 i に対して m_i:X_i → Y を包含写像とする。
(X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩X_i, m) である。
ここで、m:∩X_i → Y は包含写像である。

119 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 15:01:48

Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Y を Top の対象とする。
(X_i)_I を Y の部分空間の族とする。
各 i に対して m_i:X_i → Y を包含写像とする。
(X_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩X_i, m) である。
ここで、m:∩X_i → Y は包含写像である。

120 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 15:04:37

Grp を群全体の圏(過去スレ017の342)とする。
G を Grp の対象とする。
(H_i)_I を G の部分群の族とする。
各 i に対して m_i:H_i → G を包含写像とする。
(H_i, m_i)_I の交わり(>>110)は (∩H_i, m) である。
ここで、m:∩H_i → G は包含写像である。

121 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 15:35:08
>>115
60年代の思考?はあ?2千年前であっても、正しいことは正しいだろw
おまえの腹話術にはあきれるわw

122 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 15:42:28
言い換えに過ぎないことを延々とやることに意味があるのか?

代数的整数論をやりたいなら

準備はいい加減にして

本格的にやってみてはどうか?

たとえば、整数論ではないが、永田さんのLocal Ringsなんて

単刀直入に本質に迫っているのだが、準備のナンセンスな一般化で

お茶を濁していないで、数論の深い部分をなぜやらないのか?

カテゴリーなんて、何たらの本を法として参照でいいではないか?

123 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 15:56:08
画アニコ画アニコ画アニコ画アニコ画アニ
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コニア画コニア画コニア画コニア画コニア
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コニア画コニア画コニア画コニア画コニア
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124 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 15:56:49
画アニコ画アニコ画アニコ画アニコ画アニ
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125 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/28(日) 18:44:10
>>122
永田氏のやり方は尊重します。
しかし彼のやり方が唯一の正しいやり方とは限らない。
アプローチの方法はいろいろあります。
私のアプローチは(大部分自明な)準備を十分にして本論はその自明な系と見なすことです。

126 :132人目の素数さん:2010/03/28(日) 22:15:32
>>121

幾等図星を突かれたからって、そうファビョルな、チョン。

127 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 01:29:27
>>114

数学をなめているのはお前だよ

128 :くまーものがたり:2010/03/29(月) 01:35:47
くまーは学会にはいけなかった

いく理由がなかったからだ
そんなところにいったって得るものはない
第一行きかたがわからない

駅に行って学会までの切符をくださいといってみた

すごすごとかえるじぶんの惨めさに我慢ができない
だれもかれも冷たい目で見る

これじゃまるで猫みたいだ

つづくことがあるだろうか 俺さま

129 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 01:38:20
代数的整数論から逃げるkummer
かっこつけてる圏論か
言い訳がましい坊やだね

130 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:07:26
命題
任意の余極限(過去スレ018の847)は極値的全吸い込み(>>30)である。

証明
>>87と双対原理(過去スレ018の159)。

131 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:12:50
命題
次の図式において左右の四角が押し出し四角形(過去スレ017の867)であれば
外側の四角も押し出し四角形である。

X  → Y  → Z
↓   ↓   ↓
U  → V  → W

証明
>>94と双対原理(過去スレ018の159)。

132 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:18:41
命題
次の可換図式において外側の四角と左の四角が押し出し四角形(過去スレ017の867)であれば
右の四角も押し出し四角形である。

X  → Y  → Z
↓   ↓   ↓
U  → V  → W

証明
>>96と双対原理(過去スレ018の159)。

133 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:24:21
命題
I を始対象(過去スレ017の288)とする。
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であることと
P = X+Y (>>35)であることは同値である。

I  → X
↓   ↓
Y  → P

証明
自明である。

134 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:27:10
命題
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であることと
f:X → Y が全射であることは同値である。

  f
X  → Y
↓f  ↓1
Y  → Y
  1

ここで 1:Y → Y は単位射である。

証明
自明である。

135 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:35:46
定義
C を圏とする。
C における次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であるとする。

  f
S  → X
↓   ↓
S’ → P
  f’

f:S → X は圏 (S↓C) (過去スレ017の470)の対象と見なせる。
同様に f’:S’→ P は圏 (S’↓C) の対象と見なせる。
このとき f’:S’→ P を f:S → X の S → S’による基底変換(base change)と呼ぶ。
f’:S’→ P は f:S → X の S → S’による押し出し(pushout)とも言う。

136 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 09:38:11
定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M-射(過去スレ017の645)の任意の押し出し(>>135)が M-射であるとき
M を押し出しに関して安定(pushout stable)である、または
押し出しに関して閉じている(closed under the formation of pushouts)と言う。

137 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:20:39
命題
全射は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>102と双対原理(過去スレ018の159)。

138 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:22:37
命題
正則全射(過去スレ018の558)は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>103と双対原理(過去スレ018の159)。

139 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:23:59
命題
断面(過去スレ018の430)は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
>>104と双対原理(過去スレ018の159)。

140 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:31:07
定義
次の図式が押し出し四角形(過去スレ017の867)であるとする。

  e
X  → Q
↓f  ↓
Y  → Q’
  e’

e は全射であるとする。
(e, Q) は X の商対象(過去スレ018の653)である。
>>137より e’も全射であるから (e’, Q’) は Y の商対象である。
このとき (e’, Q’) を (e, Q) の f による順像(direct image)と呼ぶ。

141 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:37:02
定義
C を圏とする。
T = (g_i:Y → X_i)_I を C における湧き出し(過去スレ018の713)とする。
T は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき colim T (過去スレ018の847)を S の多重押し出し(multiple pushout)と言う。

これは射 f:Y → X と吸い込み(>>16) S = (f_i:X_i → X)_I の対 (S, f) で
各 i ∈ I に対して f = f_ig_i となるもので普遍性をもつものとして特徴付けられる。

142 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:39:29
命題
T = (g_i:Y → X_i)_I を湧き出し(過去スレ018の713)とする。
(S, f) を T の多重押し出し(>>141)とする。
各 g_i が全射であれば f も全射である。

証明
>>108と双対原理(過去スレ018の159)。

143 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:51:01
定義
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
Y の商対象 (e, X) は次の条件を満たすとき
(e_i, X_i)_I の余交わり(cointersection)と呼ぶ。

(@) 各 i に対して e = f_ie_i となる f_i:X_i → X がある。

(A) f:Y → T を各 i に対して f = g_ie_i となる
g_i:X_i → T が存在するような射とする。
このとき、f = ge となる g:X → T がある。

144 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 10:52:19
>>143の補足
e は全射であるから (A) の g は e と f により一意に決まる。

145 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 11:45:27
菅直人財務相と亀井静香金融・郵政改革担当相のバトルが再燃した。28日放送のテレビ朝日
 「サンデープロジェクト」に出演し、郵政改革法案の概要を発表する直前の連絡をめぐり
 水掛け論を展開。鳩山内閣の支持率回復につなげるどころか、閣内の不協和音を
 あらためて印象付けてしまった。

 亀井氏が今月25日に発表した「ゆうちょ銀行」の預金限度額引き上げ方針。1000万円から
 2000万円への倍増を示すフリップが戦いのゴングとなった。

 亀井氏「(郵政見直しを)総理は了解されたということで、菅さんにも全部申し上げた」
 菅氏「(概要の公表まで限度額の)数字は私も知りませんでした。仕組みの問題は事前に
  相談されていました」
 亀井氏「電話で言ったでしょ」 菅氏「数字は聞いてませんって」
 亀井氏「直嶋さん(正行経済産業相)、小沢さん(一郎民主党幹事長)、重野さん(安正社民党
  幹事長)にも話をしましたよ。数字のない話をすると思いますか?私がイカれててもそんな
  ことする訳ない。冗談じゃない」

 興奮気味の亀井氏は、2人の間に座る福島瑞穂消費者担当相(社民党党首)の存在を無視
 するように、菅氏の方に身を乗り出して口角泡を飛ばした。対照的に菅氏は、語気を強める
 場面はあったが、亀井氏の方を見ようともしなかった。福島氏は「社民党としては了承している」と
 亀井氏を援護。

 足並みのそろわない3閣僚のドタバタぶりばかりが目立ち過ぎて“反撃”の機会を失ったのは
 自民党の谷垣禎一総裁、公明党の山口那津男代表ら野党側。「政府の中でやってくださいよ。
 議論にならないよ!!」と内輪もめにあきれ顔だった。(抜粋)
 http://www.sponichi.co.jp/society/news/2010/03/29/01.html

・亀井氏が「首相からは全然(苦情の)電話がない。菅さんにも全部申し上げた」と発言すると、
 菅氏は「首相が言うことが首相の認識」と反論し、「私は数字は聞いてません」とかみついた。
 これに亀井氏は「申し上げたじゃないか」「あなたの耳が悪いんだよ」とむきになった。(抜粋)
 http://mainichi.jp/life/money/news/20100329k0000m010056000c.html

146 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 11:58:20
>余交わり

どうせどこかのものを写しているだけなんだからw
全部英語で書けよw

147 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 12:52:55
自滅党は永久に自滅です。

148 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:04:48
命題
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
f:Y → X を射とする。
このとき次の条件は同値である。

(@) (f, X) は (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)である。

(A) 吸い込み S = (f_i:X_i → X)_I があり (S, f) は
湧き出し (e_i:Y → X_i)_I の多重押し出し(>>141)となる。

証明
>>113と双対原理(過去スレ018の159)。

149 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:15:22
命題
(e_i, X_i)_I を Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
(f, X) と (f’, X’) を (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)とする。
このとき (f, X) と (f’, X’) は同型(過去スレ018の667)である。

証明
>>116と双対原理(過去スレ018の159)。

150 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:19:52
注意
Y の商対象の族 (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)は
Y の商対象の類(過去スレ017の323) {(e_i, X_i); i ∈ I} のみに依存し、
写像 I → Quo(Y) によらない。
ここで Quo(Y) は Y の商対象全体の類を表す。

151 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:28:55

Set を集合の圏とする。
X を Set-対象とする。
過去スレ018の672より、X の商対象の同値類は X 上の同値関係と見なせる。
このとき、X の同値関係の族 (R_i)_I の余交わり(>>143)は
(R_i)_I で生成される同値関係 R である。

152 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:32:12

Grp を群の圏とする。
G を Grp-対象とする。
過去スレ018の677より、G の商対象の同型類は G の正規部分群と見なせる。

このとき、G の正規部分群の族 (N_i)_I の余交わり(>>143)は
(N_i)_I で生成される G の正規部分群 N である。

153 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:45:23
G を群とし N をその正規部分群とする。
H = G/N とおく。
f:G → H を標準写像とする。
C = {(x, y) ∈ G×G; x ≡ y (mod N)} = {(x, y) ∈ G×G; f(x) = f(y)}
とおく。
C は G×G の部分群である。
p_i, p_2 を射影 G×G → G とし、m:C → G×G を包含写像とする。
p = (p_1)m、q = (p_2)m とおく。

次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。

  p
C  → G
↓q  ↓f
G  → H
  f

154 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:50:02
>>153を圏論的に解釈して次の定義が得られる。

定義
次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとき、
対 (p, q) を f の合同関係と呼ぶ。

  p
C  → X
↓q  ↓f
X  → Y
  f

155 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 13:55:02
定義
次ぎのような射の対 (p, q) を考える。

  p
C  → X
↓q
X

対 (p, q) がある射 X → Y の合同関係(>>154)となるとき
対 (p, q) を合同関係と呼ぶ。

156 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 14:25:54
命題
次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
f = Coker(p, q) (過去スレ017の850)である。

  p
U  → X
↓q  ↓f
X  → Y
  f

証明
次の図式において f = Coker(r, s) とする。

  r
T  → X
↓s  ↓f
X  → Y
  f

このとき、h:T → U で r = ph, s = qh となるものがある。

g:X → S を gp = gq となる射とする。
gr = gph = gqh = gs
よって、k:Y → S で g = kf となるものがある。
f は全射であるから k は g と f により一意に決まる。
よって f = Coker(p, q) である。
証明終

157 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 14:44:28
命題
次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。
即ち (p, q) が f の合同関係(>>154)であるとする。
このとき、f が正則全射(過去スレ018の558)であれば
この図式は押し出し四角形(過去スレ017の867)でもある。

  p
U  → X
↓q  ↓f
X  → Y
  f

証明
次の図式は可換である。

  1
X  → X
↓1  ↓f
X  → Y
  f

ここで 1 は X の単位射である。
よって、h:X → U で ph = 1_X, qh = 1_X となるものがある。

(続く)

158 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 14:45:14
>>157の続き

一方、次の可換図式を考える。

  p
U  → X
↓q  ↓r
X  → Z
  s

rp = sq であるから
r = rph = sqh = s

>>156より、f = Coker(p, q) であるから
g:Y → Z で r = gf となるものがある。
f は全射であるから g は r と f により一意に決まる。
よって 本命題の主張が得られる。
証明終

159 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 14:46:44
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照)

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします

160 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 14:48:14
文部科学省は大学の女性教員を増やす為に、その経費を一定期間国が負担するという
施策を実施している。これに伴って

奈良女子大学の数学教室が女性限定の人事・公募(具体的な内容は>>2以降に掲載予定)

を行うなど 女性限定公募の動きが、数学界でも広がっている。
院生の女性割合をはるかに超える女性を、大学教員に優先採用することは、
その分だけ、実力のある男性数学者のポストを奪うことになり、
日本の数学の研究のレベルの低下を招くだろう。
文部科学省のこの愚かな施策を放置しても良いのか? 歴史の法廷に官僚は立てるのか?
本来、男女に関わりなく、業績で評価されて、アカポスに就くべきものだ。
これを施策で捻じ曲げてしまうことを、数学界は看過するのか?
財団法人 日本数学会はこのようなことを許すのか?
女性限定公募を行う数学教室は、公平な数学者の人事について責任ととれるのか?
ここでは全ての女性限定数学者の公募を転載し、結果を報告する。
この趣旨に賛同する方々のご協力をお願い致します。

関連スレ:
【いい気に】女性数学者の困ったところ2【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1253778453/
【いい気に】女性数学者の困ったところ1【なるな】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209592716/
研究業績の少ない大学教員名を晒す2
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255962937/
日本の数学者の実力とデータベース
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255578159/

161 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:07:56
定義
C を圏とする。
C において任意の差核(過去スレ017の772)が存在するとき C は差核をもつという。

162 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:09:45
定義
C を圏とする。
C において任意の差余核(過去スレ017の850)が存在するとき C は差余核をもつという。

163 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:13:24
定義
C を圏とする。
C において任意の2-吸い込み(>>16)の引き戻し(過去スレ017の866)が存在するとき
C は引き戻しをもつという。

164 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:16:45
定義
C を圏とする。
C において任意の2-湧き出し(過去スレ018の713)の押し出し(過去スレ017の867)が
存在するとき C は押し出しをもつという。

165 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:19:54
定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の族の交わり(>>110)が存在するとき
C は交わりをもつと言う。

166 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:22:19
注意
>>165において部分対象の族の添字の定義域は類(過去スレ017の323)であり
必ずしも小さい集合とは限らない。

167 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:23:26
定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の族の余交わり(>>143)が存在するとき
C は余交わりをもつと言う。

168 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:24:37
定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限個の交わりをもつと言う。

169 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:25:27
定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限個の余交わりをもつと言う。

170 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/29(月) 15:34:52
定義
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
Ob(I) と Hom(I) が有限集合のとき I を有限グラフと呼ぶ。

171 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 15:36:44
おまえのホンは定義の羅列だなw
定理とかたまに出てくれば
証明は自明wWWW

172 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 16:43:54
kummer ってさ、いままでも馬鹿だと思ってたけどさ、このごろとくにひどいね。
春だからな。

173 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 16:56:35
くまー
論文書いた?

174 :β:2010/03/29(月) 17:03:13
低脳くまー
いつまで無意味なことを続けているんだw?
仕事さがせよw 無職なんだろw

175 :132人目の素数さん:2010/03/29(月) 17:06:06

くまものがたりの再開はまだ〜〜?




176 :132人目の素数さん:2010/03/31(水) 05:00:59
>>175
つまんねーし

177 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:48:00
定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とし
F:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
I が有限グラフ(>>170)のとき F を有限図式という。

178 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:49:32
定義
C を圏とする。
任意の有限図式(>>177)の極限(過去スレ018の839)が存在するとき
C を有限完備(finitely complete)という。

179 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:50:32
定義
C を圏とする。
C の任意の有限図式(>>177)の余極限(過去スレ018の847)が存在するとき
C を有限余完備(finitely cocomplete)という。

180 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:53:27
定義
完備(過去スレ017の828)かつ交わりをもつ(>>165)圏は強完備(strongly complete)と呼ばれる。

181 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:55:12
定義
余完備(過去スレ017の829)かつ余交わりをもつ(>>167)圏は強余完備(strongly cocomplete)と呼ばれる。

182 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 05:56:35
記法
C を圏とする。
C の対象の族 (X_i)_I に対してその積(過去スレ018の858) Π(X_i)_I を
Π[i ∈ I]X_i とも書く。

同様に余積(>>35) Σ(X_i)_I を Σ[i ∈ I]X_i とも書く。

183 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 06:01:51
命題
積(過去スレ018の910)と差核をもつ(>>161)圏は完備(過去スレ017の828)である。

証明
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし
F:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
lim F を構成すればよい。

u ∈ Hom(I) に対してその定義域(source)を s(u) と書き、
値域(target)を t(u) と書いた(過去スレ017の325)。

P = Π[i ∈ Ob(I)]F(i) (>>182)とおく。
各 i ∈ Ob(I) に対して p_i:P → F(i) を射影とする。

Q = Π[u ∈ Hom(I)]F(t(u)) (>>182)とおく。
各 u ∈ Hom(I) に対して q_u:Q → F(t(u)) を射影とする。

f:P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
     f
P    →   Q
↓p_t(u)    ↓q_u  図式1
F(t(u)) → F(t(u))
   1_F(t(u))

g:P → Q を各 u ∈ Hom(I) に対して次の図式を可換にする射とする。
     g
P    →   Q
↓p_s(u)    ↓q_u  図式2
F(s(u)) → F(t(u))
    F(u)

(続く)

184 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 06:04:30
>>183の続き

(K, m) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)とおく。
即ち次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
 m  f
K → P ⇒ Q
    g

湧き出し(過去スレ018の713) ((p_i)m:K → F(i))_Ob(I) が
lim F に等しいことを証明しよう。
u:i → j を I の任意の射とする。

F(u)((p_i)m)
= F(u)((p_s(u))m) ← i = s(u) より
= (q_u)gm     ← 図式2の可換性より
= (q_u)fm     ← m = Ker(f, g) より
= (p_t(u))m    ← 図式1の可換性より
= (p_j)m     ← j = t(u) より

よって、((p_i)m:K → F(i))_Ob(I) は自然な湧き出し(>>86)である。
(h_i:T → F(i))_Ob(I) を自然な湧き出しとする。
h = <h_i> (過去スレ018の872) とおく。

u:i → j を I の任意の射とする。
(q_u)fh = (p_t(u))h = (p_j)h = h_j = F(u)(h_i)
(q_u)gh = F(u)((p_s(u))h) = F(u)((p_i)h) = F(u)(h_i)
よって、fh = gh

m = Ker(f, g) より、k:T → K で h = mk となるものが一意に存在する。
即ち、各 i ∈ Ob(i) に対して (p_i)mk = (p_i)h = h_i
よって、自然な湧き出し ((p_i)m:K → F(i))_Ob(I) は lim F である。
証明終

185 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 13:59:04
>>168の修正

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の部分対象の有限個の交わり(>>110)が存在するとき
C は有限交わりをもつと言う。

186 :132人目の素数さん:2010/03/31(水) 14:52:39
>>176

そうだな
ないとつまんねえな

187 :くまーものがたり:2010/03/31(水) 16:10:52
くまーは焦っていた

みんなが学会に行っているあいだに 仕事 をしておかなくては!
俺さまの大事な 仕事 を理解しないやつらは
学会なんかで時間を潰している

くまーは優越感に浸りながら
自分が無職でよかったと思った

そして妻も子供も温かい家庭も
そんなものもたなくてよかったと思った

くまーは すっぱいぶどう が嫌いだった

つづく

188 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 19:49:06
>>169の修正

定義
C を圏とする。
C の任意の対象 X おいて X の任意の商対象の有限個の余交わり(>>143)が存在するとき
C は有限余交わりをもつと言う。

189 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 19:55:41
命題
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)であるとする。

  u
P  → X
↓v  ↓<1_X, f>
X  → X×Y
<1_X, g>

このとき u = v であり、(P, u) = Ker(f, g) である。

証明
p:X×Y → X
q:X×Y → Y
を射影とする。

p:X×Y → X
q:X×Y → Y
を射影とする。

p1_X, f>u = (1_X)u = u
p<1_X, f>v = (1_X)v = v
である。
一方、<1_X, f>u = <1_X, f>v であるから u = v である。

fu = q<1_X, f>u = q<1_X, g>u = gu である。

(続く)

190 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 19:56:24
>>189の続き

h:T → X を fh = gh となる射とする。

p<1_X, f>h = h = p<1_X, g>h
q<1_X, f>h = fh = gh = q<1_X, g>h
よって、
<1_X, f>h = <1_X, g>h
よって、k:T → P で h = uk となるものが一意に存在する。
よって、(P, u) = Ker(f, g) である。
証明終

191 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 19:59:59
命題
有限積(過去スレ018の911)と有限交わりをもつ(>>185)圏は差核をもつ(>>161)。

証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。

f:X → Y
g:X → Y
を C における射とする。

<1_X, f>:X → X×Y
<1_X, g>:X → X×Y
を過去スレ018の872で定義した射とする。

p<1_X, f> = 1_X は単射であるから <1_X, f> も単射である。
同様に <1_X, g> も単射である。

よって、<1_X, f> と <1_X, g> の交わり (P, h) が存在する。
即ち、次の図式は引き戻し四角形(過去スレ017の866)である。

P  → X
↓   ↓<1_X, f>
X  → X×Y
<1_X, g>

>>189より P → X は f と g の差核である。
証明終

192 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 20:03:02
命題
積(過去スレ018の910)と有限交わりをもつ(>>185)圏は完備(過去スレ017の828)である。

証明
C を積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より C は差核をもつ。
よって、>>183より C は完備である。
証明終

193 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 20:52:26
命題
完備かつ冪良(過去スレ018の650)な圏は強完備(>>180)である。

証明
C を完備かつ冪良な圏とする。
X を C の対象とし、(X_i, m_i)_I を X の部分対象の族とする。

C は冪良であるから小さい集合 J と X の部分対象の族 (Y_j, f_j)_J があり、
X の任意の部分対象 (Y, f) に対して j ∈ J があり、
(Y, f) と (Y_j, f_j) は同型となる。

よって、各 i ∈ I に対して α(i) ∈ J があり、
(X_i, m_i) と (Y_α(i), f_α(i)) は同型である。

C は完備であり、α(I) は小さい集合であるから (Y_α(i), f_α(i))_α(I) の
多重引き戻し(>>106)が存在する。
よって>>113より、(Y_α(i), f_α(i))_α(I) の交わり (Z, g) が存在する。
(Z, g) は (X_i, m_i)_I の交わりである。
よって、C は強完備である。
証明終

194 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 20:57:07

Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は積を持つ。
>>118より Set は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Set は冪良であるから>>193より強完備である。

195 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 20:58:54

Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は積を持つ。
>>120より Grp は有限交わりをもつ。
よって、>>192より C は完備である。
Grp は冪良であるから>>193より強完備である。

196 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 21:03:06

Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
Top は積を持つ。
>>119より Top は有限交わりをもつ。
よって、>>192より Top は完備である。
Top は冪良であるから>>193より強完備である。

197 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 22:11:57

C を順序集合とし圏と見なす(過去スレ017の281)。
C が完備であるためには C が完備束(過去スレ018の914)であることが必要十分である。

証明
必要性:
C が完備であるとする。
過去スレ018の916より C は完備束である。

十分性:
C が完備束であるとする。
C の元の任意の族 (x_i)_I に対して inf(x_i) は (x_i)_I の積である。
よって、C は積をもつ。
x を C の任意の元とする。
y と z を x の部分対象とする。
即ち、y ≦ x、z ≦ x とする。
inf(y, z) は y と z の交わりである。
よって、>>192より C は完備である。
証明終

198 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 22:15:47
命題
余積(>>50)と有限余交わりをもつ(>>188)圏は余完備(過去スレ017の829)である。

証明
>>192と双対原理(過去スレ018の159)。

199 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 22:18:39
命題
余完備(過去スレ017の829)かつ余冪良(過去スレ018の660)な圏は強余完備(>>181)である。

証明
>>193と双対原理(過去スレ018の159)。

200 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 22:23:44

Set を集合の圏(過去スレ017の342)とする。
Set は余積を持つ(>>69)。
>>151より Set は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Set は余冪良であるから>>199より強余完備である。

201 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 22:26:19

Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Grp は余積を持つ(>>84)。
>>152より Grp は有限余交わりをもつ。
よって、>>198より C は余完備である。
Grp は余冪良であるから>>199より強余完備である。

202 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 23:48:51
命題
余積(>>50)と差余核をもつ(>>162)圏は余完備(過去スレ017の829)である。

証明
>>183と双対原理(過去スレ018の159)。

203 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/03/31(水) 23:55:21
>>200

Set が余完備であることは、過去スレ017の852より Set が差余核をもつことと、
>>202からも分かる。

204 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 00:01:02

Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
X と Y を Top の対象とする。
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y; x ∈ X} とおく。
S で生成される Y の同値関係を R とする。
商空間 Y/R は Coker(f, g) (過去スレ017の850)である。
よって Top は差余核をもつ(>>162)。

205 :132人目の素数さん:2010/04/01(木) 00:03:39
>>187
おまえ才能ないよ

206 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 00:06:16

Top を位相空間の圏(過去スレ017の342)とする。
>>74より、Top は余積を持つ。
>>204より、Top は差余核を持つ。
よって、>>202より Top は余完備である。
Top は余冪良であるから>>199より強余完備である。

207 :132人目の素数さん:2010/04/01(木) 14:10:17
偉くない人の厳密主義は相手にされない。

208 :くまーものがたり:2010/04/01(木) 15:01:26
くまーは本当に焦っていた

くまーものがたりはいまだにつづく
いらいらする
だから みえみえの なりすましで
「おまえ才能ないよ」などと書いてはみたが
いつも自分に言われていることを自分自身に言ってしまったのだ

うっかりしていたが すぐに気を取り直して
自分自身に言い聞かせた
俺様は ブルバキや グロタンさまより
厳密に 数学を 再構成するのだ 
この し ご と は 誰にも邪魔されない

いつものように 自惚れ鏡に みとれるくまーであった
誰にも邪魔されない
そして誰にも相手にされないのであった

つづく

209 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 15:02:19

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差核を持つ(>>161)。

証明
f:X → Y
g:X → Y
を CTop における射とする。

K = {x ∈ X; f(x) = g(x)} とおく。
Y はHausdorffだから K は X の閉集合である。
よって、K はコンパクトである。
h:K → X を包含写像とすれば (K, h) = Ker(f, g) (過去スレ017の772)である。
証明終

210 :くまーものがたり:2010/04/01(木) 16:22:46
くまーは焦っていた

くまーは他人にほめてもらいたくて焦っていた
俺様はこれだけながいあいだ スレを 19 も
潰しながら し ご と を続けてきた
誰か誉めてくれたっていいじゃないか

猫でもいい 誉めてくれ

そして自分の修士論文のことを思い出した
手書きの日本語だ

英語で書けばよかったなあ
でも 俺様は日本人だ
だから日本語で数学をするのだ
数学用語も き ち ん と 日本語に訳すのだ
でないと日本人になりすませないじゃないか

くまーは自分がどこの国籍だか忘れかけていた

つづく

211 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 18:57:36

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Tychonoffの定理(過去スレ009の432)よりCTop は積を持つ(>>161)。
>>209より CTop は差核を持つ(>>161)。
よって、>>183より CTop は完備である。
CTop は冪良であるから>>193より強完備である。

212 :猫の嵐 ◆ghclfYsc82 :2010/04/01(木) 19:19:00
>>210
ワシはクンマーさんを尊敬しますナ、アンタは心底から見下すけどやね。




213 :132人目の素数さん:2010/04/01(木) 19:25:32
>>212
猫に見下されて落ち込むなあ
すっごいダメージやなあ
(そういうのを反語っていうのよ)

猫に尊敬されるくまーはかわいそうやなあ

猫は自分の存在がすべてネガティブなものになっていることに
きづかないのかなあ

アホだなあ

214 :くまーものがたり:2010/04/01(木) 19:30:11
くまーは苦笑した

猫が尊敬してくれる
いくら猫でもいい

いったって

本当に書いたのは俺様じゃない
ねこって馬鹿だな
でもいいやつだな
友達になりたい

そして抱き合ってなめ回してあげたい

くまーはそんな妄想に耽るのであった

つづく

215 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 19:32:51
圏論は誤解されやすい。
何故かというと命題の価値はその証明の難しさに比例するという誤った考えが
広まっているからである。
命題でなくてもある概念でも同じことが言える。
その概念の価値はそれを理解する難しさに比例するというわけである。
数学者でもこの考えを持っている人は多い。

この考えに対する反例はいくらでもある。
例えば圏論の応用であるホモロジー代数の個々の命題は自明なものが多い。
しかしこれを使って得られた定理にはそれなしには証明するのが非常に難しいものがある。
例えば Auslander-Buchsbaum による正則局所環が一意分解整域であるという命題がある。
彼らがホモロジー代数を使ってこれを証明するまでは伝統的な方法(Krull、永田)では
特殊な正則局所環に対してしか証明出来なかった。
また Serreによる正則局所環の局所化が正則局所環であるという定理もそうである。
ホモロジー代数を使えばこれは自然に証明されてしまう。
しかし伝統的な方法では非常に難しい。
現在でもホモロジー代数を使わない証明があるのかどうか私は知らない。

Dirichletの部屋割り論法もそうだろう。
これ自体は自明であるがこれを使って証明される整数論の命題には重要なものが多い。

逆に証明が難しくてもあまり価値のない命題というのがある。
例えば位相空間の距離付け可能性の必要十分条件を見つけるという問題があったが
その結果が後の数学に大きい影響を与えたとは思えない。
志村氏が「記憶の記憶の切繪図」という本の中で述べているが
Artin-Whaplesの定理もそうかもしれない。
これはある種の積公式の成り立つ体は代数体と有限体上の1変数代数関数体しかないというもの。
この結果が後の数学に大きい影響を与えたということはあまり聞かない。
4色問題もそうかもしれない。

216 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/01(木) 19:37:44
「記憶の切繪図」

217 :132人目の素数さん:2010/04/01(木) 19:44:20
>>212
> >>210
> ワシはクンマーさんを尊敬しますナ、アンタは心底から見下すけどやね。

俺はKummerを尊敬はしないが、少なくとも彼の情熱に感心はするね。
>>210は他人を貶す事しか出来ない人間の屑である事に異論はないよ。
ま、>>210はホモとかチョンとか言われても反論出来ない低レベルである事は間違いないな。

218 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 01:42:01
>>217
jien-ha-migurushii-zo
語るに落ちるとはこのことだよ
ホモとかチョンといわれて反論できないなどと書く人間性のほうが
低劣であることだけは間違いないなあ

219 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 01:45:28
>>215
数学者でもない人間がなにをえらそうなことをほざくんだ

220 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 02:42:11
KUMMerの書いた論文見てみたい。どこで読めるの。

221 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 02:46:06
>>218
たしかに書き込み時間を見ると自演らしい。KUMMerさんって卑怯なんだな。がっかり。

222 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 08:33:21
補題
X をコンパクト空間とする。
Y を Hausdorff空間とする。
f:X → Y を連続写像とする。
このとき f は閉写像である。

証明
C を X の閉集合とする。
X はコンパクトであるから C もコンパクトである。
よって、f(C) は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
Y はHausdorff空間であるから f(C) は Y の閉集合である。
よって、f は閉写像である。
証明終

223 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 09:18:58
くまーの自演はすぐにばれるなw

224 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 09:20:24
>>219 そうだよね

225 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 09:21:45
>圏論は誤解されやすい。


ていうか、category theoryがどうたらということではなくて
くまがうざいし、うんこたれながすな
ということなんだがねw

そんなこともわからんのかなw

226 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 12:04:16
補題
X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
f:X → X/R を標準写像とする。

このとき f は閉写像である。

証明
C を X の閉集合とする。
p:X×X → X と q:X×X → X を射影とする。

f^(-1)(f(C))
= {y; (x, y) ∈ R となる x ∈ C がある}
= q(p^(-1)(C) ∩ R)

R は閉集合だから p^(-1)(C) ∩ R は閉集合である。
>>222より q は閉写像であるから q(p^(-1)(C) ∩ R) = f^(-1)(f(C)) は閉集合である。
よって、f(C) は閉集合である。
証明終

227 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 12:29:59
命題
X をコンパクト空間とする。
R ⊂ X×X を X 上の同値関係で R は X×X の閉集合であるとする。
このとき商空間 X/R はコンパクト空間である。

証明
p:X → X/R を標準写像とする。
p は全射であるから X/R は準コンパクト(過去スレ006の104)である。
よって、X/R がHausdorff空間であることを証明すれば良い。

p(x) ≠ p(y) を X/R の2点とする。

p^(-1)(x) ∩ p^(-1)(y) = φ である。

p^(-1)(x) と p^(-1)(y) は X の閉集合である。
過去スレ007の664より、X は正規空間であるから
p^(-1)(x) ⊂ U、p^(-1)(y) ⊂ V、U ∩ V = φ となる
X の開集合 U, V がある。

>>226より p は閉写像である。
よって、過去スレ018の528より、p(x) ∈ W_1 となる X/R の開集合 W_1 で
p^(-1)(W_1) ⊂ U となるものがある。
同様に、p(y) ∈ W_2 となる X/R の開集合 W_2 で
p^(-1)(W_2) ⊂ V となるものがある。

p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = p^(-1)(W_1) ∩ p^(-1)(W_2) ⊂ U ∩ V = φ であるから
p^(-1)(W_1 ∩ W_2) = φ である。
よって、W_1 ∩ W_2 = φ である。
よって、X/R はHausdorff空間である。
証明終

228 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 12:34:25
自演のばれたくんまーはすごすごとうんこの垂れ流しに
もどるのであった

229 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 12:58:19

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は差余核をもつ(>>162)。

証明
f:X → Y
g:X → Y
CTop における射とする。

S = {(f(x), g(x)) ∈ Y×Y; x ∈ X} とおく。
S を含む X 上の同値関係で Y×Y の閉集合となっているもの全体の共通集合を R とする。
R は同値関係であり Y×Y の閉集合ある。
>>227より Y/R はコンパクト空間である。

p:Y → Y/R を標準射とすると、pf = pg である。
(p, Y/R) = Coker(f, g) を証明しよう。

h:Y → T を CTop における射で hf = hg とする。
P = {(y_1, y_2) ∈ Y×Y; h(y_1) = h(y_2)} とおく。
P は Y 上の同値関係であり、S ⊂ P である。
q:Y → Y/P を標準写像とする。
T はHausdorff空間だから P は閉集合である。
よって、R ⊂ P である。
よって、写像 u;Y/R → Y/P で q = up となるものが存在する。
q は連続であるから u も連続である。

一方、写像 v:Y/P → T で h = vq となるものが存在する。
h は連続であるから v も連続である。
k = vu とおけば k:Y/R → T は連続であり、kp = vup = vq = h である。
p は全射であるから kp = h となる k は h により一意に決まる。
よって、(p, Y/R) = Coker(f, g) である。
証明終

230 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 13:06:18
うんこうんこ

どうや? 

231 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 13:16:09

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
CTop は有限余積をもつ(>>51)。

証明
空集合は CTop の始対象である。
過去スレ017の848より、CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して
X と Y の余積が存在することを証明すれば良い。
P を X と Y の直和位相空間とすれば P はコンパクトである。
よって、P は X と Y の余積である。
証明終

232 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 13:20:52
>>231への補足

CTop は無限個の対象の余積をもつことが知られている。
このことの証明は後で行う。

233 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 13:27:13
命題
有限積と差核をもつ(>>161)圏は有限完備(>>178)である。

証明
>>183の証明と同様にすればよい。

234 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 13:30:40
命題
有限積と有限交わりをもつ(>>185)圏は有限完備(>>178)である。

証明
C を有限積と有限交わりをもつ圏とする。
>>191より、C は差核をもつ。
よって、>>233より C は有限完備である。
証明終

235 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 13:44:26
命題
終対象と引き戻しをもつ(>>163)圏は有限完備(>>178)である。

証明
C を終対象と引き戻しをもつ圏とする。
e を C の終対象とする。
CTop の任意の対象の対 (X, Y) に対して X と Y の e 上のファイバー積(>>866)は
X と Y の積である。
よって、C は有限積を持つ。

f:X → Z
g:Y → Z
を Z の部分対象とする。

次の図式を引き戻し四角形(過去スレ017の866)とする。

P  → X
↓   ↓f
Y  → Z
  g

P は (X, f) と (Y, g) の交わりであるから C は有限交わりをもつ(>>185)。
よって、>>234より C は有限完備(>>178)である。
証明終

236 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 13:44:35
いつまでクマは数学から逃げているのだろうか?

237 :132人目の素数さん:2010/04/02(金) 13:46:59
>>236
クマは仕事からも人生からも逃げているから、無理

238 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 16:36:26
命題
f:X → Y を断面(過去スレ018の430)かつ全射とする。
このとき、f は同型である。

証明
f:X → Y を断面かつ全射とする。
gf = 1_X となる g:Y → X がある。
fgf = f である。
f は全射であるから fg = 1_Y である。
よって f は同型である。
証明終

239 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 16:37:26
命題
f:X → Y を引き込み(過去スレ018の328)かつ単射とする。
このとき、f は同型である。

証明
>>238と双対原理(過去スレ018の159)。

240 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 16:46:00
命題
f:X → Y
g:X → Y
を射とする。

f = g であるためには差核 Ker(f, g) (過去スレ017の772)が同型であることが
必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
u:T → X を Ker(f, g) とし、u は同型であるとする。
fu = gu である。
f = fuu^(-1) = guu^(-1) = g
証明終

241 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 16:48:59
命題
C を差核(>>161)と交わりを持つ圏(>>165)とする。
S = (f_i:X_i → X)_I を C における任意の吸い込み(>>16)とする。

このとき全吸い込み(>>19) E = (g_i:X_i → Y)_I と単射 m:Y → X があり
S = mE となる

証明
S = m_j(S_j) と分解されるような単射 m_j:Y_j → X の全体を J とする。
ここで S_j = (f_(i, j):X_i → Y_j)_I は吸い込みである。
J は類(過去スレ017の323)である。
1_X は J に含まれるから J は空でない。
C は交わりを持つから J の交わり m:Y → X が存在する。

任意の m_j ∈ J に対して S = m_j(S_j) だから
各 i に対して f_i = (m_j)f_(i, j) である。
よって、g_i:X_i → Y で f_i = m(g_i) となるものがある。
E = (g_i:X_i → Y)_I とおけば S = mE である。
E が全吸い込みであることを示せばよい。

r:Y → T
s:Y → T
rE = sE
とする。

(K, u) = Ker(r, s) とする。
即ち次の図式が完全(過去スレ017の774)であるとする。

 u
K → Y ⇒ X

(続く)

242 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/02(金) 16:50:06
>>241の続き

rE = sE であるから E = uE’となる吸い込み E’がある。
S = mE = muE’である。
u は単射だから mu も単射である。
よって、mu = m_j となる m_j ∈ J がある。
m は J の交わりであるから m = m_jh_j となる射 h_j がある。

muh_j = m_jh_j = m
よって、uh_j は単位射である。
即ち u は引き込み(過去スレ018の328)である。
u は単射であるから>>239より u は同型である。
よって、>>240より r = s である。
よって E は全吸い込みである。
証明終

243 :くまーものがたり:2010/04/05(月) 15:05:25
くまーは花見をした

病院から見る桜はもの悲しい
春の憂鬱である

いつまでやっても圏論はおわらない
なぜって圏論こそは数学のすべてだからだ
俺様はもっとも崇高な数学を記述しているのだ
しかし

だれも誉めてくれない
春なのに

猫もどこかへ行ってしまった
どぶにでも落ちてのたれ死にしたのだろうか

春なのに

だれも相手にしてくれない

つづく




244 :132人目の素数さん:2010/04/05(月) 21:23:00
さっきから受験マニアのゆとりがぐだぐだとwww

受験数学なんて答えが(一つでなくても)最初から期待されている答えのある問題を解いてるだけだろ。そんなの数学じゃねーよw

数学ってのはだな、与えられた問題を解くんじゃなくて、問題を作るところから始まるものなんだぜ

わ     か る      か  ゆ  と     りw

245 :132人目の素数さん:2010/04/05(月) 21:30:05
どうしたんだ?コンプレックス自己紹介か?w

246 :132人目の素数さん:2010/04/05(月) 21:31:51
こんぷも
ゆとりも
どっこい
どっこい

247 :132人目の素数さん:2010/04/06(火) 00:08:12
失業者でニートで精神病のスレぬし

248 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 03:12:18
命題
C を積を持つ圏(過去スレ018の910)とする。
I を集合とし J ≠ φ を I の部分集合とする。
このとき X^J から X^I (>>62)への断面(過去スレ018の430)が存在する。

証明
K = I - J とする。
K が空集合のときは本命題は自明であるから K ≠ φ と仮定する。
X^I = (X^J)×(X^K) である。

J は空でないから j_0 ∈ J がある。
p_(j_0):X^J → X を第 j_0 成分への射影とする。

各 k ∈ K に対して q_k:X^K → X を第 k 成分への射影とする。
g:X^J → X^K を各 k ∈ K に対して (q_k)g = p_(j_0) となる射とする。
f = <1_X^J, g> (過去スレ018の872)とおく:f:X^J → (X^J)×(X^K)

π:(X^J)×(X^K) → X^J を射影とすれば
πf = 1_X^J である。
よって、f は断面である。
証明終

249 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 03:18:27
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積(過去スレ018の910)および
余分離対象(過去スレ018の219) S を持つ圏とする。
E = (f_i:X_i → X)_I を C における任意の小さい(>>16)全吸い込み(>>19)とする。

このとき X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象(過去スレ018の646)であるか
S^φ の部分対象である。

証明
E = (f_i:X_i → X)_I は全吸い込みであるから
Hom(X, S) → Π[i∈I]Hom(X_i, S) は単射である。
よって、>>248より Hom(X, S) ≠ φ であれば
S^Hom(X, S) は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象である。

一方、>>5より、X は S^Hom(X, S) の部分対象である。
よって、Hom(X, S) ≠ φ であれば X は S^(Π[i∈I]Hom(X_i, S)) の部分対象であり、
Hom(X, S) = φ であれば X は S^φ の部分対象である。
証明終

250 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 03:36:08
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で余分離対象(過去スレ018の219) S を持ち、
冪良(過去スレ018の650)かつ完備(過去スレ017の828)とする。
このとき、C は余冪良(過去スレ018の660)かつ余完備(過去スレ017の829)である。

証明
e:X → Y を C における全射とする。
>>249より、Y は S^(Hom(X, S)) の部分対象であるか、S^φ の部分対象である。
C は冪良であるから S^(Hom(X, S)) および S^φ の部分対象の同型類全体は
小さい集合である。
よって C は余冪良である。

D:I → C を小さな図式(過去スレ017の834)とする。
C は冪良であるから S^(Π[i∈I]Hom(D(i), S)) の部分対象の同型類の全体は
小さい集合である。
同様に S^φ の部分対象の同型類の全体は小さい集合である。
この両者の各同型類から代表を選びその全体を Z とする。
Z の元を頂点にもつ余錐(過去スレ018の841) S_j = (f_(i, j):D(i) → X_j)_I 全体を
G = {S_j;j ∈ J} とする。
G は小さい集合である。

P = Π[j∈J]X_j とおき、p_j:P → X_j を射影とする。
各 i ∈ I に対して (f_(i, j):D(i) → X_j)_J は湧き出しであるから
f_i:D(i) → P で (p_j)f_i = f_(i, j) となるものがある。
T = (f_i:D(i) → P)_I とおけば、各 j に対して S_j = (p_j)T である。

u:i → k を I における射とする。
各 j ∈ J に対して S_j は余錐であるから
(p_j)(f_k)D(u) = (p_j)(f_i) である。
よって、(f_k)D(u) = f_i である。
よって、T は余錐である。
(続く)

251 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 03:36:52
>>250の続き

>>241より 全吸い込み L = (g_i:D(i) → X)_I と単射 m:X → P があり
T = mL となる。
L = colim D (過去スレ018の847)であることを証明しよう。

T は余錐であり m は単射だから L も余錐である。
M = (h_i:D(i) → Y)_I を余錐とする。
>>241より 全吸い込み E と単射 n があり
M = nE となる。
>>249より、同型 h と j ∈ J があり、E = hS_j となる。
M = nhS_j = nh(p_j)T = nh(p_j)mL
よって、f = nh(p_j)m とおけば M = fL である。
L は全吸い込みであるから f は M と L により一意に決まる。
よって、L = colim D である。
証明終

252 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 03:42:56

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>211より CTop は完備である。
CTop は冪良(過去スレ018の650)であるから>>250より余完備である。

253 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 04:14:14
>>252の修正


CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>8より CTop は余分離対象を持つ。
>>211より CTop は完備である。
よって、>>250より CTop は余完備である。

254 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 08:29:55
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で分離対象(過去スレ018の212) S を持ち、
余冪良(過去スレ018の660)かつ余完備(過去スレ017の829)とする。
このとき、C は冪良(過去スレ018の650)かつ完備(過去スレ017の828)である。

証明
>>250と双対原理(過去スレ018の159)。

255 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 09:06:49
定義
F:C → D を関手とする。
W:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i:L → W(i))_Ob(I) を G の極限(過去スレ018の839)とする。

(F(f_i):F(L) → F(W(I)))_Ob(I) が 図式 FW:I → D の極限であるとき
F は図式 G の極限を保存すると言う。
この事実を F(lim W) = lim FW とも書く。

256 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 09:11:05
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフとする。
F が I 型のすべての図式(過去スレ017の833)の極限を保存する(>>255)とき
F は I 型の極限を保存すると言う。

257 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 09:20:52
定義
F:C → D を関手とする。
I を2個の対象 a, b と2個の射 u:a → b, v:a → b からなる
グラフ(過去スレ017の325)とする。
F が I 型の極限を保存するとき、F は差核(過去スレ017の772)を保存すると言う。

258 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 09:24:30
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての小さい離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は積を保存すると言う。

259 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 09:27:30
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての小さいグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は小さい極限を保存すると言う。

260 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 10:22:36
>>255の修正

定義
F:C → D を関手とする。
W:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i:L → W(i))_Ob(I) を W の極限(過去スレ018の839)とする。

(F(f_i):F(L) → F(W(I)))_Ob(I) が 図式 FW:I → D の極限であるとき
F は図式 W の極限を保存すると言う。
この事実を F(lim W) = lim FW とも書く。

261 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 10:23:41
定義
F:C → D を関手とする。
W:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(f_i:W(i) → L)_Ob(I) を W の余極限(過去スレ018の847)とする。

(F(f_i):F(W(I)) → F(L))_Ob(I) が 図式 FW:I → D の余極限であるとき
F は図式 W の余極限を保存すると言う。
この事実を F(colim W) = colim FW とも書く。

262 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:38:56
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフとする。
F が I 型のすべての図式(過去スレ017の833)の余極限を保存する(>>261)とき
F は I 型の余極限を保存すると言う。

263 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:40:59
定義
F:C → D を関手とする。
I を2個の対象 a, b と2個の射 u:a → b, v:a → b からなる
グラフ(過去スレ017の325)とする。
F が I 型の余極限を保存する(>>262)とき、
F は差余核(過去スレ017の850)を保存すると言う。

264 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:42:49
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての小さい離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は余積を保存すると言う。

265 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:44:09
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての小さいグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は小さい余極限を保存すると言う。

266 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:51:45
定義
F:C → D を関手とする。
(X_i, m_i)_I を C の対象 Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, m) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。

各 F(m_i) が単射で、(F(X), F(m)) が (F(X_i), F(m_i))_I の交わりのとき
F は (X_i, m_i)_I の交わりを保存すると言う。
F が C の任意の対象の任意の部分対象の族を保存するとき F は交わりを保存すると言う。

267 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/07(水) 15:56:07
定義
F:C → D を関手とする。
(e_i, X_i)_I を C の対象 Y の商対象(過去スレ018の653)の族とする。
(e, X) を (e_i, X_i)_I の余交わり(>>143)とする。

各 F(e_i) が全射で、(F(e), F(X)) が (F(e_i), F(X_i))_I の余交わりのとき
F は (e_i, X_i)_I の余交わりを保存すると言う。

F が C の任意の対象の任意の商対象の族の余交わりを保存するとき
F は余交わりを保存すると言う。

268 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 16:10:30
夜中から朝から昼間から
なにやってんだこいつ

269 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 16:10:35
圏論の下痢が止まらない ・・・・・ くまー

270 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 17:47:37
余交わり

なんか卑猥な用語
ホモのkummerらしさがでている

271 :132人目の素数さん:2010/04/07(水) 17:53:35
>>268
そりゃあ、基地外で無職だからw

272 :132人目の素数さん:2010/04/09(金) 08:09:45
くまーさん、勉強になります。

273 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 10:10:33
定義
F:C → D を関手とする。
C における 2-吸い込み(>>16) S は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
lim S は S の引き戻し(過去スレ017の866)である。
F が S の極限を保存する(>>260)とき、F は S の引き戻しを保存すると言う。

F が C における任意の 2-吸い込みの引き戻しを保存するとき、
F は引き戻しを保存すると言う。

274 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 10:14:38
定義
F:C → D を関手とする。
C における 2-湧き出し(過去スレ018の713) S は
C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
colim S は S の押し出し(過去スレ017の867)である。
F が S の余極限を保存する(>>261)とき、F は S の押し出しを保存すると言う。

F が C における任意の 2-湧き出しの押し出しを保存するとき、
F は押し出しを保存すると言う。

275 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 10:42:38
命題
C を完備な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が小さい極限を保存する(>>259)するためには
F が積と差核を保存(>>258, >>257)することが必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
F が積と差核を保存するとする。
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。

>>183の証明から次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
 m  f
K → P ⇒ Q
    g

ここで、
P = Π[i ∈ Ob(I)] G(i)
Q = Π[u ∈ Hom(I)] G(t(u))
(K, m) = Ker(f, g)
である。

このとき、lim G = ((p_i)m:K → G(i))_Ob(I) である。
ここで、各 p_i:P → G(i) は射影である。

(続く)

276 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 10:44:10
>>275の続き

F は差核を保存するから次の図式は完全(過去スレ017の774)である。
   m    f
F(K) → F(P) ⇒ F(Q)
        g

F は積を保存するから
F(P) = Π[i ∈ Ob(I)] FG(i)
F(Q) = Π[u ∈ Hom(I)] FG(t(u))
である。

よって、>>183の証明から
lim FG = (F(p_i)F(m):F(K) → FG(i))_Ob(I) = F(lim G) である。
よって、F は小さい極限を保存する。
証明終

277 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 10:57:03
命題
C を余完備(過去スレ017の829)な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が小さい余極限を保存する(>>265)するためには
F が余積と差余核を保存(>>264, >>263)することが必要十分である。

証明
>>275と双対原理(過去スレ018の159)。

278 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 11:02:11

Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U:Top → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
X ∈ Ob(Top) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
f: X → Y を Top における射としたとき U(f):U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
同様に U は余積と差余核を保存するから>>277より小さい余極限を保存する。

279 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 11:09:00

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U:CTop → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
X ∈ Ob(CTop) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
f: X → Y を CTop における射としたとき U(f):U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
しかし、U は余積および差余核を保存しない。

280 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 11:12:08

Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。

関手 U:Grp → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
X ∈ Ob(Grp) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
f: X → Y を Grp における射としたとき U(f):U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

U は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
しかし、U は余積および差余核を保存しない。

281 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 11:16:31

Haus をHausdorff位相空間全体の圏とする。
Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F:Haus → Top を包含関手とする。

F は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
F は余積を保存するが差余核を保存しない。

282 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 11:25:03
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての有限グラフ(>>170) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は有限極限を保存すると言う。

283 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:28:04
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての有限グラフ(>>170) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は有限余極限を保存すると言う。

284 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:35:50
>>266の修正

定義
F:C → D を関手とする。
(X_i, m_i)_I を C の対象 Y の部分対象(過去スレ018の646)の族とする。
(X, m) を (X_i, m_i)_I の交わり(>>110)とする。

各 F(m_i) が単射で、(F(X), F(m)) が (F(X_i), F(m_i))_I の交わりのとき
F は (X_i, m_i)_I の交わりを保存すると言う。
F が C の任意の対象の任意の部分対象の族の交わりを保存するとき
F は交わりを保存すると言う。

285 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:37:57
定義
F:C → D を関手とする。
F が C の任意の対象の任意の有限個の部分対象の族の交わりを保存(>>284)するとき
F は有限交わりを保存すると言う。

286 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:39:33
定義
F:C → D を関手とする。
F が C の任意の対象の任意の有限個の商対象の族の余交わりを保存(>>267)するとき
F は有限余交わりを保存すると言う。

287 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:46:59
定義
F:C → D を関手とする。
e を C の終対象とする。
F(e) が D の終対象とする。

e’を C の終対象とすると e と e’は同型である。
よって、F(e) と F(e’) も同型である。
よって、F(e’) は終対象である。

このとき、F は終対象を保存すると言う。

288 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 14:48:28
定義
F:C → D を関手とする。
0 を C の始対象とする。
F(0) が D の始対象とする。

0’を C の始対象とすると 0 と 0’は同型である。
よって、F(0) と F(0’) も同型である。
よって、F(0’) は始対象である。

このとき、F は始対象を保存すると言う。

289 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 15:11:18
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての有限(>>170)な離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は有限積を保存すると言う。

290 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 15:12:43
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべての有限(>>170)な離散グラフ(過去スレ017の745) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は有限余積を保存すると言う。

291 :132人目の素数さん:2010/04/09(金) 17:55:57
なにやってんだろうね、いつまでも。

292 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 23:35:10
命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と差核を保存(>>289, >>257)することが必要十分である。

証明
>>275の証明と同様である。

293 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/09(金) 23:45:41
命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と有限交わりを保存(>>289, >>285)することが必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
F が有限積と有限交わりを保存するとする。
>>191より F は差核を保存する(>>>>257)。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

294 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:07:54
有限極限を保存する関手が有限交わりを保存するとは限らないので、
>>293は間違いである。

295 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:18:52
命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が終対象と引き戻しを保存(>>287, >>273)することが必要十分である。

証明
必要性:
F が有限極限を保存するとする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の積は C の終対象である。
F は積を保存するから終対象を保存する。
引き戻しは有限極限であるから F は引き戻しを保存する。

十分性:
F が終対象と引き戻しを保存するとする。
e を C の終対象とする。
X と Y を C の対象とする。
X → e と Y → e の引き戻しは X×Y であるから F は有限積を保存する。
よって、>>191の証明より F は差核を保存する。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

296 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:27:27
補題
f:X → Y が単射であるためには次の図式が引き戻し四角形(過去スレ017の866)
であることが必要十分である。


 1_X
X  → X
↓1_X ↓f
X  → Y
  f

証明
自明である。

297 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:30:13
命題
F:C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)なら F は単射を保存する。

証明
>>296より明らかである。

298 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:34:58
>>294
>有限極限を保存する関手が有限交わりを保存するとは限らないので、>>293は間違いである。

これは取り消します。

299 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 00:42:59
>>293の修正

命題
C を有限完備(>>178)な圏とし、F:C → D を関手とする。
F が有限極限を保存する(>>282)ためには
F が有限積と有限交わりを保存(>>289, >>285)することが必要十分である。

証明
必要性:
F が有限極限を保存するとする。
F は当然、有限積を保存する。
>>297より F は単射を保存する。
よって、>>113より F は有限交わりを保存する。

十分性:
F が有限積と有限交わりを保存するとする。
>>191の証明より F は差核を保存する(>>>>257)。
よって、>>292より F は有限極限を保存する。
証明終

300 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:15:48
金玉痒い

301 :132人目の素数さん:2010/04/10(土) 01:53:31
間違いを訂正しても何の意味もない
だれも読まない

302 :熊猫 ◆ghclfYsc82 :2010/04/10(土) 07:55:02
>>301
いや、ワシは読んでますがな。そやしアホな事を断言スルのは止めとけやナ。
アンタが自分の馬鹿を晒すだけやさかいナ。




303 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 10:48:56
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべてのグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の極限を保存する(>>256)とき、F は極限を保存すると言う。

304 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 10:51:30
定義
F:C → D を関手とする。
F がすべてのグラフ(過去スレ017の325) I に対して
I 型の余極限を保存する(>>262)とき、F は余極限を保存すると言う。

305 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 11:30:00
記法
G をグラフ(過去スレ017の325)とする。
誤解のない限り Ob(G) を G と略記する。
従って X ∈ G は X ∈ Ob(G) を意味する。

306 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 11:56:22
命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
C の任意の対象 X に対して過去スレ017の721で定義した関手
Hom(X, -):C → Set は極限を保存する(>>303)。

証明
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(h_i:L → G(i))_I を G の極限とする。
(Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I が
図式 Hom(X, G):I → D の極限であることを証明しよう。

(Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は明らかに錐(過去スレ018の838)である。
(f_i:T → Hom(X, G(i)))_I を錐とする。
各 t ∈ T に対して (f_i(t):X → G(i))_I は錐である。
よって、f(t):X → L で f_i(t) = h_if(t) となるものが一意に存在する。
f:T → Hom(X, L) であり、各 i に対して Hom(X, h_i)f = f_i となる。
このような f の一意性は各 t に対して f_i(t) = h_if(t) となる f(t) の
一意性からでる。
以上から (Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は lim Hom(X, G) である。
証明終

307 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 11:59:10
命題
表現可能な関手(過去スレ017の729)は極限を保存する(>>303)。

証明
>>306より明らかである。

308 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 12:10:57

U:Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
* を一点からなる Top の対象とする。
任意の X ∈ Top (>>305) に対して Hom(*, X) は U(X) と見なせる。
即ち、U = Hom(*, -) と見なせる。
よって、>>306 より U は(必ずしも小さいとは限らない)極限を保存する。

309 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 12:14:37

U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
Z を有理整数全体の加法群とする。
任意の G ∈ Grp (>>305) に対して Hom(Z, G) は U(G) と見なせる。
即ち、U = Hom(Z, -) である。
よって、>>306 より U は(必ずしも小さいとは限らない)極限を保存する。

310 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 13:42:45
定義
F:C^o → D を関手とする。
即ち F は C から D への反変関手である。
F:C^o → D が極限を保存する(>>303)とき
F は C から D への反変関手として余極限を極限に写すという。
このとき、G:I → C を任意の図式(過去スレ017の833)とするとき、
F(colim G) = lim FG となる。

極限を余極限に写す、積を余積に写すなども同様に定義される。

311 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 13:51:25
>>310の修正

定義
F:C^o → D を関手とする。
即ち F は C から D への反変関手である。
F:C^o → D が極限を保存する(>>303)とき
F は余極限を極限に写すという。
このとき、G:I → C を任意の図式(過去スレ017の833)とするとき、
F(colim G) = lim FG となる。

積を余積に写す、引き戻しを押し出しに写すなども同様に定義される。

312 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 13:52:09
命題
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
C の任意の対象 X に対して過去スレ017の614で定義した反変関手
Hom(-, X):C^o → Set は余極限を極限に写す(>>311)。

証明
>>306と双対原理(過去スレ018の159)。

313 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 13:53:42
命題
表現可能な反変関手(過去スレ017の653)は余極限を極限に写す(>>311)。

証明
>>312より明らかである。

314 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 14:22:23
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる錐 R = (M → G(i))_I が一意に存在し、
さらに R = lim G となるとき F は I 型の極限を生成する
(F creates limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を生成するとき F は極限を生成すると言う。
F が小さい極限を生成する、有限極限を生成する、積を生成する、差核を生成するなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を生成する関手が定義される。

315 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 15:20:40

Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F:I → Set を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i:P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P;I における任意の射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
m:L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m:L → F(i))_I は lim F である。

316 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 15:23:49

Grp を群の圏(過去スレ017の342)とする。
F:I → Grp を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i:P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P;I における任意の射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L は P の部分群である。
m:L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m:L → F(i))_I は lim F である。

317 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 15:31:53

U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を生成する(>>314)。

証明
>>315>>316より明らかである。

318 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 15:55:37
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 (M → G(i))_I が[一意に]存在するとき
F は I 型の極限を[一意に]持ち上げる(F lifts limits [uniquely] of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を[一意に]持ち上げるとき
F は極限を[一意に]持ち上げると言う。
F が小さい極限を[一意に]持ち上げる、有限極限を[一意に]持ち上げるなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を[一意に]持ち上げる関手が定義される。

319 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 16:07:43

Top を位相空間全体の圏(過去スレ017の342)とする。
F:I → Top を任意の小さい図式(過去スレ017の834)とする。

P = Π[i ∈ I] F(i) (>>182)とおく。
p_i:P → F(i) を射影とする。
x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P;I における任意の射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L に P の部分位相を与える。
m:L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m:L → F(i))_I は lim F である。

320 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 16:09:38

U:Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を持ち上げる(>>318)。

証明
>>315>>319より明らかである。

321 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 16:39:56
>>318の修正

定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が[一意に]存在するとき
F は I 型の極限を[一意に]持ち上げる(F lifts limits [uniquely] of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を[一意に]持ち上げるとき
F は極限を[一意に]持ち上げると言う。
F が小さい極限を[一意に]持ち上げる、有限極限を[一意に]持ち上げるなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を[一意に]持ち上げる関手が定義される。

322 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 16:53:29
命題
F:C → D を関手とする。
次の条件は同値である。

(@) F は[小さい]極限を一意に持ち上げる(>>318)。

(A) F は準忘却関手(過去スレ018の35)であり[小さい]極限を持ち上げる(>>318)。

証明
(@) ⇒ (A)
f:X → Y を C における同型射とし、F(f) = 1_F(Y) とする。
1_Y:Y → Y は一個の対象からなる族 (Y) の直積である。
同様に f:X → Y は (Y) の直積である。
F(f):F(X) → F(Y) は 1_F(Y):F(Y) → F(Y) に等しく
これは (F(Y)) の直積である。
F は[小さい]極限を一意に持ち上げるから f = 1_Y である。

(A) ⇒ (@)
G:I → C を[小さい]図式(過去スレ017の834)とする。
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I と、
F(R’) = S となる G の極限 R’= (M’→ G(i))_I が存在するとする。
R = R’h となる同型 h:M → M’がある。
S = F(R) = F(R’h) = F(R’)F(h)
F(R’) = S であるから F(R’)F(h) = F(R’) である。
>>87より、F(R’) は単湧き出しであるから F(h) = 1_F(M) である。
F は準忘却関手であるから h = 1_M である。
よって、R = R’である。
よって、F は[小さい]極限を一意に持ち上げる。
証明終

323 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 16:58:43

U:Top → Set を>>278で定義した忘却関手とする。
U は小さい極限を一意に持ち上げる(>>318)。

証明
>>320より、U は小さい極限を持ち上げる(>>318)。
U は準忘却関手(過去スレ018の35)であるから>>322より小さい極限を一意に持ち上げる。

324 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 17:19:44
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
錐 R = (M → G(i))_I に対して F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとき
常に R は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を反映するとき
F は極限を反映すると言う。
F が小さい極限を反映する、差核を反映するとなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を反映する関手が定義される。

325 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/10(土) 17:59:09

K を実数体または複素数体とする。
K-Norm を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)全体の作る圏(過去スレ017の342)とする。
K-Norm の射は連続線型写像である。
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
関手 U:K-Norm → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
X ∈ Ob(K-Norm) に対して U(X) ∈ Ob(Set) を X を集合とみたものとする。
f: X → Y を K-Norm における射としたとき U(f):U(X) → U(Y) を
集合間の写像としての f とする。

K 上の有限次線型空間 K^n のノルム |・|_∞ と |・|_1 を次のように定義する。
x ∈ K^n に対して
|x|_∞ = sup{|x_i|; 1 ≦ i ≦ n}
|x|_1 = Σ[1 ≦ i ≦ n]|x_i|

このとき、X = (K^n, |・|_∞) と Y = (K^n, |・|_1) は K-Norm の対象である。
X の点 x に Y の点 x を対応させる写像 f は K-Norm の射として同型である。
しかし、X ≠ Y であるから f は単位射ではない。
一方、U(f) = 1_U(X) である。
よって、U は準忘却関手(過去スレ018の35)ではない。

326 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 02:44:19
>>302
だれも猫など相手にしない
猫が何を断言しようが関係ない
猫は死んだも同然の増田哲也なのだから

327 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 02:45:10
増田哲也よ
くやしかったら
数学に復帰してみろよ

328 :hoge ◆uval53l3ZI :2010/04/11(日) 02:54:21
>>326
いや、俺は猫さんとKummerのファンだけど。

329 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:11:23
>>328
どうせ自演だろうが
そうでないとしても
お前も人間の屑だな

猫のファンだと言った時点で死んだも同然
誰の信用も得られないアホだ

330 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:14:35
急に猫とくまーのファンが現れて助けてくれる

そんなことってあるかなあー

くまーって本当にアホだな

331 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:16:56
どう あがいても もがいても
くまーは泥沼から逃れられないのであった

332 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:18:18
>>328
自演乙

333 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 03:28:33
腐れ猫は何か言うたびにくまーの足を引っ張ることになる

愉快だなーーーーーーー

熊猫だったら貴重な生き物だけど
このタッグチームは天然記念物なみのアホコンビ

334 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 09:19:46
くまものがたりのつづきをよろしく

335 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 09:53:30

U:K-Norm → Set を>>325で定義した忘却関手とする。
F:I → K-Norm を任意の有限図式(>>177)とする。
(F(i)), i ∈ I の線型空間としての直積空間を P とおく。
x = (x_i) ∈ P に対して |x| = sup{|x_i|;i ∈ I} とおく。
(P, |・|) は K-Norm の対象である。
p_i:P → F(i) を射影とする。
湧き出し (p_i:P → F(i))_I は積 Π[i ∈ I] F(i) である。

x ∈ P と各 i ∈ I に対して p_i(x) = x_i と書く。
L = {x ∈ P;I における任意の射 u:i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
L は P の部分空間である。
m:L → P を包含写像とする。
このとき、湧き出し ((p_i)m:L → F(i))_I は lim F である。
よって、関手 U は有限極限を持ち上げる(>>321)。
一方、>>325より U は準忘却関手(過去スレ018の35)ではない。
よって、>>322より、U は有限極限を一意に持ち上げない。

336 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 10:08:33
定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C に対して
FG が極限をもてば G も極限をもつとき
F は I 型の極限を検出する(F detects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を検出するとき
F は極限を検出すると言う。
F が小さい極限を検出する、差核を検出するなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を検出する関手が定義される。

337 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 10:24:51
命題
差核を反映する(>>324)関手は忠実(過去スレ017の403)である。

証明
F:C → D を差核を反映する関手とする。
f:X → Y と g:X → Y を C における射で F(f) = F(g) とする。

F(1_X):F(X) → F(X) は Ker(F(f), F(g)) である。
F は差核を反映するから 1_X:X → X は Ker(f, g) である。
よって、f = g である。
証明終

338 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 10:30:13
命題
I 型の極限を持ち上げる(>>318)関手は I 型の極限を検出(>>336)する。

証明
自明である。

339 :くまーものがたり:2010/04/11(日) 10:45:22
くまーは酔っていた

今度こそ自演だと気づかれないようにして
自分を援助できると

猫さんが書き込んでくれたおかげだ

しかし 嗚呼 ばればれだった
猫さんとの援助交際もかなわないのか

くまーは自分の世界に酔っていたが
その世界はごく狭いものだったということに
気づかないでいた

桶に入れられたフナが頭を打つ程度の狭さだ

その証明は

自明である

つづく

340 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 10:53:57
定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C に対して
G の極限が存在するとき C は I 型の極限を持つと言う。

341 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 10:54:59
定義
C を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C に対して
G の余極限が存在するとき C は I 型の余極限を持つと言う。

342 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 11:00:22
くまーは過去スレで

無職=失業者であること

ホモであること

を認めている

343 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 11:12:12
命題
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
D は I 型の極限を持ち(>>340)、
F は I 型の極限を持ち上げる(>>318)とする。

このとき、C は I 型の極限を持ち、F は I 型の極限を保存する(>>256)。

証明
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
D は I 型の極限を持つから FG は極限 S = (L → FG(i))_I を持つ。
F は I 型の極限を持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が存在する。
よって、C は I 型の極限を持つ。

Q = (N → G(i))_I を G の極限とする。
Q = Rh となる同型 h:N → M が存在する。
F(Q) = F(R)F(h) = SF(h)
F(h) は同型であるから F(Q) は FG の極限である。
よって、F は I 型の極限を保存する(>>256)。
証明終

344 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 11:33:01
命題
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
次の条件は同値である。

(@) F は I 型の極限を生成する(>>314)。

(A) F は I 型の極限を一意に持ち上げ(>>321) I 型の極限を反映する(>>324)。

証明
(@) ⇒ (A)
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を生成するから、
F(R) = S となる錐 R = (M → G(i))_I が一意に存在し、R = lim G となる。
よって、F は I 型の極限を一意に持ち上げる。

錐 Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = (F(N) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は I 型の極限を生成するから、Q = lim G である。
よって、F は I 型の極限を反映する。

(A) ⇒ (@)
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を一意に持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が一意に存在する。

錐 Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = S とする。
F は I 型の極限を反映するから Q は G の極限である。
よって、Q = R である。
よって、F は I 型の極限を生成する。
証明終

345 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 11:50:58

U:Top → Set を>>278で定義した関手とする。
R を実数体とする。
集合 R×R に離散位相を与えたものを X とする。
p_1:X → R と p_2:X → R を射影とする。
p_1 と p_2 は連続あるから S = (p_i:X → R) は
Top における湧き出し(過去スレ018の713)である。
U(S) は Set における積 R×R である。
X は離散であるから S は Top における積 R×R ではない。
よって、U は積を反映(>>324)しない。
よって、U は極限を反映(>>324)しない。

346 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 11:56:28

U:Top → Set を>>278で定義した関手とする。
>>345より、U は小さい極限を反映しない。
よって、>>344より、U は小さい極限を生成しない。

一方、>>323より、U は小さい極限を一意に持ち上げる。

347 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 13:02:52
定義
F:C → D を関手とする。
f:X → Y を C における射で F(f) が同型なら f も同型であるとき
F は同型を反映する(F reflects isomorphisms)という。

348 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 13:54:06
>>324の修正

定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
湧き出し(過去スレ018の713) R = (M → G(i))_I に対して
F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとき
R は G の極限であるとき、F は I 型の極限を反映する
(F reflects limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を反映するとき
F は極限を反映すると言う。
F が小さい極限を反映する、差核を反映するとなどが同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を反映する関手が定義される。

349 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 13:59:36
>>314の修正

定義
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
I を添字グラフとする任意の図式 G:I → C と
FG の極限 S = (L → FG(i))_I に対して
F(R) = S となる湧き出し(過去スレ018の713) R = (M → G(i))_I が一意に存在し、
さらに R = lim G となるとき F は I 型の極限を生成する
(F creates limits of type I)と言う。

F が任意のグラフ I に対して I 型の極限を生成するとき F は極限を生成すると言う。
F が小さい極限を生成する、有限極限を生成する、積を生成する、差核を生成するなどが
同様に定義される。

上記と双対的に I 型の余極限を生成する関手が定義される。

350 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 14:03:39
>>344の修正
命題
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
次の条件は同値である。

(@) F は I 型の極限を生成する(>>349)。

(A) F は I 型の極限を一意に持ち上げ(>>321) I 型の極限を反映する(>>348)。

証明
(@) ⇒ (A)
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を生成するから、
F(R) = S となる湧き出し R = (M → G(i))_I が一意に存在し、R = lim G となる。
よって、F は I 型の極限を一意に持ち上げる。
湧き出し Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = (F(N) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は I 型の極限を生成するから、Q = lim G である。
よって、F は I 型の極限を反映する。

(A) ⇒ (@)
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
S = (L → FG(i))_I を FG の極限とする。
F は I 型の極限を一意に持ち上げるから
F(R) = S となる G の極限 R = (M → G(i))_I が一意に存在する。

湧き出し Q = (N → G(i))_I に対して F(Q) = S とする。
F は I 型の極限を反映するから Q は G の極限である。
よって、Q = R である。
よって、F は I 型の極限を生成する。
証明終

351 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 14:17:22
命題
F:C → D を関手とする。
次の条件は同値である。

(@) F は小さい極限を生成する(>>349)。

(A) F は小さい極限を持ち上げ(>>321)、
忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。

証明
(@) ⇒ (A)
>>350より F は小さい極限を一意に持ち上げ(>>321)、小さい極限を反映する(>>348)。
よって、>>337より F は忠実である。
さらに>>322より F は準忘却である。

f:X → Y を C における射で F(f) が同型であるとする。
過去スレ018の855より、1-湧き出し(過去スレ018の713) (F(f):F(X) → F(Y)) は
積(過去スレ018の858)である。
F は小さい極限を反映するから 1-湧き出し (f:X → Y) は積である。
よって、過去スレ018の855より f は同型である。
よって、F は同型を反映(>>347)する。

(続く)

352 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 14:18:08
>>351の続き

(A) ⇒ (@)
F は準忘却関手であり小さい極限を持ち上げるから、
>>322より F は小さい極限を一意に持ち上げる。
>>350より、F は小さい極限を反映する(>>324)ことを証明すれば良い。

I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし、
G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
湧き出し R = (M → G(i))_I に対して
F(R) = (F(M) → FG(i))_I が FG の極限であるとする。
F は忠実だから R は錐(過去スレ018の838)である。
F は小さい極限を持ち上げるから
G の極限 Q = (N → G(i))_I で F(Q) = F(R) となるものが存在する。
R は錐だから射 h:M → N で R = Qh となるものがある。
F(R) = F(Q)F(h) = F(R)F(h) である。
F(R) は極限であるから>>87より単湧き出しである。
よって、F(h) = 1_F(M) である。
F は同型を反映するから h は同型である。
F は準忘却であるから h = 1_M である。
よって、R = Q である。
よって R は G の極限である。
よって、F は小さい極限を反映する。
証明終

353 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 15:01:14
>>317の修正


U:Grp → Set を>>280で定義した関手とする。
>>315>>319より U は小さい極限を持ち上げる(>>321)。
U は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より、U は小さい極限を生成する(>>349)。

354 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 16:00:46
これから随伴関手について述べる。
随伴関手は普遍射(過去スレ017の572)と表現可能関手(過去スレ017の729)に
密接に関係する概念であり数学のいたるところに現れる。

355 :132人目の素数さん:2010/04/11(日) 17:31:35
では多元環の表現論における随伴管主の例を教えて下さい

356 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 18:00:58
>>355
K を可換体とし、A を K 上の多元環とする。
A の表現を考えることは A-加群を考えることである。
A-Mod を A-加群の圏とする。
A-Mod は圏であるから図式の極限(例えば直積)が考えられる。
後で示すように図式の極限は随伴関手と見なせる。

357 : ◆gt9RfBs4l1ZF :2010/04/11(日) 19:41:03
>>342
好きなAV女優の話しかしてなかったはず

358 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 19:43:19
命題
C, D, E を圏とする。
F:C×D → E、G:C×D → E を関手とする。

任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
射 ψ_(X, M):F(X, M) → G(X, M) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(@) ψ は自然変換である。

(A) C における射 f:X → Y と D における射 u:M → N に対して
次の図式が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(Y, M) → G(Y, M)

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(X, N) → G(X, N)

証明
(@) ⇒ (A)
自明である。

(続く)

359 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 19:44:03
>>358の続き

(A) ⇒ (@)
仮定より、C における射 f:X → Y と D における射 u:M → N に対して
次の図式の上と下の四角形が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(Y, M) → G(Y, M)
 ↓     ↓
F(Y, N) → G(Y, N)

よって、外側の四角形が可換になる。
よって、ψ は自然変換である。
証明終

360 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 19:51:41
>>358の修正

命題
C, D, E を圏とする。
F:C×D → E、G:C×D → E を関手とする。

任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
射 ψ_(X, M):F(X, M) → G(X, M) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(@) ψ は自然変換である。

(A) C における任意の射 f:X → Y と D における任意の射 u:M → N に対して
次の図式が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(Y, M) → G(Y, M)

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(X, N) → G(X, N)

証明
(@) ⇒ (A)
自明である。

(続く)

361 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 19:52:25
>>360の続き

(A) ⇒ (@)
仮定より、C における射 f:X → Y と D における射 u:M → N に対して
次の図式の上と下の四角形が可換になる。

F(X, M) → G(X, M)
 ↓     ↓
F(Y, M) → G(Y, M)
 ↓     ↓
F(Y, N) → G(Y, N)

よって、外側の四角形が可換になる。
よって、ψ は自然変換である。
証明終

362 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 19:54:53
定義
Set を集合全体の圏(過去スレ017の342)とする。
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。

(X, M) ∈ C×D に対して Hom(F(X), M) を対応させることにより
関手 Hom(F(-), -):(C^o)×D → Set が得られる。

(X, M) ∈ C×D に対して Hom(X, G(M)) を対応させることにより
関手 Hom(-, G(-)):(C^o)×D → Set が得られる。

自然同型(過去スレ018の144) ψ:Hom(F(-), -) → Hom(-, G(-)) があるとする。

このとき、F を G の左随伴関手(left adjoint to G)と呼び、
G を F の右随伴関手(right adjoint to F)と呼ぶ。

三つ組み (F, G, ψ) を随伴状況(adjoint situation)と呼ぶ。
ψ を省略して (F, G) を随伴状況とも呼ぶ。

363 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 20:01:08
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
全単射 ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在するとする。
このとき、次の条件は同値である。

(@) (F, G, ψ) は随伴状況である(>>362)。

(A) C における任意の射 f:Y → X と D における任意の射 u:M → N に対して
次の二つの図式が可換になる。

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
   ↓       ↓
Hom(F(Y), M) → Hom(Y, G(M))

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
   ↓       ↓
Hom(F(X), N) → Hom(X, G(N))

証明
過去スレ017の391および>>360より明らかである。

364 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 20:39:19
定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
任意の (X, M) ∈ C×D (>>305)に対して
ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。
f:F(X) → M と u:X → G(M) が ψ_(X, M) により対応するとき
f と u は互いの転置(transpose)であると言う。
このとき、u は f^ と書き、f は u^ と書く。

365 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 20:41:06

Ab をアーベル群全体の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。

X ∈ Set に対して F(X) を X で生成される自由アーベル群とする。
Setにおける射 f:X → Y に対して Ab における射 F(f):F(X) → F(Y) を
F(f)(Σa_ix_i) = Σ(a_i)f(x_i) で定義する。
ここで、各 a_i は有理整数であり、各 x_i ∈ X である。
このとき、F:Set → Ab は関手である。

関手 U:Ab → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
M ∈ Ab に対して U(M) ∈ Set を M を集合とみたものとする。
h: M → N を Ab における射としたとき U(h):U(M) → U(N) を
集合間の写像としての h とする。

h:F(X) → M を Ab における射とする。
h を X に制限することにより写像 h^:X → U(M) が得られる。
h に h^ を対応させる写像を ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, U(M)) とする。

f:X → U(M) を Set における射とする。
Ab における射 f^:F(X) → M を f^(Σa_ix_i) = Σ(a_i)f(x_i) で定義する。
f に f^ を対応させる写像を φ_(X, M):Hom(X, U(M)) → Hom(F(X), M) とする。
ψ_(X, M) と φ_(X, M) は互いに逆写像である。

ψ_(X, M) が (X, M) に関して自然なことは容易にわかる。
よって、(F, U, ψ) は随伴状況である(>>362)。

366 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 21:18:12

Set を集合全体の圏とする。
X, Y, Z を Set の対象とし、f:X×Y → Z を射とする。
x ∈ X に対して f^(x):Y → Z を f^(x)(y) = f(x, y) で定義する。
Hom(Y, Z) を Z^Y と書くことにする。
f^:X → Z^Y である。
f に f^を対応させることにより全単射 ψ:Hom(X×Y, Z) → Hom(X, Z^Y) が得られる。

Y を固定する。
関手 F:Set → Set を F(X) = X×Y により定義する。
関手 G:Set → Set を G(Z) = Z^Y により定義する。
このとき、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

367 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 21:47:02

A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
A-Mod-B を A が左から作用し、B が右から作用する両側加群の圏とする。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
B-Mod を左 B-加群の圏とする。

X ∈ A-Mod-B
Y ∈ B-Mod
のとき、(X※Y)_B を X と Y の B 上のテンソル積とする。
(X※Y)_B ∈ A-Mod である。

X ∈ A-Mod-B
Y ∈ B-Mod
Z ∈ A-Mod
のとき全単射 ψ:Hom_A((X※Y)_B, Z) → Hom_B(Y, Hom_A(X, Z)) が存在する。

X ∈ A-Mod-B を固定する。
F:B-Mod → A-Mod を F(Y) = (X※Y)_B により定義する。
G:A-Mod → B-Mod を G(Z) = Hom_A(X, Z) により定義する。

このとき、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

368 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 22:26:10
例(スキーム論の基礎知識を仮定する)
LRngSp を局所環付き空間の圏とする。
CRng を可換環の圏とする。

A ∈ (CRng)^o にアフィンスキーム Spec(A) を対応させる
関手を Spec:(CRng)^o → LRngSp とする。

X ∈ LRngSp に対してその構造層 O_X の大域断面のなす環 Γ(X, O_X) を対応させる
関手を Γ:LRngSp → (CRng)^o とする。

X ∈ LRngSp と A ∈ (CRng)^o に対して
全単射 ψ:Hom(Γ(X), A) → Hom(X, Spec(A)) が存在する。

注意:この Hom(Γ(X), A) は (CRng)^o における Hom である。
これは CRng における Hom(A, Γ(X)) に等しい。

このとき、(Γ, Spec, ψ) は随伴状況(>>362)である。

369 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 23:04:51

A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
Set を集合全体の圏とする。
X ∈ Set に対して F(X) を X で生成される左 A-自由加群とする。
X に F(X) を対応させることにより関手 Set → A-Mod が得られる。

関手 U:A-Mod → Set を次のように定義する(U は忘却関手と呼ばれる)。
M ∈ A-Mod に対して U(M) ∈ Set を M を集合とみたものとする。
h: M → N を A-Mod における射としたとき U(h):U(M) → U(N) を
集合間の写像としての h とする。

このとき、(F, U) は随伴状況である(>>362)。

370 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 23:39:35

C を圏 D の反射的部分圏(過去スレ018の136)とする。
R を D から C への反射関手(過去スレ018の141)とする。
F:C → D を包含関手とする。
X ∈ D, Y ∈ C のとき、全単射 ψ:Hom(R(X), Y) → Hom(X, F(Y)) が存在する。
このとき (R, F, ψ) は随伴状況(>>362)である。

371 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 23:46:32

Uform を一様空間全体の圏とする。
CUform を完備かつ分離な一様空間全体の圏とする。
F:Uform → CUform を X ∈ Uform に X の分離完備化(過去スレ006の288) X^を
対応させる関手とする。
G:CUform → Uform を包含関手とする。

F は反射関手(過去スレ018の141)であるから、
>>370より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

372 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/11(日) 23:55:54

Grp を群全体の圏とする。
Ab をアーベル群全体の圏とする。
過去スレ018の133より、G ∈ Grp に G/[G, G] を対応させる関手 R:Grp → Ab は
Ab-反射(過去スレ018の135)である。
U:Ab → Grp を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

373 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 00:01:57

Prord を前順序集合全体の圏とする。
Poset を順序集合全体からなる Prord の充満な部分圏とする。
過去スレ018の131より、X ∈ Prord に X/〜 を対応させる関手 R:Prord → Poset は
Poset-反射(過去スレ018の135)である。
U:Poset → Prord を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

374 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 00:13:55

Top を位相空間全体の圏とする。
Top_0 を T_0 空間よりなる Top の充満部分圏(過去スレ017の362)とする。
過去スレ018の275より、X ∈ Top に X/〜 を対応させる関手 R:Top → Top_0 は
(Top_0)-反射(過去スレ018の135)である。
U:Top_0 → Top を包含関手とする。

>>370より (R, U) は随伴状況(>>362)である。

375 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 00:30:22

C を圏 D の余反射的部分圏(過去スレ018の147)とする。
R を D から C への余反射関手(過去スレ018の156)とする。
U:C → D を包含関手とする。
X ∈ C, Y ∈ D のとき、全単射 ψ:Hom(U(X), Y) → Hom(X, R(Y)) が存在する。
このとき (U, R, ψ) は随伴状況(>>362)である。

376 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 00:35:39

Ab をアーベル群全体の圏とする。
TorAb を捩れアーベル群全体の圏とする。
捩れアーベル群とはすべての元が有限位数であるアーベル群のことである。
Ab-対象 A に対して T(A) を A の有限位数全体のなすアーベル群とする。
過去スレ018の148より T:Ab → TorAb は余反射関手(過去スレ018の156)である。
U:C → D を包含関手とする。
>>375より (U, T) は随伴状況(>>362)である。

377 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 01:19:04
むなしく無内容を書き連ねているスレはここですか。

378 :熊猫 ◆ghclfYsc82 :2010/04/12(月) 02:44:12
>>377
そんな事はアリマセンな。大変に内容があります。虚しく無内容なスレ
はコレ以外のスレほぼ全部ですワ。ソレが判らへんアンタはド阿呆やナ。




379 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 08:51:11

A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
f:A → B を環の射とする。
f により B は両側 (B, A)-加群と見なす。
A-Mod を左 A-加群の圏とする。
B-Mod を左 B-加群の圏とする。

X ∈ A-Mod のとき (B※X)_A を B と X の A 上のテンソル積とする。
Y ∈ B-Mod のとき f により Y を左 A-加群とみたものを U(Y) と書く。

X ∈ A-Mod
Y ∈ B-Mod
のとき全単射 ψ:Hom_B((B※X)_A, Y) → Hom_A(X, U(Y)) が存在する。

関手 F:A-Mod → B-Mod を F(X) = (B※X)_A により定義する。
関手 U:B-Mod → A-Mod を U(Y) により定義する。

このとき、(F, U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

380 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 09:10:36
定義
M をモノイド(過去スレ017の299)とする。
K を可換環とする。
M で生成される K 上の自由加群を K[M] とする。
K[M] の2元 x, y の乗法 xy を M の乗法を線型に拡張することにより定義する。
このとき K[M] は K 上の結合的代数となる。
これを M の K 上のモノイド代数(monoid algebra)またはモノイド多元環と呼ぶ。
M が群のとき K[M] を M の K 上の群代数(group algebra)または群多元環と呼ぶ。

381 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 09:22:22

K を可換環とする。
K-Alg を K 上の単位元をもつ結合的代数の圏とする。
K-Alg における射としては単位元を単位元に移すものとする。
Mon をモノイド(過去スレ017の299)の圏とする。

A ∈ K-Alg のとき A を乗法に関するモノイドとみたものを U(A) と書く。

M ∈ Mon
A ∈ K-Alg
のとき全単射 ψ:Hom(K[M], A) → Hom(M, U(A)) が存在する。
ここで、K[M] は M の K 上のモノイド代数(>>380)である。

このとき、(K[], U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

382 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 09:48:39
定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T^p(M) を M の K 上の p 重のテンソル積 M※...※M とする。
T^p(M)※T^q(M) は T^(p+q)(M) と同一視出来るから、
2重線形写像 f_(p,q): T^p(M)×T^q(M) → T^(p+q)(M) が
f_(p,q)(x, y) = x※y により得られる。
T^0(M) = K と定義して直和 T(M) = ΣT^p(M) を考える。
T(M) は f_(p,q) により成分毎の積を定義することにより、
可換とは限らない単位元をもつ結合的な K-代数となる。
これを K-加群 M 上のテンソル代数と呼ぶ。

383 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 09:53:23

K を可換環とする。
K-Alg を K 上の単位元をもつ結合的代数の圏とする。
K-Mod を K-加群の圏とする。

A ∈ K-Alg のとき A を K-加群と見たものを U(A) と書く。
M ∈ K-Mod のとき T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。

M ∈ K-Mod
A ∈ K-Alg
のとき全単射 ψ:Hom(T(M), A) → Hom(M, U(A)) が存在する。

このとき、(T(), U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

384 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 10:14:40
定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。
{xy - yx; x ∈ M, y ∈ M} で生成される T(M) の両側イデアルを I とする。
S(M) = T(M)/I を M 上の対称代数(symmetric algebra)と呼ぶ。
S(M) は K 上の単位元を持つ結合的な可換代数である。

385 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 10:18:37

K を可換環とする。
K-CAlg を K 上の単位元をもつ結合的な可換代数の圏とする。
K-Mod を K-加群の圏とする。

A ∈ K-CAlg のとき A を K-加群と見たものを U(A) と書く。
M ∈ K-Mod のとき S(M) を M 上の対称代数(>>384)とする。

M ∈ K-Mod
A ∈ K-CAlg
のとき全単射 ψ:Hom(S(M), A) → Hom(M, U(A)) が存在する。

このとき、(S(), U, ψ) は随伴状況(>>362)である。

386 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 10:31:07
定義
K を可換環、 M を K-加群とする。
T(M) を M 上のテンソル代数(>>382)とする。
{x^2; x ∈ M} で生成される T(M) の両側イデアルを J とする。
E(M) = T(M)/J を M 上の外積代数(exterior algebra)と呼ぶ。
E(M) は K 上の単位元を持つ結合的な代数である。

387 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 12:58:52
猫が空しく応援するスレはここですか。
当然無内容ですが。

388 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 13:14:05

CRng を可換環のなす圏とする。
Z を有理整数環とする。
Z[x] を Z 上の1変数多項式環とする。
Z[x] 上の(単位元をもち結合的な)可換代数全体の圏を CRng_* と書く。
CRng_* = (Z[x]↓CRng) (過去スレ017の470) である。
CRng_* の対象は可換環 A とその元 a の組 (A, a) であり、
(A, a) から (B. b) への射は f:A → B で f(a) = b となるものである。

A ∈ CRng に (A[x], x) ∈ CRng_* を対応させる関手を F とする。
ここで、A[x] は A 上の1変数多項式環である。
(A, a) ∈ CRng_* に A ∈ CRng を対応させる関手を U とする。

このとき、(F, U) は随伴状況(>>362)である。

389 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 13:51:21

I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で、I 型の極限を持つ(>>340)とする。
Diag(I, C) を I 型の図式(過去スレ017の833)のなす圏とする。
Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(過去スレ018の837)とする。
F ∈ Diag(I, C) のとき lim F (過去スレ018の839)は
Cone(F) (過去スレ018の840)の終対象である。
lim F = (X → F(i))_I のとき記号の乱用だが X を lim F で表すことにする。
このとき関手 lim:Diag(I, C) → C が得られる。

X ∈ C、F ∈ Diag(I, C) のとき、
標準的な全単射 ψ:Hom(Δ(X), F) → Hom(X, lim(F)) がある。

このとき (Δ, lim, ψ) は随伴状況(>>362)である。

390 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 14:21:23
>>Kummer
おまえ,一体何年数学勉強してんだよ?
さっさと老人ホームいって世界最高レベルのいじめを受けて猛省してこい!

391 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 14:21:52

I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で、I 型の極限を持つ(>>340)とする。
Diag(I, C) を I 型の図式(過去スレ017の833)のなす圏とする。
Δ: C → Diag(I, C) を対角関手(過去スレ018の837)とする。
F ∈ Diag(I, C) のとき colim F (過去スレ018の847)は
Cocone(F) (過去スレ018の843)の始対象である。
colim F = (F(i) → X)_I のとき記号の乱用だが X を colim F で表すことにする。
このとき関手 colim:Diag(I, C) → C が得られる。

X ∈ C、F ∈ Diag(I, C) のとき、
標準的な全単射 φ:Hom(colim(F), X) → Hom(F, Δ(X)) がある。

このとき (colim, Δ, φ) は随伴状況(>>362)である。

392 :熊猫 ◆ghclfYsc82 :2010/04/12(月) 14:26:35
>>390
オマエな、ワシにも何かメッセージをよこせや
ちゃんと読むだけは読んだるさかいナ。




393 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 14:45:55

>>391において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 ψ:Hom(Δ(X), (Y, Z)) → Hom(X, Y×Z) がある。

このとき (Δ, ×, ψ) は随伴状況(>>362)である。

394 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 14:47:37
>>393の修正


>>389において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 ψ:Hom(Δ(X), (Y, Z)) → Hom(X, Y×Z) がある。

このとき (Δ, ×, ψ) は随伴状況(>>362)である。

395 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 14:51:09

>>391において I = {1, 2} を離散グラフ(過去スレ017の745)とする。
この場合、Diag(I, C) = C×C である。

X ∈ C, (Y, Z) ∈ C×C のとき
標準的な全単射 φ:Hom(Y+Z, X)) → Hom((Y, Z), Δ(X)) がある。

このとき (+, Δ, φ) は随伴状況(>>362)である。

396 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 15:03:52

>>389において I を ・ ⇒ ・ の形のグラフとする。
ここで ⇒ は2本の射を表す。
F ∈ Diag(I, C) は C における2本の射 f, g:X ⇒ Y である。
このとき、lim F = Ker(f, g) である。

よって、(Δ, Ker) は随伴状況(>>362)である。

397 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 15:06:17

>>391において I を ・ ⇒ ・ の形のグラフとする。
ここで ⇒ は2本の射を表す。
F ∈ Diag(I, C) は C における2本の射 f, g:X ⇒ Y である。
このとき、colim F = Coker(f, g) (過去スレ017の850)である。

よって、(Coker, Δ) は随伴状況(>>362)である。

398 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 15:15:09

>>389において I を次の形のグラフとする。

    ・
    ↓
・ → ・

F ∈ Diag(I, C) のとき lim F は F の引き戻し(過去スレ017の866)である。
lim F を pullback(F) と書く。

このとき、(Δ, pullback) は随伴状況(>>362)である。

399 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/12(月) 15:17:36

>>391において I を次の形のグラフとする。

・ → ・



F ∈ Diag(I, C) のとき colim F は F の押し出し(過去スレ017の867)である。
colim F を pushout(F) と書く。

このとき、(pushout, Δ) は随伴状況(>>362)である。

400 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 19:41:46
猫はこのような無内容な数学をやっているうちに
あたまが無内容になってしまった
それが数学だと勘違いして

フランスかぶれのバカネコ
内容でなく形式にかぶれるバカネコ

もてるフランス人になったつもりでいたら
痴漢になってしまった

あげくのはてににちゃんにいりびたり
無意味な生活をつづけることに

いやいや前の生活より有意義だわ
それくらい前の生活には意味がない

意味のない猫のことばには重みもない




401 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 19:43:22
>ワシにも何かメッセージをよこせや

かまってもらいたくてしかたがないんだな
哀れすぎるな
そこまで落ちぶれるかな

402 :132人目の素数さん:2010/04/12(月) 22:13:17
フランス大法廷ではちちもみして無罪になった判例がある。


403 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 01:19:25
ねこねこでてこい
かまってやるぞ
ねこねこでてこ
かまってやる
ねこねこ
かま
ねこ

404 :くまーものがたり:2010/04/13(火) 01:27:04
くまーは思った

俺様はみんながブログで書けというのに
にちゃんでこうもしつこくスレをつづける
それは何故なんだろう

うんこだなんだとケチつけられても平気だ
いや
むしろケチがついたほうがやる気がでてくる
快感を覚えると言った方がいいかもしれない

いやならみなけりゃいいんだ


言いつつも見てほしい

なんか女学生に下半身を見せたときのような快感だ

ああ これじゃまるで痴漢じゃないか

ああ そうか だから 俺様は猫さんと気が合うんだ

深く納得する くまー で あった

つ づ く

405 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 02:27:48
いやでも見て、お ね が い。

406 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 02:36:56
現在は代数的整数論の準備だけをしています。
代数的整数論に興味ある方はこのスレは不要と判断することをお勧めします。
ただし、このスレが続く恐れがあるので、
適時チェックして無内容を削除するほうが良いでしょう。

無内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、無内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題については
原則としてなにも書きません(たとえそれが面白くっても)。


407 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 12:07:53
命題
F: C → D を関手とする。
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
Set を集合の圏とする。
M ∈ D を固定する。
関手 Hom(M, F(-)): D → Set を H とおく。

X ∈ C とし、u ∈ H(X) = Hom(M, F(X))とする。
このとき、(X, u) が H の普遍元(過去スレ017の579)であることと、
(X, u) が M から F への普遍射(過去スレ017の572)であることは同値である。

証明
(X, u) が H の普遍元であるとは、
任意の Y ∈ C と H(Y) = Hom(M, F(Y)) の任意の元 v に対して
H(f)(u) = v となる射 f: X → Y が一意に存在することである。
これは (X, u) が M から F への普遍射であることを示している。
証明終

408 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 12:14:35
くまーは無職で生活保護でくらしている

Bなので優先的にもらえるのだ

409 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 12:45:14
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
自然同型 ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在する。

Set を集合の圏とする。
X ∈ D を任意に固定する。
関手 Hom(X, G(-)): D → Set を H とおく。
関手 Hom(F(X), -) と H は ψ_(X, -) により自然同型である。
即ち、H は表現可能(過去スレ017の729)である。

全単射 ψ_(X, F(X)):Hom(F(X), F(X)) → Hom(X, G(F(X))) により、
1_F(X) ∈ Hom(F(X), F(X)) が η_X ∈ Hom(X, G(F(X))) に対応するとする。
過去スレ017の729より、(F(X), η_X) は H の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>407より、(F(X), η_X) は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
よって、任意の X ∈ D に対して X から G への普遍射が存在する。

410 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 14:56:41
■妄想とは、
非合理的かつ訂正不能な思いこみのこと。
妄想を持った本人にはその考えが妄想であるとは認識しない場合が多い。←←←←←
妄想の弊害: その妄想に対して否定的な現実を敵視したり、妄想を認めない他人に攻撃的になることがある。

■統合失調症とは、
妄想や幻覚などの多様な症状を示す症候群で精神疾患の一つ。

■偏執病(パラノイア)は、
精神病の一種で、体系だった妄想を抱くものを指す。
自らを特殊な人間であると信じるとか、隣人に攻撃を受けている、などといった異常な妄想に囚われるが、
強い妄想を抱いている、という点以外では人格的に常人と大して変わらない点が特徴。
症状
被害妄想 - 挫折・侮辱・拒絶などへの過剰反応、他人への根強い猜疑心(さいぎしん)。
誇大妄想 - 数を誇大に示したり、大げさな表現を好むなど。
激しい攻撃性 - 誹謗中傷など。

■ルサンチマンとは、
デンマークの思想家セーレン・キェルケゴールにより確立された哲学上の概念。
主に、ある感情を感じたり行動を起こしたりさせる状況下で生きられる人、
すなわち強者に対して、それをなしえない弱い者の憤りや怨恨、憎悪、
非難の感情をいう。この感情は自己欺瞞を含み、嫉妬や羨望から来る。
ルサンチマンの例は、敵との対比(実際の敵であることもあれば空想上の敵で
あることもある)において自己を定義しようとする様々なイデオロギーである。
このようなイデオロギーでは敵(すなわち自分が無力である原因または無力で
あると感じる原因)が悪の元凶扱いされ、反対に、道徳的に優れているのは自分
だとされる。彼らは悪人だ、従ってわれわれは善人だ、というわけである。
あるいはまた、世界はどうしようもなく悪によって支配されている。したがって
われわれのほうが世界より優れている、ともなる。


411 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 15:12:51
命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η_X ∈ Hom(X, G(F(X))) を>>409で定義した射とする。
η:1_C → GF は自然変換である。

証明
f:X → Y を C における射とする。
ψ:Hom(F(-), -) → Hom(-, G(-)) は自然変換であるから
次の図式の上下の四角形は可換である。

Hom(F(X), F(X)) → Hom(X, G(F(X)))
    ↓          ↓
Hom(F(X), F(Y)) → Hom(X, G(F(Y)))
    ↑          ↑
Hom(F(Y), F(Y)) → Hom(Y, G(F(Y)))

この図式において、
1_F(X) の Hom(F(X), F(X)) → Hom(F(X), F(Y)) による像と
1_F(Y) の Hom(F(Y), F(Y)) → Hom(F(X), F(Y)) による像は一致する。
よって、次の図式は可換である。

 X   →   Y
 ↓      ↓
G(F(X)) → G(F(Y))

よって、η:1_C → GF は自然変換である。
証明終

412 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 15:18:54
猫へ
めっせーじ

このめっせーじ
よむな

413 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 15:23:47
定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
>>411の自然変換 η:1_C → GF を随伴状況 (F, G, ψ) の単位(unit)と呼ぶ。

414 :熊猫 ◆ghclfYsc82 :2010/04/13(火) 15:58:12
>>412
「読んでも無意味なカキコ」だという事実を読んで理解しました。




415 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 16:07:22
かまってもらって狂喜する猫

416 :熊猫 ◆ghclfYsc82 :2010/04/13(火) 16:30:10
>>415
そうですか。では思いっきりかまってやって下さいな。
但しこのスレが焼け野が原になるのは望まないので、
何処か別のスレで戦いましょう。なのでどうぞお好きな
場所を選んでジャンプして下さいな、ご自分の墓場として。




417 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 16:30:52
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
自然変換 η:1_C → GF があり次の条件(*)を満たすとする。

(*)任意の X ∈ D に対して (F(X), η_X) は
X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。

このとき、任意の f:X → G(M) に対して u:F(X) → M で
f = G(u)η_X となるものが一意に存在する。
即ち、f:X → G(M) = X → G(F(X)) → G(M)
よって、ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を ψ_(X, M)(u) = G(u)η_X
で定義すれば ψ_(X, M) は全単射である。

このとき、ψ は自然変換であり、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

証明
f:X → Y を C の射とする。
η は自然変換であるから v:F(Y) → M に対して次の図式は可換である。

X → G(F(X)) → G(M) = X → G(M)
↓   ↓    ↓ ↓   ↓
Y → G(F(Y)) → G(M) = Y → G(M)

即ち、ψ(v)f = G(v)ηf = G(v)G(F(f))η = G(vF(f))η = ψ(vF(f))
よって、次の図式は可換である。

Hom(F(X), M)   → Hom(X, G(M))
   ↑        ↑
Hom(F(Y), M)   → Hom(Y, G(M))

(続く)

418 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 16:31:47
>>417の続き

u:M → N を D の射とする。
w:F(X) → M に対して
G(u)ψ(w) = G(u)G(w)η = G(uw)η = ψ(uw)
よって、次の図式は可換である。

Hom(F(X), M)   → Hom(X, G(M))
   ↓          ↓
Hom(F(X), N)   → Hom(X, G(N))

よって、>>363より (F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。
証明終

419 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 18:34:13
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G:D → C を関手とする。
任意の X ∈ C に対して X から G への普遍射(過去スレ017の572) (X^, η_X) が
存在するとする。
各 X ∈ C に対して X^∈ Dを選ぶ(選択公理)。
F(X) = X^とおく。

f:X → Y を C-射とすると、(F(X), η_X) が普遍射であることより、
次の図式を可換にする D-射: F(f):F(X)→ F(Y) が一意に存在する。

X   →  Y
↓     ↓
GF(X) → GF(Y)

このとき F:C → D は関手である。
よって、>>417より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

証明(過去スレ018の140を参照)
各 X ∈ C に対して F(1_X) = 1_F(X) は F(1_X) の一意性から明らかである。

f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
次の図式の左右の四角は可換であるから外側の四角も可換である。
よって、F(gf) の一意性より、F(gf) = F(g)F(f) である。

X   →  Y  →  Z
↓     ↓     ↓
GF(X) → GF(Y) → GF(Z)
証明終

420 :132人目の素数さん:2010/04/13(火) 18:37:43
>>416
自分からのこのこ出てきて偉そうなこと言うな
誰がお前なんかかまってやるかアホ

421 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 18:57:26
命題
F: C → D を関手とする。
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
Set を集合の圏とする。
M ∈ D を固定する。
関手 Hom(F(-), M): C^o → Set を K とおく。

X ∈ C とし、u ∈ K(X) = Hom(F(X), M)とする。
このとき、(X, u) が K の普遍元(過去スレ017の580)であることと、
(X, u) が F から M への普遍射(過去スレ017の573)であることは同値である。

証明
>>407と双対原理(過去スレ018の159)。

422 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 18:58:34
>>409
>X ∈ D を任意に固定する。

X ∈ C を任意に固定する。

423 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:03:30
>>409の双対

(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
自然同型 ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) が存在する。

Set を集合の圏とする。
M ∈ D を任意に固定する。
関手 Hom(F(-), M): C^o → Set を K とおく。
関手 Hom(-, G(M)) と K は ψ_(-, M) により自然同型である。
即ち、K は表現可能(過去スレ017の653)である。

全単射 ψ_(G(M), M):Hom(F(G(M)), M) → Hom(G(M), G(M)) により、
1_G(M) ∈ Hom(G(M), G(M)) が ε_M ∈ Hom(F(G(M)), M) に対応するとする。
過去スレ017の653より、(G(M), ε_M) は K の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>421より、(G(M), ε_M) は F から M への普遍射(過去スレ017の573)である。
よって、任意の M ∈ D に対して F から M への普遍射が存在する。

424 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:06:11
命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
ε_M ∈ Hom(F(G(M)), M) を>>423で定義した射とする。
ε:FG → 1_D は自然変換である。

証明
>>411と双対原理(過去スレ018の159)。

425 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:09:02
定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
>>424の自然変換 ε:FG → 1_D を随伴状況 (F, G, ψ) の余単位(counit)と呼ぶ。

426 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:14:30
>>417
>(*)任意の X ∈ D に対して (F(X), η_X) は

(*)任意の X ∈ C に対して (F(X), η_X) は

427 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:27:21
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
自然変換 ε:FG → 1_D があり次の条件(*)を満たすとする。

(*)任意の M ∈ D に対して (G(M), ε_M) は
F から M への普遍射(過去スレ017の573)である。

このとき、任意の u:F(X) → M に対して f:X → G(M) で
u = (ε_M)F(f)となるものが一意に存在する。
即ち、u:F(X) → M = F(X) → F(G(M)) → M
よって、φ_(X, M):Hom(X, G(M)) → Hom(F(X), M) を φ_(X, M)(f) = (ε_M)F(f)
で定義すれば φ_(X, M) は全単射である。

このとき、φ は自然変換であり、(F, G, φ^(-1)) は随伴状況(>>362)である。

証明
>>417と双対原理(過去スレ018の159)。

428 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/13(火) 19:36:32
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して F から M への普遍射(過去スレ017の572) (M^, ε_M) が
存在するとする。
各 M ∈ D に対して M^∈ C を選ぶ(選択公理)。
G(M) = M^とおく。

u:M → N を D-射とすると、(G(N), ε_N) が普遍射であることより、
次の図式を可換にする C-射: G(f):G(M)→ G(N) が一意に存在する。

FG(M) → FG(N)
↓     ↓
M   →  N

このとき G:D → C は関手である。
よって、>>427より (F, G) は随伴状況(>>362)である。

証明
>>419と双対原理(過去スレ018の159)。

429 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 00:38:50
このようなこといくらやってもなんにもならん
だって
くまーは数学者じゃないからな

430 :132人目の素数さん:2010/04/14(水) 01:35:15
猫は、空虚な一般論が好きなんだろ。
アホだな。計算が嫌いで碌な数学ができるわけがない。
数学的には去勢された猫だ。
それはKUMMERも同じだ。
その分、現実で痴漢するということになる。
アホアホコンビの気の合いますことよ。




431 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/16(金) 02:33:34
命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε:FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。

このとき次の公式が成り立つ。

(@) u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X)

(A) f ∈ Hom(X, G(M)) のとき ψ^(-1)(f) = (ε_M)F(f)

証明
(@)
ψ(1_F(X)) = η_X (>>409)と次の図式が可換なことからわかる。

Hom(F(X), F(X)) → Hom(X, G(F(X)))
   ↓        ↓
Hom(F(X), M)  → Hom(X, G(M))

(A)
ψ^(-1)(1_G(M)) = ε_M (>>423)と次の図式が可換なことからわかる。

Hom(F(G(M)), M) ← Hom(G(M), G(M))
   ↓        ↓
Hom(F(X), M)  ← Hom(X, G(M))

証明終

432 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/16(金) 02:36:15
命題
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε:FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。
過去スレ018の118より、ηG:G → GFG が定義される。
過去スレ018の119より、Gε:GFG → G が定義される。
このとき、次の等式が成り立つ。

 ηG  Gε   1_G
G → GFG → G = G → G

即ち、(Gε)(ηG) = 1_G

同様に次の等式が成り立つ。

 Fη  εF   1_F
F → FGF → F = F → F

即ち、(εF)(Fη) = 1_F

証明
>>423より、任意の M ∈ D に対して ψ^(-1)(1_G(M)) = ε_M である。
よって、ψ(ε_M) = 1_G(M) である。
一方、>>431より、ψ(ε_M) = G(ε_M)(η_G(M))
よって、G(ε_M)η_G(M) = 1_G(M)
よって、(Gε)(ηG) = 1_G
>>409より、任意の X ∈ C に対して ψ(1_F(X)) = η_X である。
よって、ψ^(-1)(η_X) = 1_F(X) である。
一方、>>431より、ψ^(-1)(η_X) = (ε_F(X))F(η_X)
よって、(ε_F(X))F(η_X) = 1_F(X)
よって、(εF)(Fη) = 1_F
証明終

433 :くまーものがたり:2010/04/16(金) 02:39:10
くまーは苦しんだ

ながいあいだの便秘だった
俺様はガウスと同じように
数学者になろうか言語学者になろうか
迷ったこともあったなあ
甘い思い出に浸るくまーだった

しかし実際は
あえて学者となのったとしても
せいぜいが
うんこがくしゃ
にすぎないのであった

つづく

434 :くまーものがたり:2010/04/16(金) 02:44:55
くまーは猫のことを思った

猫は苦しんでいる
あがいている

たすけてやりたい

でも どうやって?

函館に行って猫さんに会おうか
北海道は俺様の故郷だし
くまーの由来も北海道だし

でも問題は 金だ 飛行機代も なにもない
猫さん お金貸して

なさけないくまーだった

つづく

435 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/16(金) 18:09:48
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
η:1_C → GF と ε:FG → 1_D を自然変換とし、
(Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F が成り立つとする。

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X) により定義する。

φ_(X, M):Hom(X, G(M)) → Hom(F(X), M) を
f ∈ Hom(X, G(M)) のとき φ(f) = (ε_M)F(f) により定義する。

このとき φ = ψ^(-1) であり、ψ は自然同型である。
よって、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

証明
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u):X → GF(X) → G(M)
φ(ψ(u)):F(X) → FGF(X) → FG(M) → M

一方、ε は自然変換であるから次の図式は可換である。

F(X) → FGF(X) → FG(M)
     ↓   ↓
     F(X) → M

(εF)(Fη) = 1_F であるから、この図式の F(X) → FGF(X) → F(X) は 1_F(X) である。
よって、φ(ψ(u)) = u である。

同様に f ∈ Hom(X, G(M)) のとき ψφ(f) = f である。
よって、ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) は全単射である。
(続く)

436 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/16(金) 18:10:31
>>435の続き

u ∈ Hom(F(X), M) のとき v:M → N に対して
G(v)G(u)(η_X) = G(vu)(η_X)

よって、次の図式は可換である。
Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
   ↓       ↓
Hom(F(X), N) → Hom(X, G(N))

u ∈ Hom(F(X), M) のとき f:Y → X に対して
ψ(u)f = G(u)(η_X)f

一方、η は自然変換であるから次の図式は可換である。

Y   →  X
↓     ↓
GF(Y) → GF(X)

よって、GF(f)(η_Y) = (η_X)f
よって、ψ(u)f = G(u)(η_X)f = G(u)GF(f)(η_Y) = G(uF(f))(η_Y) = ψ(uF(f))
よって次の図式は可換である。

Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M))
   ↓       ↓
Hom(F(Y), M) → Hom(Y, G(M))

以上から>>363より (F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。
証明終

437 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/16(金) 18:48:20
命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G:D → C を関手とする。
Set を集合の圏とする。
任意の X ∈ C に対して関手 Hom(X, G(-)): D → Set が
表現可能(過去スレ017の729)であるとする。

このとき関手 F:C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在する。

証明
各 X ∈ C に対して X^ ∈ D があり、
Hom(X^, -) と Hom(X, G(-)) は自然同型になる。
よって、全単射 Hom(X^, X^) → Hom(X, G(X^)) が存在する。
このとき、1_X^ ∈ Hom(X^, X^) が η_X ∈ Hom(X, G(X^)) に対応するとする。
過去スレ017の729より、(X^, η_X) は Hom(X, G(-)) の普遍元(過去スレ017の579)である。
よって、>>407より、(X^, η_X) は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
よって、>>419より、関手 F:C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在する。
証明終

438 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 00:51:57
定義
(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε:FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。

この状況を簡潔に表すため、(F, G, ψ, η, ε) も随伴状況と呼ぶ。

439 :132人目の素数さん:2010/04/17(土) 00:53:47
うんこに血がまじってきたぞ

440 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 00:54:15
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
η:1_C → GF と ε:FG → 1_D を自然変換とし、
次の条件(*)を満たすとする。

(*) (Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F

任意の (X, M) ∈ C×D に対して
ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) を
u ∈ Hom(F(X), M) のとき ψ(u) = G(u)(η_X) により定義する。
>>435より、(F, G, ψ) は随伴状況(>>362)である。

逆に (F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
ε:FG → 1_D を (F, G, ψ) の余単位(>>425)とする。
>>432より、η と ε は条件(*)を満たす。

以上から、(F, G, ψ) が随伴状況であることと、
条件 (*) を満たす自然変換 η:1_C → GF と ε:FG → 1_D が存在することは
同値である。

よって次の定義を行う。

441 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 00:54:58
定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、G:D → C を関手とする。
η:1_C → GF と ε:FG → 1_D を自然変換とし、
次の条件(*)を満たすとする。

(*) (Gε)(ηG) = 1_G かつ (εF)(Fη) = 1_F

このとき、(F, G, η, ε) を随伴状況と呼ぶ。

442 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 01:48:03
定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G:D → C を関手とする。
関手 F:C → D で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在するとき
G を右随伴関手と呼ぶ。

443 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 01:49:13
定義
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D を関手とする。
関手 G:D → C で (F, G) が随伴状況(>>362)となるものが存在するとき
F を左随伴関手と呼ぶ。

444 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/17(土) 02:44:06
命題
(F, G, ψ) と (F’, G, ψ’) を随伴状況(>>362)とする。
このとき、F と F’は自然同型である。

証明
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
>>409より、任意の X ∈ C に対して、(F(X), η_X) は
は X から G への普遍射(過去スレ017の572)である。
同様に、η’:1_C → GF’ を (F’, G, ψ) の単位とすると、
(F’(X), η’_X) は X から G への普遍射である。

(F(X), η_X) と (F’(X), η’_X) は圏 (X↓G) (過去スレ017の571)の
始対象であるから同型である。
よって、θ_X:F(X) → F’(X) で η’_X = G(θ_X)η_X となるものが一意に存在する。

f:X → Y を C における射とする。
次の図式において、上の四角と外側の四角は可換である。

X   →  Y
↓     ↓
GF(X) → GF(Y)
↓     ↓
GF’(X) → GF’(Y)

X → GF(X) は普遍射であるから次の図式は可換である。

F(X) → F’(X)
↓    ↓
F(Y) → F’(Y)

よって、θ:F → F’は自然同型である。
証明終

445 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 01:11:24
>>434
お前の書き込みだけあぼーんしたいからコテハンよろしく

446 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 01:28:22
>>445
ホウ、そういうカキコがアルんでっかァ!
まあ捨て置いたらよろしゅうおすやん、ワシは全然気付かへんやった
ですワ。まあ「あぼーん」っちゅうよりも続編を待ったらどうでっしゃろ?
打ち下すんは出てからでもよろしゅおすやん




447 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 01:32:53
>>445
やだよ

448 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 01:35:59
荒らすなよ猫
打ち下す
ってお前なにもできたことがないじゃないかよ

大口ばかりで何もできない猫

449 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 01:41:29
>>448
だったらワシの事は恐れるに足らず。従ってワシは安心してカキコが出来まする。




450 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 01:48:25
>>449
恐れてないよ
当たり前ジャン

どんどんカキコせえよ
ジャンジャンせんかい

ほらほら

もっとせんかい

451 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 01:56:38
函館にはなにがある?
イカが名物
でも猫は生のイカが喰えない
かわいそ

452 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 01:57:29
>>450
なるほどナ。ほしたらワシはドンドン・ジャンジャンするさかいナ。
尤も「もっと」っちゅうんは露骨にはせえへんのんやけんどナ。




453 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 02:25:13
>>452
何ぐだぐだ言う豚
ちっとは数学に関係ある書き込みしてみろよ
お前の好きな中身のない数学スレなんやで

454 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 10:10:46
>>453
アンタは何アホな事を言うてんのや!
何をカキコしようと、ソレは「ワシの勝手」であってですナ、
アンタには無関係や そやし馬鹿は黙っとれやナ。




455 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 12:47:22
>>454
痛いところ突かれて慌てふためく馬鹿猫

そのような馬鹿に育ててくれた親父に感謝しろよ

456 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 13:02:02
>>455
猫が大学をくびになったおかげで日本の数学界はちょっと恩恵を受けた。
こんなあほでも大学にいたら数学者として通用してしまう。けれど、
今は単なる痴漢。誰からも尊重されない。大学にいたときから、あたまが
おかしくなって病人だったが、それでも表立ってそう扱うことはできなかった。
今なら虫けらのように無視しても何の問題はない。


457 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 14:15:54
はあ、なるほど。誰かの個人情報の漏洩という訳ですか。
とても興味深いお話しですワ。




458 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 14:24:07
個人情報? 漏洩?
なに寝惚けトン
のうみそ だだもれに もれとん ちゃう

459 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 14:45:52
ああそうなん。ちゃうんかいな




460 :132人目の素数さん:2010/04/18(日) 14:51:13
他人の思考を盗聴する奴は地球の外にうんたらかんたら

461 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/18(日) 16:47:52
>>460
その「他人の思考を盗聴する奴」っちゅうんは誰なんや?
ほんでその内容っちゅうんはどんな話なんやねん?




462 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 12:57:29
命題
右随伴関手(>>442)は単湧き出し(過去スレ018の715)を保存する。

証明
G:D → C を右随伴関手とする。
(F, G) を随伴状況(>>441)とする。
η:1_C → GF を (F, G) の単位(>>413)とする。

S = (f_i:M → M_i)_I を D における単湧き出しとする。
G(S) が単湧き出しであることを証明すればよい。

f:X → G(M) と g:X → G(M) を G(S)f = G(S)g (過去スレ018の714)となる射とする。

f^:F(X) → M で G(f^)η_X = f
g^:F(X) → M で G(g^)η_X = g
となるものがそれぞれ一意に存在する。

G(Sf^)η_X = G(S)G(f^)η_X = G(S)f
G(Sg^)η_X = G(S)G(g^)η_X = G(S)g
よって、G(Sf^)η_X = G(Sg^)η_X
よって、Sf^ = Sg^
S は単湧き出しであるから f^ = g^ である。
よって、f = g である。
よって、G(S) は単湧き出しである。
証明終

463 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 13:00:00
>>462
>(F, G) を随伴状況(>>441)とする。

(F, G) を随伴状況(>>362)とする。

464 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 14:31:11
命題
右随伴関手(>>442)は極限を保存(>>303)する。

証明
G:D → C を右随伴関手とする。
(F, G) を随伴状況(>>441)とする。
η:1_C → GF を (F, G) の単位(>>413)とする。

E:I → D を図式とする。
S = (u_i:L → E_i)_I を E の極限とする。
G(S) が GE の極限であることを証明すればよい。

(f_i:X → G(E_i))_I を錐(過去スレ017の742)とする。
各 i に対して (f_i)^:F(X) → E_i で f_i = G((f_i)^)η_X となるものが
一意に存在する。
各 (f_i)^ の一意性から ((f_i)^:F(X) → E_i)_I は錐である。
よって、u:F(X) → L で各 i に対して (f_i)^ = (u_i)u となるものが一意に存在する。
各 i に対して G((f_i)^) = G(u_i)G(u) より、
G((f_i)^)η_X = G(u_i)G(u)η_X
よって、f = G(u)η_X とおけば各 i に対して f_i = G(u_i)f
>>462より f の一意性がでる。
よって、G(S) は GE の極限である。
証明終

465 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 14:40:49
>>464は次のように考えると分かりやすい。

L = lim E だから、任意の X ∈ C に対して
Hom(F(X), L) = lim Hom(F(X), E_i)
と見なせる。

(F, G) が随伴状況であることから
Hom(X, G(L)) = lim Hom(X, G(E_i))
と見なせる。

よって、G(L) = lim G(E_i) である。

466 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 16:26:53
命題
C, D, E を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F:C → D、F’:D → E
G:D → C、G’:E → D
を関手とする。
(F, G)、(F’, G’) を随伴状況(>>362)とする。

このとき、(F’F, GG’) は随伴状況である。

証明
X ∈ C、T ∈ E のとき、
Hom(F’F(X), T) ⇔ Hom(F(X), G’(T)) ⇔ Hom(X, GG’(T))
ここで、⇔ は (X, T) に関する自然同型である。

よって、(F’F, GG’) は随伴状況である。
証明終

467 :132人目の素数さん:2010/04/20(火) 16:44:33
ねうしとらうたつみうまひつじさるといぬい

468 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/20(火) 17:51:45
補題
C と D を圏とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
D は I 型の極限を持つ(>>340)とする。

このとき D^C (過去スレ018の142)も I 型の極限を持つ。

証明
各 X ∈ C に対して関手 ε_X:D^C → C を (ε_X)(F) = F(X) により定義する。

R:I → D^C を図式(過去スレ017の833)とする。
各 X ∈ C に対して (ε_X)R:I → D は図式である。
D は I 型の極限を持つから lim (ε_X)R が存在する。
F(X) = lim (ε_X)R とおく。
F は自明に関手 F:C → D となる。
このとき、F = lim R となることが容易にわかる。
よって、D^C は I 型の極限を持つ。
証明終

469 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 04:13:22
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
f:X → Y を C における射とする。
f^:Hom(Y, -) → Hom(X, -) を f から引き起こされる自然変換とする。

(@) 各 T ∈ C に対して f^_T が単射であるためには
f が全射であることが必要十分である。

(A) 各 T ∈ C に対して f^_T が全射であるためには
f が断面(過去スレ018の430)であることが必要十分である。

証明
(@) は全射の定義から明らかである。

(A)
各 T ∈ C に対して f^_T:Hom(Y, T) → Hom(X, T) が全射であるとする。
f^_X:Hom(Y, X) → Hom(X, X) が全射であるから
g:Y → X で gf = 1_X となるものがある。
よって f は断面である。

逆に f が断面であるとする。
g:Y → X で gf = 1_X となるものがある。
h:X → T に対して h = hgf
よって、(f^_T)(hg) = h である。
よって、f^_T は全射である。
証明終

470 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 04:31:59
命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が忠実であるためには各 M ∈ D に対して ε_M が全射であることが必要十分である。

証明
任意の M, N ∈ D に対して
G:Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) と
ψ^(-1):Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
の合成 ψ^(-1)G:Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
は ε_M:FG(M) → M により引き起こされる。

>>469より ψ^(-1)G が各 N に対して単射であるためには
ε_M が全射であることが必要十分である。
ψ^(-1) は全単射であるから本命題が従う。
証明終

471 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 04:35:05
命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が充満(過去スレ017の360)であるためには
各 M ∈ D に対して ε_M が断面(過去スレ018の430)であることが必要十分である。

証明
任意の M, N ∈ D に対して
G:Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) と
ψ^(-1):Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
の合成 ψ^(-1)G:Hom(M, N) → Hom(G(M), G(N)) → Hom(FG(M), N)
は ε_M:FG(M) → M により引き起こされる。

>>469より ψ^(-1)G が各 N に対して全射であるためには
ε_M が断面であることが必要十分である。
ψ^(-1) は全単射であるから本命題が従う。
証明終

472 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 04:44:05
命題
(F, G, ψ、η, ε) を随伴状況(>>438)とする。

G が充満忠実(過去スレ017の403)であるためには
各 M ∈ D に対して ε_M が同型であることが必要十分である。

証明
G が充満忠実なら>>470>>471より ε_M は全射かつ断面である。
よって、>>238より ε_M は同型である。

逆にε_M が同型であるとする。
ε_M は全射かつ断面であるかから>>470>>471より G は充満忠実である。
証明終

473 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 06:59:18
補題
F:C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から D への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき、F が積を保存(>>258)すれば P は積を生成(>>349)する。

証明
P は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より P が積を持ち上げる(>>321)ことを証明すればよい。

I を小さい集合とし (u_i:M → F(X_i))_I を (M↓F) の対象の族とする。
(f_i:X → X_i)_I を C における積とする。
F は積を保存するから (F(f_i):F(X) → F(X_i))_I は D における積である。

よって、u:M → F(X) で、各 i に対して F(f_i)u = u_i となるものが一意に存在する。
各 i に対して f_i:u → u_i は (M↓F) における射である。
(f_i:u → u_i)_I が (M↓F) における積であることを示そう。

v:M → F(Y) とし、(g_i:v → u_i)_I を湧き出しとする。
ここで、g_i:Y → X_i であり、F(g_i)v = u_i である。
(f_i:X → X_i)_I は積であるから g:Y → X で
(f_i)g = g_i となるものが一意に存在する。

F(f_i)F(g) = F(g_i)
よって、F(f_i)F(g)v = F(g_i)v = u_i

一方、F(f_i)u = u_i であるから u の一意性より F(g)v = u
よって、g:v → u であり、(M↓F) における射として (f_i)g = g_i である。
このような g は一意であるから (f_i:u → u_i)_I は積である。
証明終

474 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 14:32:35
補題
F:C → D を関手とする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から D への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき、F が差核を保存(>>257)すれば P は差核を生成(>>349)する。

証明
P は忠実(過去スレ017の403)かつ準忘却(過去スレ018の35)であり同型を反映(>>347)する。
よって、>>351より P が差核を持ち上げる(>>321)ことを証明すればよい。

u:M → F(X) と v:M → F(Y) を (M↓F) の対象とし、
f:u → v と g:u → v を (M↓F) における射とする。
ここで、f:X → Y、g:X → Y であり、F(f)u = v、F(g)u = v である。

h:K → X を f と g の差核とする。
F は差核を保存するから F(h):F(K) → F(X) は F(f) と F(g) の差核である。
F(f)u = F(g)u であるから w:M → F(K) で F(h)w = u となるものが一意に存在する。

h:w → u が f:u → v と g:u → v の差核であることは図を描いてみれば分かる。
ここにその図を描くのは面倒なので省略する。
証明終

475 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 14:43:15
補題
F:C → D を関手とする。
C は完備で F は小さい極限を保存する(>>259)とする。

このとき、任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) は完備である。

証明
>>473>>474より (M↓F) は積と差核を持つ(過去スレ018の910と>>161)。
よって、>>183より (M↓F) は完備である。
証明終

476 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 15:05:58
定義
C を圏とし X, Y を C の対象とする。
S = (f_i)_I を Hom(X, Y) の元の族とする。

S は C における図式(過去スレ017の833)と見なせる。
このとき、lim S を S の多重差核と呼ぶ。

I = {1, 2} のとき S の多重差核は f_1 と f_2 の差核(過去スレ017の772)である。

477 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 15:28:05
補題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で完備(過去スレ017の828)とする。
C が次の条件 (S) を満たせば、C は始対象(過去スレ017の288)を持つ。

(S) 小さい集合 I と C の対象の族 (W_i)_I があり
任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i:W_i → X がある。

証明
C は完備だから (W_i)_I の積 (p_i:W → W_i)_I が存在する。
条件 (S) より、任意の X ∈ C に対して i ∈ I と射 f_i:W_i → X がある。
f = f_ip_i とおけば f:W → X である。
即ち Hom(W, X) は空でない。

C は局所的に小さいから Hom(W, W) は小さい集合である。
C は完備だから Hom(W, W) の多重差核(>>476) が存在する。
これを e:O → W とする。

(続く)

478 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 15:28:49
>>477の続き

O が始対象であることを証明しよう。
X を C の任意の対象とする。
上で示したように f:W → X がある。
よって、fe:O → X となり Hom(O, X) は空でない。
よって、f, g ∈ Hom(O, X) のとき f = g を示せばよい。

h:K → O を f と g の差核とする。

K → O ⇒ X
↑ ↓
W → W

上で示したように Hom(W, K) は空でないから s:W → K がある。

ehs ∈ Hom(W, W) である。
e は Hom(W, W) の多重差核であるから ehse = (1_W)e = e である。
よって、e(hse) = e(1_O) である。
e は単射であるから hse = 1_O である。
よって、h は引き込み(過去スレ018の328)である。
h は単射であるから>>239より h は同型である。
よって、f = g である。
証明終

479 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 15:32:55
いろはにほへと

480 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/21(水) 16:12:22
命題(Freydの随伴関手定理)
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G:D → C を関手とする。
D は完備で G は小さい極限を保存する(>>259)とする。

G が次の条件 (S) を満たせば、G は右随伴関手(>>442)である。

(S) 各 X ∈ C に対して、小さい集合 I と C の射の族 (f_i:X → G(M_i))_I があり
任意の射 f:X → G(M) に対して f = G(u_i)f_iとなる i ∈ I と射 u_i:M_i → M がある。

証明
>>419より、各 X ∈ C に対して普遍射 η_X:X → G(X^) が存在することを証明すればよい。
η_X:X → G(X^) が普遍射であることは、
これが (X↓G) (過去スレ017の571)の始対象であることと同値である。
よって、(X↓G) が始対象を持つことを証明すればよい。
よって、(X↓G) が>>477の条件を満たすことを証明すればよい。
即ち、次の (@)、(A)、(B) が成り立つことを証明すればよい。

(@) (X↓G) は局所的に小さい圏である。

(A) (X↓G) は完備である。

(B) (X↓G) は>>477の条件 (S) を満たす。

(@) は D が局所的に小さい圏であることから明らかである。
(A) は>>475から出る。
(B) は本命題の条件から明らかである。
証明終

481 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 17:20:54
こレはホんトにうンこだな

482 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/21(水) 17:25:39
>>481
糞はオマエじゃ。ほんでや、文句がアルんやったら猫スレにカキコせえや
ほしたらワシが読んだるさかいナ。




483 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 17:31:28
>>482
関係ないこと書くなよボケ

484 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 17:32:43
>>482
かまってちゃん登場w

485 :132人目の素数さん:2010/04/21(水) 17:36:22
せっかくお友達になれそうだった
通りすがりのアホ君が
引き籠もってしまって
猫君ストレス溜まってきたね

486 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/21(水) 21:20:24
以前に比べたら今はストレスなんて殆どあらへん




487 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 01:04:54

強がる
かまってちゃん
でした

かまてっちゃん?

488 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 07:44:10
猫、おまえの書き込みを禁ずる

Kummerさんの邪魔になるだけや

489 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 08:57:46
くまものがたりの続きはまだ?

490 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/22(木) 10:21:00
>>488
そういう主張がアルんやったら実力行使でもしてみいや
ココは皆が認める自由掲示板やゾ
その「自由」っちゅう意味をちゃんと考えるこっちゃナ。
ワシはアンタ等がやってる事と同じ事をしてるだけや
アンタはワシに文句が言えるかどうか、ちゃんと考えてみ




491 :132人目の素数さん:2010/04/22(木) 10:22:22
476 名前:132人目の素数さん :2010/04/22(木) 07:46:51
植物生理学


477 名前:132人目の素数さん :2010/04/22(木) 08:29:39
親父のホンでも読んで

反省しろ>猫


492 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 11:19:17
補題
U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
X を小さい集合とする。
このとき、|U(G)| ≦ |X| となる G の同型類全体は小さい集合である。
ここで | | は濃度を表す。

証明
小さい集合 Y 上に定義される群の全体 Ω(Y) は Y^(Y×Y) の部分集合である。
よって Ω(Y) は小さい集合である。
Γ(X) = ∪{Ω(Y); Y ⊂ X} とおく。
|U(G)| ≦ |X| となる G ∈ Grp は Γ(X) に属す群と同型になる。
よって補題の主張が得られる。
証明終

493 :くまーものがたり:2010/04/22(木) 14:27:25
くまーは困惑していた

この圏論はどこまで続くのだろう
そして
猫は俺様の味方だと思うが
なんのために出てくるのだろう

でも
味方だから悪い奴じゃない

ちょっとアホかもしれないけど
いつも論破されているけど

ネットでは書き続けた方が勝ちなのだ
俺様と同じ原則に従っているのだ

いくら クソ でも

あっ しまった クソと認定してしまった
いいや うんこ より マシ だもん

つづく

494 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 17:30:14

U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
U が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grpは完備で U は小さい極限を保存するから U が条件 (S) を満たすことを示せばよい。

X ∈ Set とする。
>>492より |U(G)| ≦ |X| または U(G) が可算集合となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω(X) とする。
射 X → U(G)、G ∈ Ω(X) の全体を M(X) とする。
M(X) は小さい集合である。

任意の射 f:X → U(G)、G ∈ Grp に対して
f(X) で生成される G の部分群を H とする。
|U(H)| ≦ |X| または U(H) は可算集合であるから H と同型な H’∈ Ω(X) がある。
σ:H → H’を同型とする。
g = U(σ)f とおけば、g ∈ M(X) である。
f = U(σ^(-1))g であるから U は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から U は左随伴関手 F を持つ。
X ∈ Set に対して F(X) を X から生成される自由群と呼ぶ。
η:1_Set → UF を (F, U) の単位(>>413)とする。
η_X:X → U(F(X)) を自由群 F(X) に対する標準射と呼ぶ。

495 :くまーものがたり:2010/04/22(木) 17:40:34
くまーは平静さを失いかけた

猫がでてきて何を書き込むのも自由だと
主張しているからだ

俺様の庭でそんなことやめてくれんかな
ウンコを垂れ流すようなものじゃないか
だれか猫に砂場を作ってやってくれよ

そう思いながら
ふと気がついた

ウンコを垂れ流しているのは
俺様も同じだ

でも 俺様だけは例外なのだ
崇高な目的のためだからな

本を書き写すというのは難しいのだぞ えへん

鏡に向かって威張ってみせる猫であった

つづく


496 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 17:52:02

U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
X を小さい集合とする。
>>494から U は左随伴関手 F を持つ。
η_X:X → U(F(X)) を標準射とする。
このとき η_X は単射であることを証明しよう。

x ≠ y を X の元とする。
G ∈ Grp を単位群でない群とする。
g を G の単位元でない元とする。
f:X → U(G) を f(x) = e、f(y) = g となる任意の写像とする。
η_X は普遍射であるから射 g:F(X) → G で f = U(g)(η_X) となるものが存在する。
よって η_X(x) ≠ η_X(y) である。
よって、η_X は単射である。

497 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 18:18:14
命題
D を小さい圏(過去スレ017の322)とし、C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
G:D → C を関手とする。
D は完備で G は小さい極限を保存する(>>259)とする。

このとき、G は右随伴関手(>>442)である。

証明
各 X ∈ C に対して、射 f:X → G(M) の全体は小さい集合である。
よって、G は>>480の条件 (S) を満たす。
証明終

498 :くまーものがたり:2010/04/22(木) 19:02:46
くまーは反省した

俺様は命題とその逆を混乱することがある

くまーはすぐさま反省を取り消した

いや数学者の猫さんだってそれくらいのことは日常茶飯事だ
だから俺様は完璧なのだ

くまーは強力なよりどころを見つけてほっとむねをなでおろした

つづく

499 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 20:10:13
>>494の修正


U:Grp → Set を>>280で定義した忘却関手とする。
U が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
U が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grpは完備で U は小さい極限を保存するから U が条件 (S) を満たすことを示せばよい。

X ∈ Set とする。
>>492より |U(G)| ≦ |X| または U(G) が可算集合となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω(X) とする。
射 X → U(G)、G ∈ Ω(X) の全体を M(X) とする。
M(X) は小さい集合である。

任意の射 f:X → U(G)、G ∈ Grp に対して
f(X) で生成される G の部分群を H とする。
|U(H)| ≦ |X| または U(H) は可算集合であるから H と同型な H’∈ Ω(X) がある。
σ:H → H’を同型とする。
f の値域を U(H) に制限したものを f’とする。
g = U(σ)f’とおけば、g ∈ M(X) である。
ι:H → G を包含射とする。
τ = ισ^(-1):H’→ G とおく。
f = U(ι)f’= U(ι)f’= U(ι)U(σ^(-1))g = U(τ)g
よって、U は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から U は左随伴関手 F を持つ。
X ∈ Set に対して F(X) を X から生成される自由群と呼ぶ。
η:1_Set → UF を (F, U) の単位(>>413)とする。
η_X:X → U(F(X)) を自由群 F(X) に対する標準射と呼ぶ。

500 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 22:43:46

Grp を群全体の圏とする。
Δ:Grp → Grp×Grp を対角関手とする。
即ち G ∈ Grp に対して Δ(G) = (G, G) ∈ Grp×Grp とし、
f: G → H を Grp における射としたとき Δ(f) = (f, f) とする。
Δ が右随伴関手(>>442)であることを証明しよう。
Δ が>>480の条件を満たすことを示せばよい。
Grp は完備で Δ は小さい極限を保存するから Δ が条件 (S) を満たすことを示せばよい。
(G_1, G_2) ∈ Grp×Grp とする。
>>492より |G| ≦ |G_1|×|G_2| となるような G ∈ Grp の同型類全体は
小さい集合である。
このような同型類から代表を取り出したものを Ω とする。
射 (G_1, G_2) → Δ(G)、G ∈ Ω の全体を Γ とする。
Γ は小さい集合である。
任意の射 (f_1, f_2):(G_1, G_2) → Δ(G) に対して
f(G_1) と f(G_2) で生成される G の部分群を H とする。
|H| ≦ |f(G_1)|×|f(G_2)| ≦ |G_1|×|G_2|
よって、 H と同型な H’∈ Ω がある。
σ:H → H’を同型とする。
f_1, f_2 の値域をそれぞれ H に制限したものを (f_1)’、(f_2)’とする。
g_1 = σ(f_1)’、g_2 = σ(f_2)’とおけば、(g_1. g_2) ∈ Γ である。
ι:H → G を包含射とする。
τ = ισ^(-1):H’→ G とおく。
(f_1, f_2) = (ι(f_1)’, ι(f_1)’) = (ισ^(-1)(g_1), ισ^(-1)(g_2))
= (τ (g_1), τ (g_2)) = Δ(τ)(g_1, g_2)
よって、Δ は>>480の条件 (S) を満たす。

以上から Δ は左随伴関手 F を持つ。
(G_1, G_2) ∈ Grp×Grp に対して F(G_1, G_2) を G_1 と G_2 の自由積と呼び、
(G_1)*(G_2) と書く。

(G_1)*(G_2) は Grp における G_1 と G_2 の余積(>>50)である。

501 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 22:51:25
>>500
>(G_1)*(G_2) は Grp における G_1 と G_2 の余積(>>50)である。

これは>>395からわかる。

502 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 23:11:02

G_1 と G_2 を群とし、(G_1)*(G_2) を自由積(>>500)とする。
f_1:G_1 → (G_1)*(G_2) と f_2:G_1 → (G_1)*(G_2) を標準射とする。
このとき、f_1 と f_2 は単射であり、f_1(G_1) ∩ f_1(G_2) = {e} である。

証明
G = (G_1)×(G_2) とおく。
g_1:G_1 → G と g_2:G_2 → G を標準単射とする。
h:(G_1)*(G_2) → G で g_1 = h(f_1)、g_2 = h(f_2) となるものが存在する。
g_1 と g_2 は単射であるから f_1 と f_2 も単射である。

x_1 ∈ G_1、x_2 ∈ G_2 とし、f_1(x_1) = f_2(x_2) とする。
(hf_1)(x_1) = (hf_2)(x_2) であるから g_1(x_1) = g_2(x_2) である。
一方、g_1(G_1) ∩ g_2(G_2) = {e} である。
よって、g_1(x_1) = g_2(x_2) = e である。
g_1 と g_2 は単射であるから x_1 = e、x_2 = e である。
よって、f_1(G_1) ∩ f_1(G_2) = {e} である。
証明終

503 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/22(木) 23:19:17
群論の教科書に書いてあるように自由群および自由積の具体的構成はやや面倒である。
>>499>>500で示したように随伴関手定理(>>480)を使うとこの具体的構成を使わずに
自由群および自由積の存在が証明されてしまう。

504 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 00:14:12
定義
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
任意の X, Y ∈ C に対して Hom(X, Y) がアーベル群の構造を持ち、
射の合成が双線型であるとき C を前加法圏(preadditive category)
または Ab-圏(Ab-category)と呼ぶ。

505 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 01:04:52
定義
C を前加法圏(>>504)とする。
X と Y を C の任意の対象とする。
H(X, Y) はアーベル群であるから零元を持つ。
これを零射と呼び 0 と書く。

506 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 01:10:12
定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f:X → Y を C における射とする。

f と零射(>>505) 0:X → Y の差核(過去スレ017の772)を
f の核(kernel)と呼び Ker(f) と書く。

f と零射 0:X → Y の差余核(過去スレ017の850)を
f の余核(cokernel)と呼び Coker(f) と書く。

507 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 01:14:03
定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f:X → Y を C における射とする。

Ker(Coker(f)) を f の像(image)と呼び Im(f) と書く。


508 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 02:20:13
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
Z を C の対象とするとき、次の条件は互いに同値である。

(@) Z は始対象(過去スレ017の288)である。

(A) Z は終対象(過去スレ017の288)である。

(B) Z は零対象(過去スレ017の791)である。

(C) 1_Z は零射(>>505)である。

(D) Hom(Z, Z) = 0

証明
(@) → (D):自明である。
(A) → (D):自明である。
(D) → (C):自明である。

(C) → (@):
f:Z → X を射とする。
f = f(1_Z) = 0
よって、Z は始対象である。

(C) → (A):
f:X → Z を射とする。
f = (1_Z)f = 0
よって、Z は終対象である。

以上から (@)、(A)、(C)、(D) は互いに同値である。
よって、(B) もこれらと同値である。
証明終

509 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 02:25:13
自由軍と自由席を確保するのにずいぶん長い行列にならんで高い切符を買ったもんだね

510 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 02:26:29
定義
有限積を持つ(過去スレ018の911)前加法圏(>>504)を加法圏(additive category)と呼ぶ。

511 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 02:32:38
圏論の効用であったコホモロジーはどうなってんだよ

512 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 02:40:06
定義
C を加法圏(>>510)とする。
C における任意の射が核(>>506)と余核(>>506)をもつとき
C を前アーベル圏(preabelian category)と呼ぶ。

513 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 02:46:58
>>509
単なる応用例だから値段なんかタダみたいなもの

514 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 02:47:06
ここまでくるのにくろうしたな

515 :132人目の素数さん:2010/04/23(金) 02:48:47
>>513
ただほど高いものはない
借金がそうとう増えたぜ

516 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 03:01:02
定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f:X → Y と g:X → Y を C における射とする。

このとき、Ker(f, g) = Ker(f - g) である。

証明
h:Z → X に対して fh = gh は (f - g)h = 0 と同値なこと明らかである。

517 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 03:02:27
定義
C を前加法圏(>>504)とする。
f:X → Y と g:X → Y を C における射とする。

このとき、Coker(f, g) = Coker(f - g) である。

証明
h:Y → Z に対して hf = hg は h(f - g) = 0 と同値なこと明らかである。

518 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 05:14:40
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)×(X_2) を C における積とする。
p_1:X → X_1
p_2:X → X_1
を射影とする。

h_1:X_1 → X を射 <1_(X_1), 0> (過去スレ018の872)とする。
即ち、h_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_2h_1 = 0 となる射である。

同様に、h_2:X_2 → X を射 <0, 1_(X_2)> とする。
即ち、h_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_1h_2 = 0 となる射である。

このとき、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

証明
h = h_1p_1 + h_2p_2 とおく。
p_1h = p_1h_1p_1 + p_1h_2p_2 = p_1 + 0 = p_1
p_2h = p_2h_1p_1 + p_2h_2p_2 = 0 b+ p_2 = p_2
よって、h = 1_X である。
証明終

519 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 05:24:50
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)+(X_2) を C における余積(>>35)とする。
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を入射(>>41)とする。

p_1:X → X_1 を射 [1_(X_1), 0] (>>36)とする。
即ち、p_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_1h_2 = 0 となる射である。

同様に、p_2:X → X_2 を射 [0, 1_(X_2)] とする。
即ち、p_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_2h_1 = 0 となる射である。

このとき、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

証明
h = h_1p_1 + h_2p_2 とおく。
p_1h = p_1h_1p_1 + p_1h_2p_2 = p_1 + 0 = p_1
p_2h = p_2h_1p_1 + p_2h_2p_2 = 0 + p_2 = p_2
よって、h = 1_X である。
証明終

520 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 05:37:37
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1:X → X_1
p_2:X → X_1
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

証明
p_1h_1 = 1_(X_1) より h_1 は単射である。
同様にh_2 は単射である。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X より、
h_1p_1h_1 + h_2p_2h_1 = h_1 + h_2p_2h_1 = h_1
よって、h_2p_2h_1 = 0
h_2 は単射であるから p_2h_1 = 0 である。

同様に、p_1h_2 = 0 となる。
証明終

521 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 05:50:20
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1:X → X_1
p_2:X → X_2
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。

証明
>>520より、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

f_1:Y → X_1
f_2:Y → X_2
を射とする。

f = h_1f_1 + h_2f_2 とおく。
p_1f = f_1 + 0 = f_1
p_2f = 0 + f_2 = f_2

逆に、g:Y → X が p_1g = f_1、p_2g = f_2 を満たすとする。
g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = h

以上から (X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。
証明終

522 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 05:59:14
>>521
>g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = h

g = (h_1p_1 + h_2p_2)g = h_1f_1 + h_2f_2 = f

523 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 06:00:01
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
p_1:X → X_1
p_2:X → X_2
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を C における射で次の関係式を満たすとする。

h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X
p_1h_1 = 1_(X_1)
p_2h_2 = 1_(X_2)

このとき、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。

証明
>>520より、p_2h_1 = 0、p_1h_2 = 0 となる。

f_1:X_1 → Y
f_2:X_2 → Y
を射とする。

f = f_1p_1 + f_2p_2 とおく。
fh_1 = f_1 + 0 = f_1
fh_2 = 0 + f_2 = f_2

逆に、g:X → Y が gh_1 = f_1、gh_2 = f_2 を満たすとする。
g = g(h_1p_1 + h_2p_2) = f_1p_1 + f_2p_2 = f

以上から (h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。
証明終

524 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 06:04:12
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)×(X_2) を C における積とする。
p_1:X → X_1
p_2:X → X_1
を射影とする。

h_1:X_1 → X を射 <1_(X_1), 0> (過去スレ018の872)とする。
即ち、h_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_2h_1 = 0 となる射である。

同様に、h_2:X_2 → X を射 <0, 1_(X_2)> とする。
即ち、h_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_1h_2 = 0 となる射である。

このとき、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。

証明
>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。
よって、>>523より、(h_1, h_2、X) は X_1 と X_2 の余積(>>35)である。
証明終

525 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 06:08:10
>>524
>>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

>>518より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

526 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 06:09:49
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)+(X_2) を C における余積(>>35)とする。
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を入射(>>41)とする。

p_1:X → X_1 を射 [1_(X_1), 0] (>>36)とする。
即ち、p_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_1h_2 = 0 となる射である。

同様に、p_2:X → X_2 を射 [0, 1_(X_2)] とする。
即ち、p_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_2h_1 = 0 となる射である。

このとき、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。

証明
>>519より、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。
よって、>>521より、(X, p_1, p_2) は X_1 と X_2 の積である。
証明終

527 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 06:13:12
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C の対象 X、Y の積が存在するためには X、Y の余積が存在することが必要十分である。

証明
>>524>>526より明らかである。

528 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 10:27:47
命題
加法圏(>>510)は有限余積を持つ。

証明
C を加法圏とする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の積は C の終対象である。
よって、C は終対象をもつ。
よって、>>508より、C は始対象をもつ。
よって、>>527と過去スレ017の848より、C は有限余積を持つ。
証明終

529 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 10:46:46
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C における任意の射が核(>>506)を持てば C は差核を持つ(>>161)。

証明
f:X → Y を C における任意の射とする。
>>516より、Ker(f, 0) = Ker(f) である。
よって、C は差核を持つ。
証明終

530 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 10:52:32
>>529の修正

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C が差核を持てば(>>161)、C における任意の射が核(>>506)を持つ。

証明
f:X → Y を C における任意の射とする。
>>516より、Ker(f, 0) = Ker(f) である。
よって、f は核を持つ。
証明終

531 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 10:55:31
>>530は核の定義(>>506)から自明であった。

532 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 10:59:53
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C が前アーベル圏(>>512)であるためには
C が有限完備(>>178)かつ有限余完備(>>179)であることが必要十分である。

証明
必要性:
C が前アーベル圏であるとする。
C は加法圏(>>510)であるから有限積を持つ。
>>516より、C は差核を持つ。
よって、>>233より、C は有限完備である。

>>528より、C は有限余積を持つ。
>>517より、C は差余核を持つ。
よって、>>233の双対より C は有限余完備である。

十分性:
前加法圏 C が有限完備かつ有限余完備であるとする。
C は有限積を持つから加法圏(>>510)である。
C は差核を持つから任意の射が核(>>506)を持つ。
C は差余核を持つから任意の射が余核(>>506)を持つ。
よって、C は前アーベル圏である。
証明終

533 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 11:03:39
定義
C を前アーベル圏(>>512)とする。
C における任意の単射が正則単射(過去スレ018の456)であり、
C における任意の全射が正則全射(過去スレ018の558)のとき
C をアーベル圏(abelian category)と呼ぶ。

534 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 11:21:03
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
C が前アーベル圏(>>512)であるためには
C が始対象(過去スレ017の288)と引き戻し(>>163)と押し出し(>>164)を持つことが
必要十分である。

証明
必要性:
>>532より、C は有限完備(>>178)かつ有限余完備(>>179)である。
よって、C は始対象と引き戻しと押し出しを持つ。

十分性:
前加法圏 C が始対象と引き戻しと押し出しを持つとする。
>>508より、C は終対象をもつ。
よって、>>235より、C は有限完備(>>178)である。
>>235の双対より、C は有限余完備(>>179)である。
よって、>>532より C は前アーベル圏である。
証明終

535 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 11:59:03

R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
R-Mod はアーベル圏(>>533)である。

536 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 12:00:59

HTopAb を分離(Hausdorff)的な位相アーベル群の圏とする。
HTopAb における射は連続な準同型である。
HTopAb は明らかに加法圏(>>510)である。

f:X → Y を HTopAb の射とする。
f の代数的な核は HTopAb における f の核(>>506)である。
f(X) の Y における閉包を f(X)~ とする。
標準射 Y → Y/f(X)~ は f の余核(>>506)である。
よって、HTopAb は前アーベル圏(>>512)である。

537 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 12:21:44

R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R を次のように圏と見なす。
Ob(R) = {R}
Hom(R) = R
即ち、圏 R の対象は R のみであり、R の射は R の元である。
このとき R は明らかに前加法圏(>>504)である。
R が零環でないとき R は始対象でないから R は加法圏(>>510)ではない。

538 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 12:31:47

R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Mat(R) を R^n、n = 0、1、2、...からなる
R-Mod の充満部分圏(過去スレ017の362)とする。

Mat(R) は明らかに加法圏(>>510)である。
一般に Mat(R) は前アーベル圏(>>512)ではない。

539 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/23(金) 12:43:01

C を前加法圏(>>504)とする。
X を C の対象とする。
End(X) (過去スレ017の453)は環の構造を持つ。
特に C が一個の対象からなるとき>>537より C を環と見なすことが出来る。

540 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 07:18:28
過去スレ017の300で示したように圏は拡張されたモノイドと考えられる。
同様に>>539より前加法圏は拡張された環と考えられる。

541 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:27:12
C を加法圏(>>510)とする。
空集合を添字集合とする C の対象の族の積は C の終対象である。
よって、C は終対象をもつ。
よって、>>508より、C は零対象 Z をもつ。
X と Y を C の対象とする。
Hom(X, Z) は一個の元からなるから Hom(X, Z) = {0} である。
同様に Hom(Z, Y) = {0} である。
よって、X → Z と Z → Y の合成は 0 である。
即ち 0:X → Y は過去スレ017の791で定義した零射である。
よって、f:X → Y に対して Ker(f) (>>506) は
過去スレ017の794で定義した Ker(f) と一致する。

同様に Coker(f) (>>506) は
過去スレ017の856で定義した Coker(f) と一致する。

542 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:31:05
記法
C を加法圏(>>510)とする。
混乱の恐れがない限り C の零対象を 0 と書く(過去スレ017の791)。

543 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:34:24
命題
C を前加法圏(>>504)とする。
このとき、C の双対圏(過去スレ017の352) C^o も前加法圏である。

証明
自明である。

544 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:40:36
命題
C を加法圏(>>510)とする。
このとき、C の双対圏(過去スレ017の352) C^o も加法圏である。

証明
>>543より、C^o は前加法圏(>>504)である。
>>528より、C は有限余積を持つ。
よって、C^o は有限積を持つ。
よって、C^o は加法圏である。
証明終

545 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:43:38
命題
C を前アーベル圏(>>512)とする。
このとき、C の双対圏(過去スレ017の352) C^o も前アーベル圏である。

証明
>>544より、C^o は加法圏である。
C における任意の射が核(>>506)と余核(>>506)を持つから、
C^o における任意の射も核と余核を持つ。
よって、C^o は前アーベル圏である。
証明終

546 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/24(土) 16:47:43
命題
C をアーベル圏(>>533)とする。
このとき、C の双対圏(過去スレ017の352) C^o もアーベル圏である。

証明
>>545より、C^o は前アーベル圏である。

C における任意の単射は正則単射(過去スレ018の456)であるから、
C^o における任意の全射は正則全射(過去スレ018の558)である。

C における任意の全射が正則全射であるから、
C^o における任意の単射は正則単射である。

以上から C^o はアーベル圏である。
証明終

547 :132人目の素数さん:2010/04/25(日) 01:53:17
ネズミの脳

548 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 08:53:37
C を任意の前加法圏(>>504)とする。
C における命題 P を考える。
P に現れる C の対象はそのままで P に現れる各射の向きを
逆にした双対命題 P^* を考える。
P^* は C の双対圏(過去スレ017の352) C^o における命題と見なせる。

圏論における双対原理(過去スレ018の159)より、
P が C で正しいためには P^* が C^o で正しいことが必要十分である。

C は任意の前加法圏であるから>>543より C^o も任意の前加法圏である。

よって、前加法圏における次の双対原理が得られる。

[前加法圏における双対原理]:
ある命題 P が任意の前加法圏で成り立てば P^* も任意の前加法圏で成り立つ。


>>544>>545>>546より、同様な双対原理が加法圏、前アーベル圏、アーベル圏で成り立つ。

549 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 09:34:13
C を圏とする。
X_i、i = 1、...、n
Y_j、j = 1、...、m
を C の対象とする。

余積 X = ΣX_i と 積 Y = ΠY_j が存在するとする。
μ_i:X → X_i、i = 1、...、n を入射(>>41)とする。
p_j:Y_j → Y、j = 1、...、m を射影とする。

任意の射 f:X → Y に対して
f_(i, j) = (p_j)f(h_i)、i = 1、...、n、j = 1、...、m とおく。

f = [f(h_1), ..., f(h_n)] (>>36)である。

各 i に対して
f(h_i) = <(p_1)(f_i), ..., (p_m)(f_i)> = <f_(i, 1), ..., f(i, m)>
(過去スレ018の872) である。

よって、f = [<f_(1, 1), ..., f(1, m)>, ..., <f_(n, 1), ..., f(n, m)>]

即ち、f は (n, m)型の行列 (f_(i, j)) で定まる。

550 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 09:53:01
定義
C を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
X_i、i = 1、...、n
を C の対象とする。

余積 ΣX_i と 積 ΠX_i が存在するとする。

f_(i, i) = 1_(X_i)、i = 1、...、n
i ≠ j のとき f_(i, j) を零射(過去スレ017の791) 0:X_i → X_j とする。

f:ΣX_i → ΠX_i を行列 (f_(i, j)) で定まる射とする(>>549)。
このとき f を ΣX_i から ΠX_i への標準射と呼ぶ。

551 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 10:32:45

Set_* を基点を持つ集合全体の圏(過去スレ017の475)とする。
Set_* の対象は(小さい)集合 X とその1点 x_0 の対 (X, x_0) と見なせる。
x_0 は (X, x_0) の基点と呼ばれる。
Set_* の射は基点を基点に移す写像である。

(X, x_0) と (Y, y_0) を Set_* の対象とする。
(X, x_0) と (Y, y_0) の積は (X×Y, (x_0, y_0)) である。

(X, x_0) と (Y, y_0) の余積は直和集合 X_0 + Y_0 において
x_0 と y_0 を同一視した集合を Z としたとき (Z, μ(x_0)) である。
ここで μ:X_0 → Z は標準射である。
(Z, μ(x_0)) を (X, x_0) と (Y, y_0) の楔(くさび)積(wedge product)と呼ぶ。
Z を XVY と書く。

このとき、標準射(>>550) f:(XVY, μ(x_0)) → (X×Y, (x_0, y_0)) は単射である。
f の像は X×Y の部分集合 X×{y_0} ∪ {x_0}×Y である。
f は単射であるから XVY と X×{y_0} ∪ {x_0}×Y を同一視してよい。

552 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 11:24:01
定義
C を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
C は有限積と有限余積を持つとする。

さらに任意の対象 X、Y に対して標準射 X+Y → X×Y が同型であるとする。
この同型により X+Y と X×Y を同一視する。

Δ_X:X → X×X = X+X を対角射(過去スレ017の750)とする。
δ_Y:Y+Y → Y を余対角射(即ち対角射の双対)とする。

f:X → Y と g:X → Y に対して f+g:X+X → Y+Y が定義される(過去スレ017の839)。

h:X → Y を δ_Y(f+g)Δ_X で定義する。
即ち、次の図式は可換である。

   h
X   → Y
↓    ↑
X+X → Y+Y
   f+g

h を f + g と書く。

553 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/25(日) 12:45:16
>>550への補足

(X_1、...、X_n) に ΣX_i を対応させることにより
関手 Σ_n:C^n → C が得られる。

(X_1、...、X_n) に ΠX_i を対応させることにより
関手 Π_n:C^n → C が得られる。

容易にわかるように ΣX_i から ΠX_i への標準射は自然変換 Σ_n → Π_n を与える。

554 :くまーものがたり:2010/04/26(月) 00:39:58
くまーは酔っていた

鮮やかな手さばきだろう
俺様が圏論を使って数学を記述するのは

借り物にすぎないなどという声に耳を傾ける暇はない
ここまできた以上引き返せない

なんのためにこんな空々しい一般論を展開するのか
代数的整数論にいつたどりつけるのか

そんなことは知ったことではない

かくことだけが重要なのだ

猫よりましだろう
俺様はもう猫の助けを借りなくてもいい
哀れな猫などどうなっても知るものか
俺様には俺様なりにうんこの仕方があるのだ

つづく

555 :555:2010/04/26(月) 15:27:35
この分じゃ1000までいかないな

556 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 10:12:16
補題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。
f+g:X+X→ Y+Y (>>55)と余対角射δ:Y+Y → Y の合成 δ(f+g) は
[f, g] (>>36) に等しい。

証明
μ_1:X → X+X と μ_2:X → X+X を入射とする。
ν_1:Y → Y+Y と μ_2:Y → Y+Y を入射とする。

f+g の定義(>>55)より、
(f+g)μ_1 = ν_1f
(f+g)μ_2 = ν_2g

よって、
δ(f+g)μ_1 = δν_1f = f
δ(f+g)μ_2 = δν_2g = g

よって、δ(f+g) = [f, g] である。
証明終

557 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 10:16:26
>>556の修正

補題
C を圏とする。
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。
余積 X+X と Y+Y が存在するとする。

このとき、f+g:X+X→ Y+Y (>>55)と余対角射δ:Y+Y → Y の合成 δ(f+g) は
[f, g] (>>36) に等しい。

証明
μ_1:X → X+X と μ_2:X → X+X を入射とする。
ν_1:Y → Y+Y と μ_2:Y → Y+Y を入射とする。

f+g の定義(>>55)より、
(f+g)μ_1 = ν_1f
(f+g)μ_2 = ν_2g

よって、
δ(f+g)μ_1 = δν_1f = f
δ(f+g)μ_2 = δν_2g = g

よって、δ(f+g) = [f, g] である。
証明終

558 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 10:28:07
補題
C を圏とする。
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。
積 X×X と Y×Y が存在するとする。

このとき、
<f, g> = (f×g)Δ である。

ここで、f×g:X×X → Y×Y は過去スレ018の919で定義した射であり、
<f, g>:X → Y×Y は過去スレ018の872で定義した射である。
Δ:X → X×X は対角射である。

証明
>>557と双対原理(過去スレ018の159)。

559 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 10:35:52
補題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。

このとき、
f + g = [f, g]Δ = δ<f, g> である。

証明
>>557>>558より明らかである。

560 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 10:52:04
命題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
f:X → Y を C における射とする。

このとき、f + 0 = 0 + f = f

証明
[f, 0] = f(p_1) である。
ここで、p_1:X+X → X は第一射影である。
>>559より、f + 0 = [f, 0]Δ = f(p_1)Δ = f

同様に、[0, f] = f(p_2) である。
>>559より、0 + f = [0, f]Δ = f(p_2)Δ = f
証明終

561 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 11:02:49
命題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
f:X → Y、g:X → Y および h:Y → Z、k:W → X を C における射とする。

このとき、
h(f + g) = hf + hg
(f + g)k = fk + gk

証明
h[f, g] = [hf, hg]
よって、>>559より、h(f + g) = h[f, g]Δ = [hf, hg]Δ = hf + hg

<f, g>k = <fk, gk>
よって、>>559より、(f + g)k = δ<f, g>k = δ<fk, gk> = fk + gk
証明終

562 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 11:33:04
補題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
e:X → Y、f:X → Y、g:X → Y、h:X → Y を C における射とする。

このとき、<[e, g], [f, h]> = [<e, f>, <g, h>]

ここで、例えば [e, g] は>>36で定義した射であり、
<e, f> は過去スレ018の872で定義した射である。

証明
p_i:Y+Y → Y、i = 1、2 を射影とし、
μ_i:X → X+X、i = 1、2 を入射とす。

(p_1)<[e, g], [f, h]> = [e, g]
(p_1)<[e, g], [f, h]>(μ_1) = e
(p_1)<[e, g], [f, h]>(μ_2) = g

(p_2)<[e, g], [f, h]> = [f, h]
(p_2)<[e, g], [f, h]>(μ_1) = f
(p_2)<[e, g], [f, h]>(μ_2) = h

他方、
[<e, f>, <g, h>](μ_1) = <e, f>
(p_1)[<e, f>, <g, h>](μ_1) = e
(p_2)[<e, f>, <g, h>](μ_1) = f

[<e, f>, <g, h>](μ_2) = <g, h>
(p_1)[<e, f>, <g, h>](μ_2) = g
(p_2)[<e, f>, <g, h>](μ_2) = h

よって、<[e, g], [f, h]> = [<e, f>, <g, h>]
証明終

563 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 11:52:37
命題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
X と Y を C の任意の対象とする。
Hom(X, Y) は>>552で定義した演算子+により可換モノイドとなる。

証明
>>560により演算子+が可換であり結合律を満たすことを証明すればよい。

e:X → Y、f:X → Y、g:X → Y、h:X → Y を C における射とする。
>>562より、<[e, g], [f, h]> = [<e, f>, <g, h>] である。

>>559より、
δ<[e, g], [f, h]>Δ = ([e, g] + [f, h])Δ = [e, g]Δ + [f, h]Δ = (e + g) + (f + h)
δ[<e, f>, <g, h>]Δ = δ(<e, f> + <g, h>) = δ<e, f> + δ<g, h> = (e + f) + (g + h)

よって、(e + g) + (f + h) = (e + f) + (g + h)

g = 0 とおくと>>560より、e + (f + h) = (e + f) + h
e = h = 0 とおくと>>560より、g + f = f + g
よって、演算子の結合律と可換性が成り立つ。
証明終

564 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 12:15:03
命題
C を>>552の条件を満たす圏とする。
C の各対象 X に対して射 λ_X:X → X で λ_X + 1_X = 0 となるものが
存在するとする。

このとき、C の任意の対象 X, Y に対して、。
Hom(X, Y) は>>552で定義した演算子+によりアーベル群になる。
よって、>>561より C は加法圏(>>510)となる。

証明
>>563より、Hom(X, Y) は可換モノイドである。
任意の射 f:X → Y に対して、>>561より f + fλ_X = f(1_X + λ_X) = f0 = 0
よって、Hom(X, Y) はアーベル群である。
証明終

565 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 13:53:24
命題
C を加法圏(>>510)とする。
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。
f+g:X+X → Y+Y を過去スレ017の839で定義した射とする。

このとき、f + g = δ(f+g)Δ である。

ここで、左辺の f + g は f と g の Hom(X, Y) における和であり、
Δ:X → X×X = X+X は対角射(過去スレ017の750)、
δ:Y+Y → Y は余対角射(即ち対角射の双対)である。

証明
p_i:X+X → X、i = 1、2 を射影とし、
μ_i:X → X+X、i = 1、2 を入射とす。

δ(f+g)Δ
= δ(f+g)(μ_1p_1 + μ_2p_2)Δ
= δ(f+g)μ_1 + δ(f+g)μ_2
= δ(μ_1)f + δ(μ_2)g
= f + g
証明終

566 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 14:18:26
命題
C を加法圏(>>510)とする。
C の任意の対象 X、Y に対して標準射(>>550) ψ:X+Y → X×Y は同型である。

証明
μ_1:X → X+Y
μ_2:Y → X+Y
を入射(>>41)とする。

p_1:X+Y → X を射 [1_X, 0] (>>36)とする。
p_2:X+Y → Y を射 [0, 1_Y] (>>36)とする。

>>526より、(X+Y, p_1, p_2) は X と Y の積である。
ψは <p_1, p_2> であるから同型である。
証明終

567 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/28(水) 14:23:19
命題
C を圏とする。
C が加法圏(>>510)であるためには C が以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C の任意の対象 X、Y に対して標準射(>>550) X+Y → X×Y は同型である。
(4) C の各対象 X に対して射 c_X:X → X で c_X + 1_X = 0 となるものが存在する。
ここで、c_X + 1_X は>>552で定義した射である。

証明
必要性:
C を加法圏とする。
C は有限積を持つから終対象をもつ。
>>508より、C は零対象をもつ。
よって、(1) が成り立つ。

>>528より、C は有限余積を持つ。
よって、(2) が成り立つ。

>>566より、(3) が成り立つ。
>>565より、(4) が成り立つ。

十分性:
>>564で証明済み。
証明終

568 :132人目の素数さん:2010/04/28(水) 15:27:54
どうぢでごんなんなっどるのげ

569 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 01:11:31
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(>>506)と余核(>>506)を持つ。
(3) C における任意の単射は正則単射(過去スレ018の456)であり、
C における任意の全射は正則全射(過去スレ018の558)である。

このとき、
任意の単射 f:X → Y に対して f = Ker(Coker(f)) となり、
任意の全射 g:X → Y に対して g = Coker(Ker(g)) となる。

証明
f:X → Y を任意の単射とする。
g:Y → Z を Coker(f) とする。
k:U → Y を Ker(g) とする。
f は正則単射であるから f = Ker(h) となる h:Y → W がある。

 f  h
X → Y → W

 k  g
U → Y → Z

hf = 0 であるから u:Z → W で h = ug となるものがある。
gf = 0 であるから r:X → U で f = kr となるものがある。
hk = ugk = 0
よって、s:U → X で k = fs となるものがある。
f と k は単射であるから r と s は互いに逆射であり、X と U は同型である。
よって、f = Ker(g) = Ker(Coker(f)) である。
双対的に g = Coker(Ker(g)) である。
証明終

570 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 01:28:32
命題
>>569の条件を満たす圏 C は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
f:X → Y を C における射で単射かつ全射とする。

f は全射だから 0:Y → 0 は Coker(f) である。
一方、1_Y:Y → Y は Ker(0) である。
f は単射だから>>569より、f = Ker(Coker(f)) = Ker(0)
よって、g:Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
よって、f は引き込み(過去スレ018の328)である。
f は単射であるから>>239より f は同型である。
証明終

571 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 10:59:12
>>569
>(2) C における任意の射は核(>>506)と余核(>>506)を持つ。

(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

572 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 11:03:00
定義
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
Ker(Coker(f)) を f の像と呼び Im(f) と書く。
Coker(Ker(f)) を f の余像と呼び Coim(f) と書く。

573 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 11:12:36
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。

このとき、m は単射であり、q:X → I で f = mq となるものが一意に存在する。

証明
g:Y → Z を Coker(f) とする。
m は g の核であるから単射である。
gf = 0 であるから q:X → I で f = mq となるものが一意に存在する。
証明終

574 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/29(木) 11:14:05
>>568
どうじででもや。ソレがアカンのんかァ!




575 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 11:53:44
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。

このとき、e は全射であり、r:I’→ Y で f = re となるものが一意に存在する。

証明
>>573と双対原理(過去スレ018の159)。

576 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 12:06:39
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。

このとき、u:I’→ I で f = mue となるものが一意に存在する。

   e  u  m
f:X → I’→ I → Y

証明
>>573より、q:X → I で f = mq となるものが一意に存在する。
s:K → X を Ker(f) とする。
fs = mqs = 0
m は単射だから qs = 0 である。
よって、u:I’→ I で q = ue となるものが一意に存在する。
このとき、f = mq = mue
証明終

577 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:16:09
定義
C を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
f:X → Y を圏 C における射とする。
f がある射の核(過去スレ017の794)と一致するとき
f を正規射(normal monomorphism)と言う。

f がある射の余核(過去スレ017の856)と一致するとき
f を余正規射(conormal monomorphism)と言う。

578 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:20:05
>>569の修正。
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規射(>>577)であり、
C における任意の全射は余正規射(>>577)である。

このとき、任意の単射 f:X → Y に対して f = Ker(Coker(f)) となり、
任意の全射 g:X → Y に対して g = Coker(Ker(g)) となる。

証明
f:X → Y を任意の単射とする。
g:Y → Z を Coker(f) とする。
k:U → Y を Ker(g) とする。
f は正規射であるから f = Ker(h) となる h:Y → W がある。

 f   h
X → Y → W

 k   g
U → Y → Z

hf = 0 であるから u:Z → W で h = ug となるものがある。
gf = 0 であるから r:X → U で f = kr となるものがある。
hk = ugk = 0
よって、s:U → X で k = fs となるものがある。
f と k は単射であるから r と s は互いに逆射であり、X と U は同型である。
よって、f = Ker(g) = Ker(Coker(f)) である。
双対的に g = Coker(Ker(g)) である。
証明終

579 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:24:14
>>570の修正。

命題
>>578の条件を満たす圏 C は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
f:X → Y を C における全単射とする。

f は全射だから 0:Y → 0 は Coker(f) である。
一方、1_Y:Y → Y は Ker(0) である。
f は単射だから>>578より、f = Ker(Coker(f)) = Ker(0)
よって、g:Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
よって、f は引き込み(過去スレ018の328)である。
f は単射であるから>>239より f は同型である。
証明終

580 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:33:38
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規射(>>577)である。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
n:J → Y を単射で r:X → I で f = nr となるものが存在するとする。

このとき、u:I → J で m = nu となるものが存在する。
即ち、m は f = mq (>>573)と分解される Y の最小の部分対象(過去スレ018の646)である。

証明
g:Y → K を Coker(f) とする。
(3) より、h:Y → L があり n = Ker(h) となる。

hf = hnr = 0
よって、t:K → L があり h = tg となる。
hm = tgm = 0
よって、u:I → J で m = nu となるものが存在する。
証明終

581 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:52:56
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の全射は余正規射(>>577)である。

f:X → Y を C における射とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。
p:X → J を全射で s:J → Y で f = sp となるものが存在するとする。

このとき、u:J → I’で e = up となるものが存在する。
即ち、e は f = re (>>575)と分解される X の最小の商対象(過去スレ018の653と655)である。

証明
>>580と双対原理(過去スレ018の159)。

582 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 13:59:18
>>577の修正

定義
C を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
f:X → Y を圏 C における射とする。
f がある射の核(過去スレ017の794)と一致するとき
f を正規単射(normal monomorphism)と言う。

f がある射の余核(過去スレ017の856)と一致するとき
f を正規全射(normal epimorphism)と言う。

583 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:19:25
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を正規単射(>>582)とする。
このとき、f = Ker(Coker(f)) となる。

証明
g:Y → Z を Coker(f) とする。
k:U → Y を Ker(g) とする。
f は正規単射であるから f = Ker(h) となる h:Y → W がある。

 f   h
X → Y → W

 k   g
U → Y → Z

hf = 0 であるから u:Z → W で h = ug となるものがある。
gf = 0 であるから r:X → U で f = kr となるものがある。
hk = ugk = 0
よって、s:U → X で k = fs となるものがある。
f と k は単射であるから r と s は互いに逆射であり、X と U は同型である。
よって、f = Ker(g) = Ker(Coker(f)) である。
証明終

584 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:21:44
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を正規全射(>>582)とする。
このとき、f = Coker(ker(f)) となる。

証明
>>583と双対原理(過去スレ018の159)。

585 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:31:16
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

このとき、C は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
f:X → Y を C における全単射とする。

f は全射だから 0:Y → 0 は Coker(f) である。
一方、1_Y:Y → Y は Ker(0) である。
f は単射だから (3) より f は正規単射である。
よって、>>583より、f = Ker(Coker(f)) = Ker(0)
よって、g:Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
よって、f は引き込み(過去スレ018の328)である。
f は単射であるから>>239より f は同型である。
証明終

586 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:32:47
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

このとき、C は平衡的(過去スレ018の452)である。

証明
>>585と双対原理(過去スレ018の159)。

587 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:51:17
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
n:J → Y を正規単射(>>582)で r:X → I で f = nr となるものが存在するとする。

このとき、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。

証明
g:Y → K を Coker(f) とする。
n は正規単射であるから h:Y → L があり n = Ker(h) となる。

hf = hnr = 0
よって、t:K → L があり h = tg となる。
hm = tgm = 0
よって、u:I → J で m = nu となるものが存在する。
n は単射であるからこのような u は一意である。
証明終

588 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 14:53:17
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。
p:X → J を正規全射(>>582)で s:J → Y で f = sp となるものが存在するとする。

このとき、u:J → I’で e = up となるものが一意に存在する。

証明
>>587と双対原理(過去スレ018の159)。

589 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:03:47
>>587の修正

命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
n:J → Y を正規単射(>>582)で r:X → J で f = nr となるものが存在するとする。

このとき、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。

証明
g:Y → K を Coker(f) とする。
n は正規単射であるから h:Y → L があり n = Ker(h) となる。

hf = hnr = 0
よって、t:K → L があり h = tg となる。
hm = tgm = 0
よって、u:I → J で m = nu となるものが存在する。
n は単射であるからこのような u は一意である。
証明終

590 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:06:20
>>588の修正

命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。
p:X → J を正規全射(>>582)で s:J → Y で f = sp となるものが存在するとする。

このとき、u:J → I’で e = up となるものが一意に存在する。

証明
>>589と双対原理(過去スレ018の159)。

591 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:12:49
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
>>573より、q:X → I で f = mq となるものが一意に存在する。
n:J → Y を正規単射(>>582)で r:X → J で f = nr となるものが存在するとする。
>>589より、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。

X → I
↓ ↓
J → Y

このとき、r = uq である。

証明
nr = mq = nuq
n は単射であるから r = uq である。
証明終

592 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:38:49
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。
(4) C は差核を持つ(>>161)。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
>>573より、q:X → I で f = mq となるものが一意に存在する。
このとき q は全射である。

証明
r:I → Z と s:I → Z を rq = sq となる射とする。
r = s を示せばよい。
e:J → I を Ker(r, s) とする。
p:X → E で q = ep となるものがある。
n = me とおく。

X → I
↓ ↓
J → Y

n は単射であるから、(3) より正規単射である。
np = mep = mq
よって、>>589より、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。
m = nu = meu であり、m は単射であるから 1 = eu である。
よって、e は引き込み(過去スレ018の328)である。
e は単射であるから>>239より e は同型である。
e = Ker(r, s) であるから r = s である。
証明終

593 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:45:41
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の全射は正規全射(>>582)である。
(4) C は差余核を持つ(>>162)。

f:X → Y を C における射とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。
>>575より、r:I’→ Y で f = re となるものが一意に存在する。。
このとき r は単射である。

証明
>>592と双対原理(過去スレ018の159)。

594 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 15:54:50
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
  C における任意の全射は正規全射(>>582)である。
(4) C は差核と差余核を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。

>>576より u:I’→ I で f = mue となるものが一意に存在する。

   e  u  m
f:X → I’→ I → Y

このとき u は同型である。

証明
>>592より、ue は全射である。
よって、u も全射である。

>>593より、mu は単射である。
よって、u も単射である。

以上から u は全単射である。
>>585より、C は平衡的であるから u は同型である。
証明終

595 :132人目の素数さん:2010/04/29(木) 16:00:01
>>574
猫はすっこんどれボケ

596 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 16:11:20
定義
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。

f:X → Y を C における射とする。
m:I → Y を Im(f) (>>572)とする。
e:X → I’を Coim(f) (>>572)とする。

>>576より u:I’→ I で f = mue となるものが一意に存在する。

このとき、u:Coim(f) → Im(f) を標準射と呼ぶ。

597 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 16:25:45
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) f:X → Y を C における射とする。
  標準射(>>596) u:Coim(f) → Im(f) は同型である。

このとき、C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

証明
f:X → Y を C における単射とする。
m:I → Y を Im(f) とする。
q:X → I を f = mq となる射とする。
0 → X は Ker(f) であるから 1_X:X → X は Coim(f) である。
よって、標準射 u:Coim(f) → Im(f) は q に等しい。
仮定より q は同型である。
よって、f は正規単射である。

双対的に f は正規全射である。
証明終

598 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/29(木) 16:30:41
>>597
>双対的に f は正規全射である。

双対的に任意の全射は正規全射である。

599 :132人目の素数さん:2010/04/30(金) 01:36:00
導来圏はいつ登場するんだね

600 :600:2010/04/30(金) 01:48:31
登場するころには
みんな死んでるかもな

601 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/30(金) 04:07:43
>>595
ワシはアンタを徹底追尾して徹底抗戦スル事になるのや。
まあ首を洗って覚悟するこっちゃナ。まあ実質的にはこ
のスレか何処かは知らんけどや、どっかのスレが廃墟に
なって焼け野が原になるだけや。ワシは痛くも痒くもな
いさかいどうでもエエのやけんどナ。




602 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 08:12:14
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

このとき、C における対象の任意の二つの部分対象は交わり(>>110)を持つ。

証明
2個の部分対象の交わりが存在することを

f:Y → X と g:Z → X を単射とする。
e:X → P を Coker(f) とする。
h:W → Z を Ker(eg) とする。

f は正規単射であるから>>583より f = Ker(e) である。
よって、k:W → Y で下の図式を可換にするものがある。

 h
W → Z
↓k ↓g
Y → X → P
 f  e

W が f:Y → X と g:Z → X の交わりであることを証明しよう。
r:T → Y と s:T → Z を fr = gs となる射とする。
h = Ker(eg) であり、(eg)s = efr = 0 であるから
t:T → W で s = ht となるものが一意に存在する。
fr = gs = ght = fkt
f は単射だから r = kt
証明終

603 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 08:25:15
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C は任意の2個の対象の積を持つ。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

このとき、C は有限完備(>>178)である。

証明
>>602より C の対処の任意の二つの部分対象は交わりを持つ。
よって、>>191より C は差核をもつ。
よって、>>233より C は有限完備である。
証明終

604 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 09:57:00
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C は任意の2個の対象の積を持つ。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

f:X → Y を C における射とする。
f = np と分解するとする。
ここで、n:J → Y は単射であり、p:X → J は全射である。
このとき、n は Im(f) (>>572)である。

証明
m:I → Y を Im(f) とする。
>>573より、f = mq と分解する。
>>589より、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。
m は単射であるから u も単射である。

 q
X → I
↓p ↓m
J → Y
 n

>>591より p = uq である。
p は全射であるから u も全射である。
よって、u は全単射である。
>>585より、C は平衡的であるから u は同型である。
証明終

605 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 10:15:20
>>604の修正

命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(3) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

f:X → Y を C における射とする。
f = np と分解するとする。
ここで、n:J → Y は単射であり、p:X → J は全射である。
このとき、n は Im(f) (>>572)である。

証明
m:I → Y を Im(f) とする。
>>573より、f = mq と分解する。
>>589より、u:I → J で m = nu となるものが一意に存在する。
m は単射であるから u も単射である。

 q
X → I
↓p ↓m
J → Y
 n

>>591より p = uq である。
p は全射であるから u も全射である。
よって、u は全単射である。
>>585より、C は平衡的であるから u は同型である。
証明終

606 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 10:44:04
命題
C を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
C の対象 X と Y の余積 X+Y が存在するとする。

μ:X → X+Y を入射とする。
このとき、p = [0, 1_Y](>>36):X+Y → Y は Coker(μ) である。

証明
ν:Y → X+Y を入射とする。
f:X+Y → Z を fμ = 0 となる射とする。
f = [0, r] と書ける。
ここで、r = fν:Y → Z である。
(rp)μ = 0
(rp)ν = u
よって、f = rp である。
p は全射であるから、f = rp を満たす r は一意である。
よって、p = Coker(μ) である。
証明終

607 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 12:45:59
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して余積 X+Y が存在する。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)である。

μ:X → X+Y と ν:Y → X+Y を入射とする。
このとき、μ と ν の交わりは 0 である。

証明
>>606より、p = [0, 1_Y]:X+Y → Y は Coker(μ) である。
>>602より、μ と ν の交わりは h = Ker(pν) としたとき νh である。
一方、pν = 1_Y であるから h = Ker(pν) = 0 である。
よって、νh = 0 である。
証明終

608 :132人目の素数さん:2010/04/30(金) 12:54:05
>>601
脳味噌くさった猫さん
ご苦労さんやね
独り相撲とって

609 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 13:10:35
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
  C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

このとき標準射(>>550) f:X+Y → X×Y は同型である。

証明
>>585より、C は平衡的であるから f が全単射であることを証明すればよい。

k:K → X+Y を Ker(f) とする。
p_2:X×Y → Y を射影とする。
e = [0, 1_Y]:X+Y → Y とおく。

(p_1)f = e である:
X+Y → X×Y → Y = X+Y → Y

よって、ek = (p_1)fk = 0 である。

μ:X → X+Y を入射とすると、>>606より e:X+Y → Y は Coker(μ) である。
>>583より、μ = Ker(e) である。
よって、k は μ に含まれる。
同様に k は入射 ν:Y → X+Y に含まれる。
>>607より k = 0 である。
よって、f は単射である。

双対的に f は全射である。
証明終

610 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 13:13:07
>>609
>>(p_1)f = e である:

(p_2)f = e である:

611 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/04/30(金) 13:14:19
>>609
>よって、ek = (p_1)fk = 0 である。

よって、ek = (p_2)fk = 0 である。

612 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/30(金) 16:15:38
>>608
そうや、ワシのココでの書き込みが「全て完璧な一人相撲」という
状況になった時にワシのココでの作業は終わるのや。
アンタよう判ってるやないけェー




613 :132人目の素数さん:2010/04/30(金) 17:10:06
>>612
そういうの
荒らし
っていうんじゃないかな
にちゃんをおいだされたら行くところないよ

他でも荒らしているみたいだし悪質だな

614 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/30(金) 17:20:59
>>613
ではアンタが言う「荒らしの定義」っちゅうんを明確にせえや
定義に当てはめる事も出来ないで「荒らしの認定」は出来ひん
さかいナ。ほんでや、追い出せるモンならやってみいや!
但し「正当な方法」でナ。




615 :132人目の素数さん:2010/04/30(金) 17:30:22
>>614
 数学も論理もわからんくせに定義がどうしたとほざくな
なにが 但し や
逃げ腰の猫やなあ

おまえ捕まったとき痴漢の定義は何か
って叫んだんか?
さけんでも豚箱に入れられたやろ
オマエの実力はそんなところや

いつまでもほざけ
これは親父の命令じゃ


616 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/04/30(金) 17:38:07
>>615
ほんならワシは永遠に逃げて2ちゃんのスレをさまよい続けるのや
まあワシは実力なんて全然あらへんさかい、コレしか出来へんのや
そやしどうもスンマヘンな




617 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 01:09:35
要するに
このスレのことなんてどうでもいいのやな

くまーをだしにして
暴れたかった

だからちょっとした書き込みに
よろこんで出てくる

脳みそだけやなく根性も腐ってるんやな
猫は

親父のいうこと喜んで聞いとけや
そんでいつまでも暴れとれや

618 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 01:14:49
neko ni maziresu kakowarui

619 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 01:26:07
>>618
omae ha aho ka
俺の本当の目的は猫をけしかけてこのスレをつぶそうというのだが

猫がそもそもこのスレを応援しようという姿勢ででてきたので
それを利用しているだけがな

そんなことがわからんやつが
なにがmaziresuじゃ

すっこんどれボケ

620 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/05/01(土) 02:06:34
>>619
オッサン、ホンマにカッコエエがな! その調子で今後も頑張りなはれや
アンタが居ったらワシかて退屈せえへんさかいナ。

ソレこそ「アホかてスレの賑わい」ってナ。




621 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 02:23:49
to turarete detekuru neko de atta

622 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 02:32:06
猫はこっちが思うとおりに行動するから玩具としてからかうと
面白い

まああまりに思うとおりにくるからちょっとつまらなくなってきたかもな

623 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 10:37:42
補題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C の任意の対象 X、Y に対して標準射(>>550) X+Y → X×Y は同型である。

X_i、i = 1、...、n を C の対象とする。
X = ΣX_i とおく。
m_i:X_i → X を入射とする。
X は (X_i) の直積と見なせるから p_i:X → X_i を射影とする。

>>563より、Hom(X, X) は可換モノイドとなる。
よって、Σm_ip_i が定義される。

このとき、Σm_ip_i = 1_X である。

証明
f = Σm_ip_i とおく。
>>561より、分配律が成り立つから、
各 k に対して fm_k = Σ(m_ip_i)m_k = m_k(p_km_k) = m_k
よって、各 k に対して fm_k = (1_X)m_k

一方、>>37より、(m_i:X_i → X) は全吸い込み(>>19)である。
よって、f = 1_X である。
証明終

624 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 11:41:47
>>549の修正

C を圏とする。
X_i、i = 1、...、n
Y_j、j = 1、...、m
を C の対象とする。

余積 X = ΣX_i と 積 Y = ΠY_j が存在するとする。
μ_i:X_i → X、i = 1、...、n を入射(>>41)とする。
p_j:Y → Y_j、j = 1、...、m を射影とする。

任意の射 f:X → Y に対して
f_(j, i) = (p_j)f(μ_i)、j = 1、...、m、i = 1、...、n とおく。

f = [f(μ_1), ..., f(μ_n)] (>>36)である。

各 i に対して
f(μ_i) = <(p_1)f(μ_i), ..., (p_m)f(μ_i)> = <f_(1, i), ..., f(m, i)>
(過去スレ018の872) である。

よって、f = [<f_(1, 1), ..., f(m, 1)>, ..., <f_(1, n), ..., f(m, n)>]

即ち、f は (m, n)型の行列 (f_(j, i)) で定まる。

625 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 11:47:17
命題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C の任意の対象 X、Y に対して標準射(>>550) X+Y → X×Y は同型である。

X_i、i = 1、...、n
Y_j、j = 1、...、m
Z_k、k = 1、...、l
を C の対象とする。

>>624より、任意の射 f:X → Y は (m, n)型の行列 M = (f_(j, i)) で表される。
同様に任意の射 g:Y → Z は (l, m)型の行列 N = (g_(k, j)) で表される。

このとき、gf は (l, n)型の行列 NM で表される。

証明
m_i:X_i → X と n_j:Y_j → Y を入射とする。
p_j:Y → Y_j と q_k:Z → Z_k を射影とする。

>>623より、Σn_jp_j = 1_Y
よって、gf = g(1_Y)f = Σ[j] gn_jp_jf

よって、
q_k(gf)m_i = Σ[j] (q_kgn_j)(p_jfm_i) = Σ[j] g_(k, j)f_(j, i)
証明終

626 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 12:28:19
補題
C を以下の条件を満たす圏とする。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
  C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

f:X → Y を C における射とする。
>>609より、標準射(>>550) f:X+Y → X×Y は同型である。

ψ:X+Y → X+Y を (2, 2) 型の行列 ψ = [<1_X, f>, <0, 1_Y>] で定義する(>>624)。

このとき、ψ は同型である。

証明
>>585より、C は平衡的であるから f が全単射であることを証明すればよい。

φ:K → X+Y を Ker(ψ) とする。
φ = <r, s> とする(過去スレ018の872)。
ここで、r:K → X、s:K → Y である。
行列の積(>>625)より、ψφ = <r, fr + s> = 0
よって、r = 0、s = 0
よって、φ = 0 である。
よって、ψ は単射である。

双対的に ψ は全射である。
証明終

627 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 12:52:03
命題
C を圏とする。
C がアーベル圏(>>533)であるためには C が以下の条件を満たすことが必要十分である。

(1) C は零対象(過去スレ017の791)を持つ。
(2) C の任意の対象 X、Y に対して積 X×Y と余積 X+Y が存在する。
(3) C における任意の射は核(過去スレ017の794)と余核(過去スレ017の856)を持つ。
(4) C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
  C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

証明
必要性:
アーベル圏の定義から明らかである。

十分性:
>>609より、C の任意の対象 X、Y に対して 標準射(>>550) f:X+Y → X×Y は同型である。
>>561より、C の射の合成と加法に関する分配律が成り立つから、
Hom(X, Y) がアーベル群であることを証明すればよい。
>>563より、Hom(X, Y) は可換モノイドである。
f:X → Y を任意の射とする。

>>626より、ψ = [<1_X, f>, <0, 1_Y>] は同型である。
ψ の逆射を φ = [<a, b>, <c, d>] とする。
ψφ = [<a, fa + b>, <c, fc + d>] = [<1, 0>, <0, 1>]
よって、a = 1, fa + b = 0
よって、f + b = 0
よって、f は加法に関する逆元 b を持つから Hom(X, Y) はアーベル群である。
証明終

628 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 12:59:19
>>627は Freyd の Abelian categories (1964) p.49 による。
この本は長い間絶版であったが最近internetから無料でダウンロード出来るようになった。

629 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 13:08:07
>>627の十分性は証明がやや面倒なわりにあまり応用する機会は少ない。
通常はアーベル圏の定義としては>>533と後で述べるそれの変種で十分である。
>>627を述べたのはアーベル圏における論法に慣れるためである。

630 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 13:17:23
アーベル圏はホモロジー代数を加群の圏以外にも適用し、
それらを統一的に扱うということを動機としてBuchsbaum(1955)とGrothendieck(1957)により
定義された。

631 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 15:39:33
命題
C を加法圏(>>510)とする。
f:X → Y を C における射とする。
f が正則単射(過去スレ018の456)であるためには f が正規単射(>>582)であることが
必要十分である。

f が正則全射(過去スレ018の456)であるためには f が正規全射(>>582)であることが
必要十分である。

証明
後半は前半の双対であるから前半のみ証明すればよい。

f を正則単射とする。
g:Y → Z と h:Y → Z があり f = Ker(g, h) となる。
Ker(g, h) = Ker(g - h) であるから f は正規単射である。

逆に f を正規単射とする。
g:Y → Z があり f = Ker(g) となる。
Ker(g) = Ker(g, 0) であるから f は正則単射である。
証明終

632 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 15:47:12
>>627
>必要性:
>アーベル圏の定義から明らかである。

アーベル圏の定義と>>631から明らかである。

633 :132人目の素数さん:2010/05/01(土) 15:52:46
アーベルアーベル

634 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 15:58:02
命題
C を前アーベル圏(>>512)とする。
C がアーベル圏(>>533)であるためには C が以下の条件 (*) を満たすことが必要十分である。

(*) f:X → Y を C における任意の射とする。
  標準射(>>596) u:Coim(f) → Im(f) は同型である。

証明
必要性:
C をアーベル圏とする。
>>631より、C における任意の単射は正規単射(>>582)であり、
C における任意の全射は正規全射(>>582)である。

g:T → Z と h:T → Z を C における射とする。
Ker(g, h) = Ker(g - h) であるから C は差核を持つ。
双対的に C は差余核を持つ。
よって、>>594より、C は条件 (*) を満たす。

十分性:
>>597>>631より明らかである。
証明終

635 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 16:48:41
定義
C と D を前加法圏(>>504)とする。
F:C → D を関手とする。
C の任意の対象 X、Y に対して F:Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が
アーベル群の準同型であるとき F を加法的関手と言う。

636 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 16:52:27

C を前加法圏(>>504)とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
C の対象 X に対して Hom(X, -) は C から Ab への加法的関手(>>635)である。
Hom(-, X) は C^o から Ab への加法的関手である。

637 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/01(土) 16:57:48

C を圏とする。
C から次のようにして前加法圏 Ab(C) を構成できる。
Ab(C) の対象は C の対象とする。
Ab(C) の対象 X、Y に対して Hom(X, Y) は
C における Hom(X, Y) から生成される自由アーベル群とする。
Ab(C) の射の合成は C における射の合成を線型に拡張したものとする。
自明な関手 H:C → Ab(C) は次の普遍性をもつ。

A を前加法圏とし、F:C → A を関手とする。
このとき、加法的関手 G:Ab(C) → A で F = GH となるものが一意に存在する。

Ab(C) を C 上の自由前加法圏と呼ぶ。

638 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/02(日) 10:03:04
>>519の修正

命題
C を前加法圏(>>504)とする。
X = (X_1)+(X_2) を C における余積(>>35)とする。
h_1:X_1 → X
h_2:X_2 → X
を入射(>>41)とする。

p_1:X → X_1 を射 [1_(X_1), 0] (>>36)とする。
即ち、p_1 は p_1h_1 = 1_(X_1)、p_1h_2 = 0 となる射である。

同様に、p_2:X → X_2 を射 [0, 1_(X_2)] とする。
即ち、p_2 は p_2h_2 = 1_(X_2)、p_2h_1 = 0 となる射である。

このとき、h_1p_1 + h_2p_2 = 1_X である。

証明
f = h_1p_1 + h_2p_2 とおく。
fh_1 = h_1p_1h_1 + h_2p_2h_1 = h_1 + 0 = h_1
fh_2 = h_2p_1h_2 + h_2p_2h_2 = 0 + h_2 = h_2

よって、>>37より、f = 1_X である。
証明終

639 :132人目の素数さん:2010/05/03(月) 01:49:14
猫がこのスレをつぶしにかかる理由がわからん。
電波きてるのか?

640 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 12:23:08
命題
C を加法圏(>>510)とする。
D を前加法圏(>>504)とする。
F:C → D を関手とする。

以下の条件は同値である。

(1) F は加法的である。

(2) F は有限積を保存する(>>289)。

(3) F は有限余積を保存する(>>290)。

証明
(1) ⇒ (3)
0 を C の零対象とする。
1_0 = 0 であるから
1_F(0) = F(1_0) = F(0) = 0
よって、F(0) は零対象である。

X, Y を C の対象とする。
m_1:X → X+Y
m_2:Y → X+Y
を入射(>>41)とする。

p_1:X+Y → X を射 [1_X, 0] (>>36)とする。
p_2:X+Y → Y を射 [0, 1_Y] (>>36)とする。

p_1m_1 = 1_X
p_2m_2 = 1_Y
である。
(続く)

641 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 12:23:49
>>640の続き

>>519より、m_1p_1 + m_2p_2 = 1_(X+Y) である。

よって、
F(p_1)F(m_1) = 1_F(X)
F(p_2)F(m_2) = 1_F(Y)
F(m_1)F(p_1) + F(m_2)F(p_2) = 1_F(X+Y)

>>523より、(F(m_1), F(m_2)、F(X+Y)) は F(X) と F(Y) の余積である。
よって F は有限余積を保存する。

(3) ⇒ (1)
f:X → Y、g:X → Y を C における射とする。
f+g:X+X → Y+Y を過去スレ017の839で定義した射とする。
このとき、F(f+g) = F(f)+F(g) である。

Δ:X → X×X = X+X を対角射(過去スレ017の750)、
δ:Y+Y → Y をは余対角射(即ち対角射の双対)とする。

このとき、F(Δ) は対角射 F(X) → F(X+X) = F(X)+F(X) であり、
F(δ) は余対角射 F(Y+Y) = F(Y)+F(Y)→ F(Y) である。

>>565より、f + g = δ(f+g)Δ である。
よって、F(f + g) = F(δ)(F(f)+F(g))Δ
>>565の証明は C が前加法圏で X+X と Y+Y が存在する場合にも適用出来るから、
D において、F(X)+F(X) と F(Y)+F(Y) にも適用出来る。
よって、F(f + g) = F(f) + F(g) である。

(1) ⇒ (2):(1) ⇒ (3) の双対
(2) ⇒ (1):(3) ⇒ (1) の双対
証明終

642 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 12:36:49

C を前加法圏(>>504)とする。
C から次のようにして加法圏 Add(C) を構成できる。
Add(C) の対象は C の対象の n 個の組 (X_1、...、X_n) である。
ここで n = 0、1、...
(X_1、...、X_n) から (Y_1、...、X_m) への射は
(m, n)行列 (f_(j, i)) である。
ここで各 f_(j, i):X_i → Y_j は C における射である。
Add(C) の射の合成は行列の積により定義する(>>625)。

自明な関手 H:C → Add(C) は次の普遍性をもつ。

A を加法圏とし、F:C → A を加法的関手とする。
このとき、加法的関手 G:Add(C) → A で F = GH となるものが一意に存在する。

G は次の様に定義する。
C の対象の n 個の組 (X_1、...、X_n) に対して、
G(X_1、...、X_n) = F(X_1)+...+F(X_n) とする。
(X_1、...、X_n) から (Y_1、...、X_m) への射 M = (f_(j, i)) に対して
G(M) は行列 (F(f_(j, i))) に対応する射(>>624)
F(X_1)+...+F(X_n) → F(Y_1)+...+F(Y_n) とする。

Ab(C) を C 上の自由加法圏と呼ぶ。

643 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 12:43:52
>>642
>Ab(C) を C 上の自由加法圏と呼ぶ。

Add(C) を C 上の自由加法圏と呼ぶ。

644 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 12:48:00

R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R を1個の対象からなる前加法圏(>>504)と見なす(>>537)。
Add(R) を C 上の自由加法圏(>>642)とする。

Add(R) は Mat(R) (>>538)と見なされる。

645 :猫は雑魚 ◆ghclfYsc82 :2010/05/03(月) 12:53:53
>>639
ワシはこのスレを潰したいのではなくて、こういうスレを増やしたいんですワ。




646 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:00:32
定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
(Y, u) と (Y’、u’) を X の部分対象(過去スレ018の646)とする。
(Y, u) と (Y’、u’) が同型(過去スレ018の656)のとき
(Y, u) ≡ (Y’、u’) と書く。

このとき、誤解の恐れがなければ u ≡ u’または Y ≡ Y’とも書く。
また記号の濫用で等号 = を ≡ の代わり使用する場合もある。

過去スレ018の657より、(Y, u) ≡ (Y’、u’) であるためには
(Y, u) ≦ (Y’、u’) かつ (Y, u) ≧ (Y’、u’) であることが必要十分である。

647 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:05:53
定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
(u, Y) と (u’, Y’) を X の商対象(過去スレ018の653)とする。
(u, Y) と (u’, Y’) が同型(過去スレ018の667)のとき
(u, Y) ≡ (u’, Y’) と書く。

このとき、誤解の恐れがなければ u ≡ u’または Y ≡ Y’とも書く。
また記号の濫用で等号 = を ≡ の代わり使用する場合もある。

過去スレ018の668より、(u, Y) ≡ (u’, Y’) であるためには
(u, Y) ≦ (u’, Y’) かつ (u, Y) ≧ (u’, Y’) であることが必要十分である。

648 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:08:16
定義
C をアーベル圏(>>533)とする。
C における次の図式において Y の部分対象として Im(f) ≡ Ker(g) (>>646)であるとき
この図式は完全であるという。

 f  g
X → Y → Z

649 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:16:36
>>648
>この図式は完全であるという。

この図式は完全(exact)であるという。

650 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:37:27
命題
アーベル圏(>>533) C における次の図式を考える。

 f  g
X → Y → Z

この図式が完全(>>648)であるためには以下の条件が成り立つことが必要十分である。
(1) gf = 0
(2) h:X → Y が gh = 0 を満たせば h = mh’と分解される。
ここで、Im(f) = (m:I → Y) である。

証明
必要性:
上の図式が完全であるとする。

(1) の証明:Im(f) ≡ Ker(g) であるから gm = 0 である。
>>573より、f = mq と分解する。
よって、gf = gmq = 0
(2) の証明:h:X → Y が gh = 0 を満たすとする。
Im(f) ≡ Ker(g) であるから h = mh’と分解される。

十分性:
(1) と (2) が成り立つとする。
>>573より、f = mq と分解する。
(1) より、gf = gmq = 0
>>592より、q は全射であるから、gm = 0 である。
よって、Im(f) ≦ Ker(g) である。

h:K → Y を Ker(g) とする。
gh = 0 であるから (2) より、h = mh’と分解される。
よって、Ker(g) ≦ Im(f) である。
証明終

651 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:42:33
定義
C をアーベル圏(>>533)とする。
C における次の図式において Im(f_i) ≡ Ker(f_(i+1))、i = 1、...、n-2
であるとき、この図式は完全であるという。

n ≧ 3
f_i:X_i → X_(i+1)、i = 1、...、n-1

X_1 → X_2 → ... X_(n-1) → X_n

652 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:47:29
>>651の図式を完全列(exact sequence)と呼ぶ。

653 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 14:58:50

    f
0 → X → Y が完全(>>648)であることと f が単射であることは同値である。

双対的に
 f
X → Y → 0 が完全であることと f が全射であることは同値である。

よって、
    f
0 → X → Y → 0 が完全(>>651)であることと f が同型であることは同値である(>>585)。

654 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:00:00
定義
C をアーベル圏(>>533)とする。
次の完全列(>>652)を短完全列と呼ぶ。

     f   g
0 → X → Y → Z → 0

これは f = Ker(g)、g = Coker(f) と同値である。

655 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:11:32

C をアーベル圏(>>533)とする。

     f   g
0 → X → Y → Z

これが完全(>>651)であることと f = Ker(g) は同値である。

双対的に次の図式が完全であることと g = Coker(f) は同値である。

  f   g
X → Y → Z → 0

656 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:36:59
>>650の修正

命題
アーベル圏(>>533) C における次の図式を考える。

  f   g
X → Y → Z

この図式が完全(>>648)であるためには以下の条件が成り立つことが必要十分である。
(1) gf = 0
(2) h:T → Y が gh = 0 を満たせば h = mh’と分解される。
ここで、Im(f) = (m:I → Y) である。

証明
必要性:上の図式が完全であるとする。
(1) の証明:Im(f) ≡ Ker(g) であるから gm = 0 である。
>>573より、f = mq と分解する。
よって、gf = gmq = 0
(2) の証明:h:T → Y が gh = 0 を満たすとする。
Im(f) ≡ Ker(g) であるから h = mh’と分解される。

十分性:
(1) と (2) が成り立つとする。
>>573より、f = mq と分解する。
(1) より、gf = gmq = 0
>>592より、q は全射であるから、gm = 0 である。
よって、Im(f) ≦ Ker(g) である。

h:K → Y を Ker(g) とする。
gh = 0 であるから (2) より、h = mh’と分解される。
よって、Ker(g) ≦ Im(f) である。
証明終

657 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:43:11
命題
C をアーベル圏(>>533)とする。

     f   g
0 → X → Y → Z

これが完全(>>651)であるためには、任意の T ∈ C に対して

0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であることが必要十分である。

証明
必要性:
>>655に注意すれば明らかである。

十分性:
0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であるとする。
Hom(T, X) → Hom(T, Y) は単射であるから f も単射である。

よって、f = Ker(g) を証明すればよい。

T = X とおけば、
0 → Hom(X, X) → Hom(X, Y) → Hom(X, Z) が完全なことより、
1_X の像を考えることにより gf = 0 である。
よって、
0 → Hom(T, X) → Hom(T, Y) → Hom(T, Z) が完全であることより f = Ker(g) である。
証明終

658 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:49:02
命題
C をアーベル圏(>>533)とする。

  f   g
X → Y → Z → 0

これが完全(>>651)であるためには、任意の T ∈ C に対して

0 → Hom(Z, T) → Hom(Y, T) → Hom(X, T) が完全であることが必要十分である。

証明
>>657と双対原理(>>548)。

659 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:50:05
定義
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が有限極限を保存する(>>282)とき F を左完全であると言う。

660 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:51:03
定義
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が有限余極限を保存する(>>283)とき F を右完全であると言う。

661 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 15:52:43
定義
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が左完全かつ右完全であるとき完全であると言う。

662 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 16:13:01
定義
C と D を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
関手 F:C → D が次の性質を持つとき F は核を保存すると言う。

h:K → X が f:X → Y の核のとき F(h):F(K) → F(X) は F(f):F(X) → F(Y) の核である。
即ち、F(Ker(f)) = Ker(F(f)) である。

663 :132人目の素数さん:2010/05/03(月) 18:21:38
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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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664 :neetubot:2010/05/03(月) 20:37:00
だが断る!

665 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 21:45:24
命題
C をアーベル圏(>>533)とする。
u:X → Z
v:Y → Z
p:Z → X
q:Z → Y
を C における射とする。

pu = 1_X
qv = 1_Y
かつ X → Z → Y 及び Y → Z → X は完全であるとする。
即ち、Im(u) = Ker(q) かつ Im(v) = Ker(p) である。

このとき、湧き出し(過去スレ018の713) (p:Z → X, q:Z → Y) は積である。

証明
f:T → X、g:T → Y に対して h = uf + vg とおく。
h:T → Z である。
ph = puf + pvg = f + 0 = f
qh = quf + qvg = 0 + g = g

このような h の一意性を示せばよい。
h’:T → Z が ph’= f、qh’= g を満たすとする。
r = h - h’とおく。
pr = 0、qr = 0 である。
r = 0 を示せばよい。

X → Z → Y は完全であり、u:X → Z は単射であるから u = Ker(q) である。
qr = 0 より、r = us となる s:T → X がある。
pu = 1_X より、s = (pu)s = p(us) = pr = 0
よって、r = 0
証明終

666 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 21:46:31
定義
C と D を零対象(過去スレ017の791)を持つ圏とする。
関手 F:C → D が次の性質を持つとき F は余核を保存すると言う。

g:Y → K が f:X → Y の余核のとき F(g):F(Y) → F(K) は F(f):F(X) → F(Y) の余核である。
即ち、F(Coker(f)) = Coker(F(f)) である。

667 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 21:53:50
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が左完全(>>659)であれば、F は加法的である。

証明
F は有限積を保存する(>>289)から>>640より加法的である。
証明終

668 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 22:10:37
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が左完全(>>659)であるためには F が核を保存する(>>662)ことが
必要十分である。

証明
必要性:
加法圏においては核は差核であるから必要性は明らかである。

十分性:
F が核を保存するとする。
>>665より F は2個の対象の積を保存する。
>>640の(2) ⇒ (1)の証明より F は加法的である。
よって、F は零対象を保存する。
よって、F は有限積を保存する。
>>603より、C は有限完備である。
よって、>>292より、F は有限極限を保存する。
よって、F は左完全である。
証明終

669 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 22:15:43
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が左完全(>>659)であるためには
F が完全列 0 → X → Y → Z を完全列 0 → F(X) → F(Y) → F(Z) に
写すことが必要十分である。

証明
>>655>>668より明らかである。

670 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 22:25:10
>>669
>F が完全列 0 → X → Y → Z を完全列 0 → F(X) → F(Y) → F(Z) に

F が任意の完全列 0 → X → Y → Z を完全列 0 → F(X) → F(Y) → F(Z) に

671 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 22:26:16
定義
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が任意の完全列 0 → X → Y → Z → 0 を
完全列 F(X) → F(Y) → F(Z) に写すとき、F を半完全(semi-exact)と言う。

672 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/03(月) 23:23:54
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が半完全(>>671)であれば、F は加法的である。

証明
>>665より F は2個の対象の積を保存する。
>>640の(2) ⇒ (1)の証明より F は加法的である。
証明終

673 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:19:47
命題
アーベル圏(>>533)における次の図式を考える。

  u
P  → X
↓v  ↓f
Y  → Z
  g

r:P → X+Y を r = <u, v> (過去スレ018の872) と定義する。
s:X+Y → Z を s = [f, -g] (>>36)と定義する。

このとき以下が成り立つ。

(1) sr = 0 であるためには上の図式が可換であることが必要十分である。

(2) 0 → P → X+Y → Z が完全であるためには上の図式が引き戻し(過去スレ017の866)
  であることが必要十分である。

(3) P → X+Y → Z → 0 が完全であるためには上の図式が押し出し(過去スレ017の867)
  であることが必要十分である。

(4) 0 → P → X+Y → Z → 0 が完全であるためには上の図式が
  引き戻しかつ押し出しであることが必要十分である。

証明
p_1:X+Y → X、p_2:X+Y → Y を射影とし、
m_1:X → X+Y、m_2:Y → X+Y を入射とする。

(続く)

674 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:20:32
>>673の続き

(1):
>>519より、1 = m_1p_1 + m_2p_2 である。
sr = s(m_1p_1 + m_2p_2)r = sm_1p_1r + sm_2p_2r = fu - gv
これより (1) の主張は明らかである。

(2):
c:T → X、d:T → Y が与えられたとする。
s<c, d> = s(m_1p_1 + m_2p_2)<c, d> = fc - gd
よって、s<c, d> = 0 と fc = gd は同値である。
これと (1) から (3) の主張は明らかである。

(3):
(2) の双対である。

(4):
(2) と (3) から明らかである。
証明終

675 :132人目の素数さん:2010/05/04(火) 16:32:36
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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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676 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:40:25
命題(アーベル圏における押し出し定理)
アーベル圏(>>533)における単射は押し出しに関して安定(>>136)である。

証明
アーベル圏(>>533)における次の図式が押し出し(過去スレ017の867)であり、
f は単射であるとする。

  f
S  → X
↓   ↓
S’ → P
  f’

>>673より、S → X+S’→ P → 0 は完全である。
f = S → X+S’→ X であるから S → X+S’は単射である。

よって、0 → S → X+S’→ P → 0 は完全である。
>>673より、上の図形は引き込みである。
>>102より、単射は引き戻しに関して安定であるから f’は単射である。
証明終

677 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:43:17
命題(アーベル圏における引き戻し定理)
アーベル圏(>>533)における全射は引き戻しに関して安定(>>101)である。

証明
>>676の双対である。

678 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:45:34
>>676
>>>673より、上の図形は引き込みである。

>>673より、上の図形は引き戻しである。

679 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 16:58:55
命題
アーベル圏(>>533)における次の図式が引き戻し(過去スレ017の866)であり、
K → S は f の核であるとする。

      f
K → S  → X
   ↓   ↓
    S’ → P
      f’

このとき、K → S → S’は f’の核である、

証明
T → S’が T → S’→ P = 0 を満たすとする。
S は引き戻しであるから T → S で T → S’= T → S → S’、T → S → X = 0
となるものが一意に存在する。
K → S は f の核であるから T → K で T → S = T → K → S となるものが
一意に存在する。
証明

680 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 17:15:47
引き戻し定理(>>677)によりアーベル圏の対象に対してその要素を定義することが出来る。
これにより、アーベル圏においてアーベル群の圏のように図式追跡(diagram chase)が
出来るようになる。これを説明しよう。

681 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/04(火) 17:42:36
定義
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
X を値域とする射 x:T → X を X の要素と呼び、x ∈ X と書く。
要素 x:T → X と要素 y:S → Y は全射 P → T と全射 P → S で
次の図式を可換にするものが存在するとき同値であると言い、x ≡ y と書く。
これが同値関係であることは次に証明する。

P → T
↓  ↓x
S → X
 y

682 :132人目の素数さん:2010/05/05(水) 02:37:05
連休なんだから休めよ

683 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 12:44:06
命題
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
X の要素間の関係 x ≡ y (>>681)は同値関係である。

証明
反射性と対称性は明らかであるので推移性を証明すればよい。
x ≡ y かつ y ≡ z とする。
よって、次の可換図式がある。
ここで、P → T、P → S、Q → S、Q → U は全射である。

   P → T
   ↓  ↓x
Q → S → X
↓  ↓ y
U → X
 z

R → P
↓  ↓ を引き戻しとすると次の可換図式が得られる。
Q → S

R → P → T
↓  ↓  ↓x
Q → S → X
↓  ↓ y
U → X
 z

引き戻し定理(>>677)により R → P と R → Q は全射である。
よって、x ≡ z である。
証明終

684 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 12:58:56
命題
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
X の任意の要素(>>681)は X の部分対象(過去スレ018の646)と同値である。

証明
x:T → X とする。
>>573より、x = mq と分解する。
ここで、m は単射であり、>>592より q は全射である。

次の可換図式が得られる。

 1
T → T
↓q ↓x
I → X
 m

よって、x ≡ m である。
証明終

685 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 13:05:15
命題
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
X の要素(>>681) x に関して x ≡ 0 なら x = 0 である。

証明
x:T → X とする。
次の可換図式がある。

 u
P → T
↓v ↓x
S → X
 0

xu = 0v = 0 である。
u は全射であるから x = 0 である。
証明終

686 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 13:06:27
命題
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
X の要素(>>681) x、y に関して x ≡ y なら -x ≡ -y である。

証明
x:T → X、y:S → X とする。
次の可換図式がある。
u、v は全射である。

 u
P → T
↓v ↓x
S → X
 y

xu = yv であるから -xu = -yv である。
よって、-x ≡ -y である。
証明終

687 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 13:10:36
命題
f:X → Y をアーベル圏(>>533)における射とする。
X の要素(>>681) x、y に関して x ≡ y なら fx ≡ fy である。

証明
x:T → X、y:S → X とする。
次の可換図式がある。
ここで、u、v は全射である。

 u
P → T
↓v ↓x
S → X
 y

xu = yv であるから fxu = fyv である。
よって、fx ≡ fy である。
証明終

688 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 13:26:43
命題
f:X → Y をアーベル圏(>>533)における射とする。

以下の条件は同値である。

(1) f は単射である。

(2) X の要素(>>681) x に関して fx ≡ 0 なら x ≡ 0 である。

(3) X の要素 x、y に関して fx ≡ fy なら x ≡ y である。

証明
(1) ⇔ (2):
>>685より fx ≡ 0 と fx = 0 は同値である。
これから (1) ⇔ (2) は明らかである。

(1) ⇒ (3):
fx ≡ fy とする。
 u
P → T
↓v ↓x
S → X → Y
 y  f

ここで u と v は全射で fxu = fyv である。
f は単射であるから xu = yv である。
よって、x ≡ y である。

(3) ⇒ (2):
(3) において y = 0 とおけば (2) が出る。
証明終

689 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 14:25:42
命題
f:X → Y をアーベル圏(>>533)における射とする。

以下の条件は同値である。

(1) f は全射である。

(2) Y の任意の要素(>>681) y に関して fx ≡ y となる X の要素 x がある。

証明
(1) ⇒ (2):
f を全射とし、y:T → Y を Y の要素とする。
>>603よりアーベル圏は有限完備である。
よって、次の引き戻しがある。

 u
P → T
↓x ↓y
X → Y
 f

引き戻し定理(>>677)により u:P → T は全射である。
よって、fx ≡ y である。

(2) ⇒ (1):
仮定より、fx ≡ 1_Y となる X の要素 x がある。
g:Y → Z を gf = 0 となる射とする。
>>687より、gfx ≡ g である。
よって、0 ≡ g である。
>>685より g = 0 である。
よって f は全射である。
証明終

690 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 15:10:48
命題
 f  g
X → Y → Z をアーベル圏(>>533)における図式とする。

この図式が完全(>>648)であるためには以下の条件が成り立つことが必要十分である。

(1) gf = 0

(2) Y の要素(>>681) y に関して gy = 0 なら fx ≡ y となる X の要素 x がある。

証明
必要性:
上の図式が完全であるとする。
(1) は明らかである。
>>573より、f = mq と分解する。
ここで、m は単射であり、>>592より q は全射である。
y:T → Y に対して gy = 0 とする。
Im(f) = Ker(g) であるから y = mh と分解する。
>>603よりアーベル圏は有限完備であるから次の引き戻しがある。

 u
P → T
↓x ↓h
X → I
 q

引き戻し定理(>>677)により u:P → T は全射である。
よって、qx ≡ h である。
>>687より、mqx ≡ mh である。
よって、fx ≡ y である。
(続く)

691 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 15:11:32
>>690の続き

十分性:
(1) より、Im(f) ≦ Ker(g) であるから Ker(g) ≦ Im(f) を証明すればよい。
y:T → Y、gy = 0 とする。
(2) より、fx ≡ y となる X の要素 x がある。

x:U → X とする。
fx ≡ y より、全射 u:S → U と全射 v:S → T で fxu = yv となるものがある。
h:Y → Q を Coker(f) とする。
0 = hfxu = hyv であり、v は全射だから hy = 0 である。
よって、y = my’と分解する。
ここで m:I → Y は Im(f) である。
よって、Ker(g) ≦ Im(f) である。
証明終

692 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 15:19:28
命題
f:X → Y をアーベル圏(>>533)における射とする。
x と y を X の要素(>>681)とし、fx ≡ fy とする。
このとき fz ≡ 0 となる X の要素 z がある。

証明
次の図式がある。
u、v は全射であり、fxu = fyv である。

 u
P → T
↓v ↓x
S → X → Y
 y  f

このとき、z = xu - yv とおけばよい。
証明終

693 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 15:55:47
命題(5の補題)
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
f, g, u, v が同型であれば h も同型である。

 a  b  c  d
X → Y → Z → U → V
↓f ↓g ↓h ↓u ↓v
J → K → L → M → N
 p  q  r  s

証明
>>585より、アーベル圏は平衡的であるから
双対原理(>>548)より h が単射であることを証明すればよい。

z を Z の要素(>>681)とし、hz ≡ 0 とする。
このとき、z ≡ 0 を証明すればよい(>>688)。
>>685より、hz = 0 である。
rh = uc だから rhz = ucz = 0
u は単射だから cz = 0 である。
>>690より、by ≡ z となる Y の要素 y がある。
>>687より、hby ≡ hz である。
qg = hb だから qgy = hby
よって、qgy ≡ hz = 0 である。
>>685より、qgy = 0 である。
>>690より、pj ≡ gy となる J の要素 j がある。
f は全射であるから>>689より j ≡ fx となる X の要素がある。
pj ≡ pfx = gax
よって gy ≡ gax である。
g は単射だから>>688より、y ≡ ax である。
by ≡ bax = 0 だから by = 0 である。
by ≡ z より z ≡ 0 である。
証明終

694 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:03:41
>>693の図式がアーベル群の圏における図式の場合、
>>693の伝統的な証明は Z の元 z で hz = 0 となるものを使って z = 0 を導くものである。
この方法を図式追跡(diagram chase)と呼ぶ。
アーベル圏においてもこの方法と類似の方法が使えることを>>693の証明は示している。

695 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:19:37
>>693
>f, g, u, v が同型であれば h も同型である。

上下の水平列が完全(>>651)で f, g, u, v が同型であれば h も同型である。

696 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:28:25
命題(4の補題)
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であり、
g, u が単射で f が全射であれば h は単射である。

 a   b   c
X → Y → Z → U
↓f ↓g ↓h ↓u
J → K → L → M
 p   q   r

証明
>>693の証明とまったく同じである。

697 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:31:16
命題(4の補題)
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であり、
f, h が全射で u が単射であれば g は全射である。

 a  b  c
X → Y → Z → U
↓f ↓g ↓h ↓u
J → K → L → M
 p  q  r

証明
>>696と双対原理(>>548)

698 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:36:35
命題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であり、
f, h が単射であれば g も単射である。

0 → X → Y → Z → 0
   ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M → 0

証明
>>696より明らかである。

699 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:37:57
命題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であり、
f, h が全射であれば g も全射である。

0 → X → Y → Z → 0
   ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M → 0

証明
>>698と双対原理(>>548)

700 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 16:40:03
命題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であり、
f, h が同型であれば g も同型である。

0 → X → Y → Z → 0
   ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M → 0

証明
>>698>>699より g は全単射である。
>>585より、アーベル圏は平衡的であるから g は同型である。
証明終

701 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 18:39:28
命題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

    u  v
  X → Y → Z
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    k   l

このとき、Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) は完全である。
さらに、u が単射であれば Ker(f) → Ker(g) も単射である。

ここで、Ker(f) → Ker(g) および Ker(g) → Ker(h) は
それぞれ u、v から誘導された射である。

証明
f’:Ker(f) → X
g’:Ker(g) → Y
h’:Ker(h) → Z
を標準射とする。
u’:Ker(f) → Ker(g)
v’:Ker(g) → Ker(h)
をそれぞれ u、v から誘導された射とする。

(続く)

702 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 18:40:16
>>701の続き

合成射 v’u’:Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) は 0 である。
よって、>>690の (2) を示せば、Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) は完全である。
y’を Ker(g) の要素(>>681)で v’y’= 0 とする。
0 = h’v’y’= vg’y’
一方、X → Y → Z は完全であるから>>690より
X の要素 x で ux ≡ g’y’ となるものがある。
>>687より、gux ≡ gg’y’= 0 である。
一方、gux = kfx
よって、kfx ≡ 0 である。
>>685より kfx = 0 である。
k は単射であるから fx = 0 である。
>>690より、f’x’≡ x となる Ker(f) の要素 x’がある。
uf’x’≡ ux であるから uf’x’≡ g’y’である。
一方、uf’= g’u’であるから g’u’x’≡ g’y’である。
g’は単射であるから >>688より u’x’≡ y’である。
よって、>>690の (2) が成り立つ。

次に u が単射であると仮定する。
x’を Ker(f) の要素で u’x’≡ 0 とする。
g’u’x’= uf’x’であるから uf’x’≡ 0 である。
u と f’は単射であるから uf’も単射である。
よって、>>688より x’≡ 0 である。
よって、>>688より u’は単射である。
証明終

703 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 18:45:50
命題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

 u   v
X → Y → Z → 0
↓f ↓g ↓h
K → L → M
 k   l

このとき、Coker(f) → Coker(g) → Coker(h) は完全である。
さらに、l が全射であれば Coker(g) → Coker(h) も全射である。

ここで、Coker(f) → Coker(g) および Coker(g) → Coker(h) は
それぞれ k、l から誘導された射である。

証明
>>701と双対原理(>>548)

704 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 19:02:27
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

    u  v
  X → Y → Z → 0
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    k  l

>>701>>703より、
Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) と
Coker(f) → Coker(g) → Coker(h) は完全である。

このとき、∂:Ker(h) → Coker(f) があり、
Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) → Coker(h) は完全となる。

これを蛇の補題(snake lemma)と言う。
これは代数トポロジー及びホモロジー代数において基本となる補題である。
アーベル群の圏においてはこの補題の証明はルーチンである。
因みに昔のアメリカ映画でこの補題の証明をしている場面がある
(このことはWeibelが彼のホモロジー代数の本で書いていたし、
英語版Wikipediaのsnake lemmaの項にも引用されている)。

It's My Turn (1980)の始めほうの場面:
http://www.youtube.com/watch?v=DZUhf2URq6k

この補題をアーベル圏において証明しよう。

705 :132人目の素数さん:2010/05/05(水) 22:43:14
家族がいないからな

706 :132人目の素数さん:2010/05/05(水) 23:14:38
くまーものがたりを楽しみにしているのですが
続きはまだですか?

707 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/05(水) 23:25:13
命題
アーベル圏(>>533)における次の図式が引き戻し(過去スレ017の866)であり、
k:K → Y は g の核であるとする。

  u   f
K → P → X
↓1 ↓r  ↓h
K → Y → Z
  k   g

このとき、k = ru と分解する。
ここで u = Ker(f) である。

証明
gk = 0 であるから、u:K → P で k = ru、fu = 0 となるものがある。
u = Ker(f) を証明しよう。
k は単射であるから k = ru より u も単射である。
fu = 0 であるから >>690の(2)を示せばよい。

s:T → P で fs = 0 となるものがあるとする。
hf = gr であるから hfs = grs = 0
よって、t:T → K で kt = rs となるものが存在する。
k = ru より rut = rs
一方 fut = 0 である。
>>87より引き戻しは単湧き出し(過去スレ018の715)であるから ut = s である。
証明終

708 :132人目の素数さん:2010/05/06(木) 00:14:59
まとめスレとかありますか!?1スレ目から順番に見たいです…

709 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 09:43:28
>>707の修正

命題
アーベル圏(>>533)における次の図式が引き戻し(過去スレ017の866)であり、
k:K → Y は g の核であるとする。

  f
P → X
↓r  ↓h
Y → Z
  g

このとき、k = ru と分解する。
ここで u = Ker(f) である。

  u   f
K → P → X
↓1 ↓r  ↓h
K → Y → Z
  k   g

証明
gk = 0 であるから、u:K → P で k = ru、fu = 0 となるものがある。
u = Ker(f) を証明しよう。
s:T → P で fs = 0 となるものがあるとする。
hf = gr であるから hfs = grs = 0
よって、t:T → K で kt = rs となるものが一意に存在する。
k = ru より rut = rs
一方 fut = 0 である。
>>87より引き戻しは単湧き出し(過去スレ018の715)であるから ut = s である。
よって、u = Ker(f) である。
証明終

710 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 09:50:30
命題
アーベル圏(>>533)における次の図式が引き戻し(過去スレ017の866)であり、
k:K → Y を gk = 0 となる射とする。

  f
P → X
↓r  ↓h
Y → Z
  g

このとき、k = ru、fu = 0 となる射 u:K → P が一意に存在する。

証明
湧き出し (k:K → Y、0:K → X) を考える。
gk = 0 = h0 であるから本命題の主張は明らかである。
証明終

711 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 10:27:48
補題
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

    n  p
  X → Y → Z → 0
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    m   l

u:U → Z を Ker(h) とする。
p と u の引き戻し(過去スレ017の866)を P とする。
>>710より、r:X → P で m = vr、qr = 0 となる射が一意に存在する。

s:K → N を Coker(f) とする。
m と s の押し出し(過去スレ017の867)を Q とする。
>>710の双対より、d:Q → M で l = dt、dc = 0 となる射が一意に存在する。

  r  q
X → P → U
↓ ↓v ↓u
X → Y → Z
↓f ↓g ↓h
K → L → M
↓s ↓t ↓
N → Q → M
  c  d

ω = tgv とおく。ω:P → Q
このとき、δ:U → N で ω = cδq となるものが一意に存在する。

712 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 10:28:30
>>711の証明

ωr = tgvr = tgm = csf = 0
q = Coker(r) であるから ω = μq となる μ:U → Q が一意に存在する。

dω = dtgv = lgv = huq = 0
よって、dμq = 0
q は全射であるから dμ = 0
c = Ker(d) であるから δ:U → N で μ = cδ となるものが一意に存在する。
このとき、ω = μq = cδq である。
このような δ:U → N の一意性は q が全射で c が単射であることから明らかである。
証明終

713 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 10:46:28
定義
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

    n  p
  X → Y → Z → 0
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    m   l

>>711のδ:U → N をこの図式の連結射と呼ぶ。

714 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/06(木) 11:02:34
補題
>>711と同じ仮定をおく。

    n  p
  X → Y → Z → 0
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    m   l

  r  q
X → P → U
↓ ↓v ↓u
X → Y → Z
↓f ↓g ↓h
K → L → M
↓s ↓t ↓
N → Q → M
  c  d

x を U の任意の要素(>>681)とする。
p は全射であるから>>689より py ≡ ux となる y ∈ Y がある。
lgy = hpy ≡ hux = 0
よって、>>690より z ∈ K で mz ≡ gy となるものがある。

このとき、δx ≡ sz である。
ここで δ は連結射(>>713)である。

証明
P は引き戻しであるから x_0 ∈ P で vx_0 ≡ y、qx_0 ≡ x となるものがある。
cδx ≡ cδqx_0 = ωx_0 = tgvx_0 ≡ tgy ≡ tmz = csz
c は単射であるから>>688より δx ≡ sz
証明終

715 :くまーものがたり:2010/05/06(木) 14:37:04
くまーは充実していた

そして目は充血していた
なにしろ人々が休みで浮かれている間に
たくさんたくさん仕事をしたからな

いくらでも書けるぞ
何しろ圏論だからな
内容をはるかに上回る形式の宝庫だ
式を書いてもスペースをとるし
仕事をしたという充実感にはもってこいだ
なんとなく股間も充血しているようだ

かきネタ本が尽きたら次があるさ

だけどなあ
誰だよ
せっかく寝ていたくまーものがたりを
リクエストして起こした奴は

でもホントは俺もなくて淋しかったんだ

つづく

716 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 10:29:23
命題(蛇の補題)
アーベル圏(>>533)における次の可換図式において
上下の水平列が完全(>>651)であるとする。

    n  p
  X → Y → Z → 0
  ↓f ↓g ↓h
0 → K → L → M
    m   l

δ:Ker(h) → Coker(f) を連結射(>>713)とする。
このとき、
Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) → Coker(h) は完全となる。

さらに、n が単射であれば Ker(f) → Ker(g) も単射であり、
l が全射であれば Coker(g) → Coker(h) も全射である。

証明
次の図式を>>711と同じものとする。

  r  q
X → P → U
↓ ↓v ↓u
X → Y → Z
↓f ↓g ↓h
K → L → M
↓s ↓t ↓
N → Q → M
  c  d

(続く)

717 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 10:30:08
>>716の続き

>>701より、Ker(f) → Ker(g) → Ker(h) は完全であり、
n が単射であれば Ker(f) → Ker(g) も単射である。

>>703より、Coker(f) → Coker(g) → Coker(h) は完全であり、
l が全射であれば Coker(g) → Coker(h) も全射である。

Ker(g) → Ker(h) → Coker(f) と Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) が
完全であることの証明が残っている。

Ker(g) → Ker(h) → Coker(f) の完全性を>>690>>714を使って証明しよう。
k:Ker(g) → Y と e:Ker(g) → Ker(h) を標準射とする。
y を Ker(g) の任意の要素(>>681)とする。
pky = uey、gky = 0 であるから>>714よりδey = 0 である。
x を Ker(h) の要素で δx = 0 とする。
>>714より py ≡ ux となる y ∈ Y があり、z ∈ K で mz ≡ gy となるものがある。
このとき δx ≡ sz である。
よって sz ≡ 0 である。
よって x’∈ X で fx’≡ z となるものがある。
mz ≡ mfx’だから mfx’≡ gy である。
mf = gn だから gnx’≡ gy である。
>>692より g(yμ - nx’ν) = 0 となる全射 μ、ν がある。
よって yμ - nx’ν ≡ kw となる w ∈ Ker(g) がある。
uew = pkw ≡ p(yμ - nx’ν) = pyν ≡ py
一方、py ≡ ux であるから uew ≡ ux
u は単射であるから>>688より ew ≡ x
よって、>>690より Ker(g) → Ker(h) → Coker(f) は完全である。

双対的に Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) は完全である。
証明終

718 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 11:04:56
>>717
>双対的に Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) は完全である。

同様に Ker(h) → Coker(f) → Coker(g) は完全である。

719 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 11:36:15
命題
X をアーベル圏(>>533)の対象とする。
x:T → X を X の要素(>>681)とし、e:P → T を全射とする。

このとき xe ≡ x である。

証明
合成射 xe(1_P):P → P → T → X は合成射 xe:P → T → X に等しい。
1_P と e は全射であるから xe ≡ x である。
証明終

720 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 11:38:35
>>717の補足
>uew = pkw ≡ p(yμ - nx’ν) = pyν ≡ py

この pyν ≡ py は>>719による。

721 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 11:42:41
>>692の拡張

命題
f:X → Y をアーベル圏(>>533)における射とする。
x と y を X の要素(>>681)とし、fx ≡ fy とする。
このとき次の条件を満たす X の要素 z がある。

(1) fz ≡ 0

(2) g:X → Z が gy ≡ 0 を満たせば gz ≡ gx

(3) g:X → Z が gx ≡ 0 を満たせば gz ≡ -gy

証明
次の図式がある。

 u
P → T
↓v ↓x
S → X → Y
 y  f

ここで u、v は全射であり、fxu = fyv である。

このとき、z = xu - yv とおけば、fz ≡ 0 となる。
g:X → Z が gy ≡ 0 を満たせば gz = gxu - gyv = gxu
よって、>>719より gz ≡ gx である。

g:X → Z が gx ≡ 0 を満たせば gz = gxu - gyv = -gyv
よって、>>719より gz ≡ -gy である。
証明終

722 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:13:39
命題
C を圏とし、I と J をグラフ(過去スレ017の325)とする。
C が J 型の極限を持てば(>>340)、
Diag(I, C) (過去スレ017の369)も J 型の極限を持つ。

証明
F:J → Diag(I, C) を J 型の図式(過去スレ017の833)とする。
各 i ∈ I に対して λ → F(λ)(i) は C における J 型の図式である。
C は J 型の極限を持つから lim F(λ)(i) が存在する。
G(i) = lim F(λ)(i) とおく。

i → j を I における射とする。
各 λ に対して F(λ) ∈ Diag(I, C) であるから射 F(λ)(i) → F(λ)(j) が定まる
λ → μ を J における射とすると次の図式は可換である。

F(λ)(i) → F(λ)(j)
  ↓    ↓
F(μ)(i) → F(μ)(j)

よって、射 G(i) → G(j) で次の図式を可換にするものがある。

 G(i)  →  G(j)
  ↓    ↓
F(λ)(i) → F(λ)(j)

よって、G ∈ Diag(I, C) であり G → F(λ) は
錐(過去スレ018の838) α:G → F を構成する。
P ∈ Diag(I, C) とし β:P → F を任意の錐とする。
G(i) = lim F(λ)(i) より、射 u:G → P で α = βu となるものが一意に存在する。
よって、G = lim F である。
証明終

723 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:16:53
記法
C を圏とし、I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
Diag(I, C) (過去スレ017の369)は C^I とも書く。

724 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:36:12
命題
C を前加法圏(>>504)とし、I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
このとき C^I(>>723)は前加法圏である。

証明
F、G ∈ C^I とする。
I は小さいグラフであり、C は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)であるから
ΠHom(F(i), G(i)) は小さい集合である。
よって、Hom(F, G) は ΠHom(F(i), G(i)) の部分集合として小さい集合である。
よって、C^I は局所的に小さい圏である。

f、g ∈ Hom(F, G) とする。

u:i → j を I における射とする。

F(i) → G(i)
↓    ↓
F(j) → G(j)

(f(i) + g(i))G(u) = f(i)G(u) + g(i)G(u) = F(u)f(j) + F(u)g(j) = F(u)(f(j) + g(j))
よって、i → f(i) + g(i) は Hom(F, G) の元である。
この元を f + g と書く。
この演算により C^I は前加法圏になる。
証明終

725 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:40:30
命題
C を加法圏(>>510)とし、I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
このとき C^I(>>723)は加法圏である。

証明
>>724より、C^I は前加法圏である。
C は有限積を持つから>>722より C^I も有限積を持つ。
よって、C^I は加法圏である。
証明終

726 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:57:25
命題
C を圏とし、I と J をグラフ(過去スレ017の325)とする。
C が J 型の余極限を持てば(>>341) C^I (>>723)も J 型の余極限を持つ。

証明
C^o を C の双対圏(過去スレ017の352)とする。
C^o は J 型の極限を持つから>>722より (C^o)^I は J 型の極限を持つ。
よって、C^I は J 型の余極限を持つ。
証明終

727 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 13:59:22
命題
C を前アーベル圏(>>512)とし、I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
このとき C^I (>>723)は前アーベル圏である。

証明
>>725より、C^I は加法圏である。
C は核を持つから>>722より C^I も核を持つ。
C は余核を持つから>>726より C^I も余核を持つ。
よって、C^I は前アーベル圏である。
証明終

728 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 14:53:22
命題
C をアーベル圏(>>533)とし、I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
このとき C^I (>>723)はアーベル圏である。

証明
>>727より、C^I は前アーベル圏である。

α:F → G を C^I における単射とする。
各 i ∈ I に対して H(i) = Coker(α(i)) とおく。
即ち F(i) → G(i) → H(i) → 0 は完全である。
各 H(i) は H ∈ C^I を定める。
標準射 β(i):G(i) → H(i) は射 β:G → H を定める。
各 i で β(i)α(i) = 0 であるから βα = 0 である。

γ:T → G を C^I における射で βγ = 0 とする。
F(i) → G(i) → H(i) → 0 は完全であるから
δ:T → F で γ = αδ となるものがある。
α は単射であるからδは一意に決まる。
よって α = Ker(β) である。
即ち C^I における単射は正規単射(>>582)である。

>>546より C の双対圏 C^o はアーベル圏であるから
(C^o)^I における単射は正規単射である。
よって、C^I における全射は正規全射(>>582)である。

以上から C^I はアーベル圏である。
証明終

729 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 15:17:18
命題
C をアーベル圏(>>533)とし、I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とする。
>>728より C^I (>>723)はアーベル圏である。
F → G → H を C^I における図式とする。

0 → F → G → H → 0 が完全(>>651)であるためには
各 i ∈ I で 0 → F(i) → G(i) → H(i) → 0 が完全であることが必要十分である。

証明
必要性:
0 → F → G → H → 0 が完全であるとする。
各 i ∈ I に対して H’(i) = Coker(F(i) → G(i)) とする。
>>726より H’= Coker(F → G) である。
よって H’と H は G の商対象(過去スレ018の653)として同型である。
よって、F(i) → G(i) → H(i) → 0 は完全である。
各 i ∈ I に対して K(i) = Ker(F(i) → G(i)) とする。
>>722より K = Ker(F → G) である。
よって、K = 0 である。
よって、0 → F(i) → G(i) → H(i) → 0 は完全である。

十分性:
各 i ∈ I で 0 → F(i) → G(i) → H(i) → 0 が完全であるとする。
H(i) = Coker(F(i) → G(i)) である。
よって、>>726より H = Coker(F → G) である。
0 = Ker(F(i) → G(i)) であるから >>722より 0 = Ker(F → G) である。
よって、0 → F → G → H → 0 は完全である。
証明終

730 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/07(金) 16:30:41
命題
Ab をアーベル群の圏とする。
C を前加法圏(>>504)とする。
C の任意の対象 X に対して関手 Hom(X, -):C → Ab は極限を保存する(>>303)。

証明
>>306と同様であるが念のために証明しよう。

G:I → C を図式(過去スレ017の833)とする。
(h_i:L → G(i))_I を G の極限とする。
(Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I が
図式 Hom(X, G):I → D の極限であることを証明しよう。

(Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は明らかに錐(過去スレ018の838)である。
(f_i:T → Hom(X, G(i)))_I を錐とする。
各 t ∈ T に対して (f_i(t):X → G(i))_I は錐である。
よって、f(t):X → L で f_i(t) = h_if(t) となるものが一意に存在する。
h_if(t + s) = f_i(t + s) = f_i(t) + f_i(s) = h_if(t) + h_if(s) = h_i(f(t) + f(s))
よって、>>87より、(h_i:L → G(i))_I は単湧き出しであるから
f(t + s) = f(t) + f(s) である。
よって、f:T → Hom(X, L) は Ab における射であり、
各 i に対して Hom(X, h_i)f = f_i となる。
このような f の一意性は各 t に対して f_i(t) = h_if(t) となる f(t) の
一意性からでる。
以上から (Hom(X, h_i):Hom(X, L) → Hom(X, G(i)))_I は lim Hom(X, G) である。
証明終

731 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/08(土) 10:16:55
命題(Freyd)
Ab をアーベル群の圏とする。
C をアーベル圏(>>533)で余冪良(過去スレ018の660)かつ余積を持つ(>>50)とする。
このとき任意の X ∈ C に対して関手 Hom(X, -):C → Ab は右随伴関手(>>442)である。

証明
>>730より、Hom(X, -) は極限を保存する。
Hom(X, -) がFreydの随伴関手定理(>>480)の条件 (S) を満たすことを示せばよい。
G ∈ Ab に対して X^(G) (>>63)の商対象(過去スレ018の653)の同型類の
代表全体をΩとする。
C は余冪良であるからΩは小さい集合である。

e:X^(G) → Z がΓの元のとき写像 g_e:G → Hom(X, Z) を
g_e(s) = e(u_s) で定義する。
ここで、u_s:X → X^(G) は入射(>>41)である。
g_e は必ずしも Ab における射、即ち準同型ではない。
g_e が準同型になるようなΩの元 e:X^(G) → Z の全体をΓとする。

f:G → Hom(X, Y) を Ab における射とする。
h:X^(G) → Y を f から引き起こされる射とする。
各 s ∈ G に対して h(u_s) = f(s) である。
ここで、u_s:X → X^(G) は入射(>>41)である。

m:Y’→ Y を Im(h) とする。
>>573より h = me と分解する。
>>592より e は全射である。
よって、e ∈ Γとしてよい。

(続く)

732 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/08(土) 10:17:38
>>731の続き

各 s ∈ G に対して f(s) = h(u_s) = me(u_s) = mg_e(s)
ここで g_e:G → Hom(X, Y’) は g_e(s) = e(u_s) で定義される写像である。
s, t ∈ G のとき f(s + t) = f(s) + f(t) であるから
mg_e(s + t) = mg_e(s) + mg_e(t) = m(g_e(s) + g_e(t))
m は単射であるから g_e(s + t) = g_e(s) + g_e(t)
よって、e ∈ Γ である。

f(s) = mg_e(s) より、f = Hom(X, m)g_e である。
よって、(g_e), e ∈ Γは>>480の条件 (S) を満たす。
証明終

733 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/08(土) 11:04:24
定義
>>731の仮定の下で Hom(X, -) の左随伴関手を -※X と書く。
よって、自然同型 ψ_(G, Y):Hom(G※X, Y) → Hom(G, Hom(X, Y)) が存在する。
G※X を G と X のテンソル積と言う。

734 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 13:51:16
定義
H ⊂ Ob(C) を圏 C の対象のある集合とする。
H が次の条件を満たすとき H を C の分離集合(separating set)と呼ぶ。

f:X → Y、g:X → Y を C-射で f ≠ g とすると、
H の元 S と射 h:S → X で fh ≠ gh となるものが存在する。

735 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 13:58:35
分離集合)(>>734)は分離対象(過去スレ018の212)の拡張概念である。
分離対象および分離集合は文献によっては生成対象(generating object)、
生成集合(generating set)とも呼ばれる。

736 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 14:00:15
定義
H ⊂ Ob(C) を圏 C の対象のある集合とする。
H が次の条件を満たすとき H を C の余分離集合(separating set)と呼ぶ。

f:X → Y、g:X → Y を C-射で f ≠ g とすると、
H の元 S と射 h:Y → S で hf ≠ hg となるものが存在する。

737 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 14:01:14
>>736の修正

定義
H ⊂ Ob(C) を圏 C の対象のある集合とする。
H が次の条件を満たすとき H を C の余分離集合(coseparating set)と呼ぶ。

f:X → Y、g:X → Y を C-射で f ≠ g とすると、
H の元 S と射 h:Y → S で hf ≠ hg となるものが存在する。

738 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 14:11:48
定義
F:C → D を関手とする。
F が小さい極限を保存(>>259)し交わりを保存(>>284)するとき
F は強極限を保存する(F preserves strong limits)という。

739 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 14:21:14
随伴関手定理(>>480)は強力であるが条件 (S) を満たす族 (f_i:X → G(M_i))_I を
見つけなければならない。
もっと使いやすい条件を使うものとして
やはりFreydによる特殊随伴関手定理(special adjoint functor theorem)がある。
これを証明しよう。

740 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 15:19:57
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で強完備(>>180)かつ
小さい余分離集合(>>737)を持つとする。

このとき C は始対象(過去スレ017の288)を持つ。

証明
H を C の小さい余分離集合とする。
C は完備であるから Q = Π{Y:Y ∈ H} が存在する。
Y ∈ H のとき p_Y:Q → Y を射影とする。
C は強完備であるから Q の部分対象全体の交わり(>>110) R が存在する。
R が始対象であることを証明しよう。

X を C の任意の対象とする。
f:R → X、g:R → X で f ≠ g となる射があるとする。
Ker(f, g) は R の部分対象であり R ≠ Ker(f, g) である。
一方、Ker(f, g) は Q の部分対象でもあるからこれは R の定義に矛盾する。
よって、Hom(R, X) ≠ φ を証明すればよい。

Φ を射 X → Y、Y ∈ H の全体とする。
C は局所的に小さい圏であるからΓは小さい集合である。
よって、T = Π{Y:f:X → Y、f ∈ Φ} が存在する。
f ∈ Γのとき p_f:T → Y を射影とする。

m:X → T を任意の f ∈ Φ に対して (p_f)m = f となる射とする。
u:Z → X、v:Z → X を C-射で mu = mv とする。
任意の f ∈ Φ に対して fu = fv である。
H は余分離集合であるから u = v である。
よって m は単射である。
q:Q → T を任意の f:X → Y、f ∈ Φ に対して (p_f)q = p_Y となる射とする。

(続く)

741 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 15:21:00
>>740の続き

次の図式を引き戻し(過去スレ017の866)とする。

 m’
Z → Q
↓s ↓q
X → T
 m

>>102より m’ は単射であるから Z は Q の部分対象である。
R は Q の部分対象全体の交わりであるから射 t:R → Z がある。
st:R → X が求める射である。
証明終

742 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/10(月) 15:24:00
>>740への補足
>よって、T = Π{Y:f:X → Y、f ∈ Φ} が存在する。

Φが空集合の場合は T は C の終対象である。

743 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 17:16:59
命題
F:C → D を関手とする。
I をグラフ(過去スレ017の325)とする。
D は I 型の極限を持ち(>>340)、
F は I 型の極限を生成する(>>349)とする。

このとき、C は I 型の極限を持ち、F は I 型の極限を保存する(>>256)。

証明
>>350より F は I 型の極限を持ち上げる。
よって、>>343より C は I 型の極限を持ち、F は I 型の極限を保存する。
証明終

744 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 17:30:05
補題
F:C → D を関手とする。
C は完備であるとする。
F は小さい極限を保存するとする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から C への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき P は小さい極限を保存する。

証明
>>473>>474より (M↓F) は小さい極限を生成する。
よって、>>743より P は小さい極限を保存する。
証明終

745 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 17:33:57
補題
F:C → D を関手とする。
C は完備であるとする。
F は小さい極限を保存するとする。
任意の M ∈ D に対して (M↓F) (過去スレ017の571) から C への関手 P を
P(M → F(X)) = X により定義する。

このとき P は単射を保存する。

証明
>>744より P は小さい極限を保存する。
よって、>>297より P は単射を保存する。
証明終

746 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 17:59:43
補題
F:C → D を関手とする。
C は小さい余分離集合(>>737) Γ を持つとする。
D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
M を C の任意の対象とする。

このとき (M↓F) (過去スレ017の571) の対象 M → F(X)、X ∈ Γ の全体 Γ’は
(M↓F) の小さい余分離集合である。

証明
D は局所的に小さい圏(過去スレ017の343)であるから Γ’は小さい集合である。

u:M → F(X)、v:M → F(Y) を D の射とし、
f:(X, u)) → (Y, v) と g:(X, u) → (Y, v) を (M↓F) の射で f ≠ g とする。
このとき、Z ∈ Γ と h:Y → Z で hf ≠ hg となるものがある。
w = F(h)v とおく。w:M → F(Z) である。
このとき、h:(Y, v) → (Z, w) と見なせる。
よって、(M↓F) において hf ≠ hg である。
よって、Γ’は (M↓F) の小さい余分離集合である。
証明終

747 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 20:24:20
補題
F:C → D を関手とする。
C は交わりを持ち(>>165)、F は交わりを保存(>>284)するとする。

このとき、(M↓F) は交わりを持つ。

証明
u_i:(f_i:M → F(X_i)) → (f:M → F(X))、i ∈ I を (f:M → F(X)) ∈ (M↓F) の
部分対象の任意の族とする。
>>745より各 u_i:X_i → X は単射である。
C は交わりを持つから (u_i:X_i → X)_I の交わり u:Y → X が存在する。
各 i ∈ I に対して v_i:Y → X_i を u = u_iv_i となる射とする。
F は交わりを保存するから F(u):F(Y) → F(X) は (F(u_i):F(X_i) → F(X))_I の
交わりである。
各 i ∈ I に対して f = F(u_i)f_i であるから
g:M → F(Y) で f_i = F(v_i)g となるものが存在する。
よって、v_i:(g:M → F(Y)) → (f_i:M → F(X_i)) は (M↓F) の射である。
このとき、u:(g:M → F(Y)) → (f:M → F(X)) が
u_i:(f_i:M → F(X_i))、i ∈ I の交わりであることは見やすい。
証明

748 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 20:32:44
>>738
極限を保存(>>303)する関手は交わりも保存するのでこの定義は取り消す。


749 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 20:49:35
命題(Freydの特殊随伴関手定理)
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で強完備(>>180)かつ
小さい余分離集合(>>737)を持つとする。
D を局所的に小さい圏とし、F:C → D を関手とする。

このとき F が右随伴関手であるためには F が小さい極限と交わりを保存する
ことが必要十分である。

証明
必要性:
>>464より明らかである。

十分性:
>>419より、各 M ∈ D に対して普遍射 η_M:M → F(M^) が存在することを証明すればよい。
η_M:M → F(M^) が普遍射であることは、
これが (M↓F) (過去スレ017の571)の始対象であることと同値である。
よって、(M↓F) が始対象を持つことを証明すればよい。
よって、(M↓F) が>>740の条件を満たすことを証明すればよい。
即ち、次の (@)、(A)、(B) が成り立つことを証明すればよい。

(@) (M↓F) は局所的に小さい圏である。

(A) (M↓F) は強完備(>>180)である。

(B) (M↓F) は小さい余分離集合(>>737)を持つ。

(@) は C が局所的に小さい圏であることから明らかである。
(A) は>>475>>747から出る。
(B) は>>746から出る。
証明終

750 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 21:02:15
命題(Freydの特殊随伴関手定理の系)
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で完備(>>180)かつ冪良で、
小さい余分離集合(>>737)を持つとする。
D を局所的に小さい圏とし、F:C → D を関手とする。

このとき F が右随伴関手であるためには F が小さい極限を保存することが
必要十分である。

証明
>>193より、C は強完備である。
よって、>>749より本命題の主張は明らかである。
証明終

751 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 21:27:45

CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
>>211より CTop は完備である。
CTop は明らかに冪良である。
>>8より単位区間 I = [0, 1] は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。

Top を位相空間全体の圏とし、G:CTop → Top を包含関手とする。
G は積と差核を保存するから>>275より小さい極限を保存する。
よって、>>750より G は右随伴関手である。
F:Top → CTop を G の左随伴関手とする。
X ∈ Top のとき F(X) を X の Stone-Cech のコンパクト化と呼ぶ。

752 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/11(火) 21:48:16
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で完備(>>180)かつ冪良で、
小さい余分離集合(>>737)を持つとする。
Set を集合の圏とする。
G:C → Set は小さい極限を保存するとする。

このとき、G は表現可能(過去スレ017の729)である。

証明
>>750より、G は右随伴関手である。
F を G の左随伴関手とする。
(M, X) ∈ Set×C に対して
ψ_(M, X):Hom(F(M), X) → Hom(M, G(X)) を自然同型とする。

M として一点からなる集合 * をとる。
ψ_(*, X):Hom(F(*), X) → Hom(*, G(X)) は自然同型である。
一方、Hom(*, G(X)) は G(X) と自然同型である。
よって、G は F(*) により表現される。
証明終

753 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/12(水) 07:17:25
例(>>751への補足)
CTop をコンパクト位相空間全体の圏とする。
Top を位相空間全体の圏とし、G:CTop → Top を包含関手とする。
>>8より単位区間 I = [0, 1] は CTop の余分離対象(過去スレ018の219)である。
>>746より、X ∈ Top のとき Hom(X, G(I)) は (X↓G) の小さい余分離集合である。
f ∈ Hom(X, I) のとき、p_f:I^Hom(X, I) → I を射影とする。
ψ:X → I^Hom(X, I) を f = p_fψ となる射とする。
>>473の証明より、ψ は (X↓G) における Hom(X, I) の元の積である。
>>740の証明より、X の Stone-Cech のコンパクト化(>>751)は
ψの部分対象全体の交わりである。
>>747の証明より、これは ψ(X) の I^Hom(X, I) における閉包であることがわかる。

X が完全正則(過去スレ007の94)であれば ψ は写像として単射である。
φ:X → β(X) をStone-Cech のコンパクト化とすると、
h:β(X) → I^Hom(X, I) で ψ = hφ となるものがある。
よって、φ も写像として単射である。

754 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/12(水) 15:24:52
命題
C と D を前加法圏(>>504)とする。
F:C → D と G:D → C を関手とし、(F, G, ψ) を随伴状況(>>362)とする。

このとき、G が加法的(>>635)であれば F も加法的である。
さらに ψ_(X, M):Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) はアーベル群の同型である。

証明
η:1_C → GF を (F, G, ψ) の単位(>>413)とする。
f:X → Y と g:X → Y を C における射とする。
η は自然変換であるから次の図式は可換である。

X → GF(X)
↓   ↓
Y → GF(Y)

よって、
GF(f + g)η_X = η_Y(f + g) = (η_Y)f + (η_Y)g = GF(f)η_X + GF(g)η_X
= (GF(f) + GF(g))η_X = G(F(f) + F(g))η_X

よって、η_X の普遍性より F(f + g) = F(f) + F(g)
よって、F は加法的である。

次に、u:F(X) → M と v:F(X) → M を D における射とする。
ψ(u + v) = G(u + v)η_X = (G(u) + G(v))η_X = G(u)η_X + G(v)η_X = ψ(u) + ψ(v)
よって、ψ はアーベル群の同型である。
証明終

755 :くまーものがたり:2010/05/12(水) 15:31:55
くまーものがたりは
好評のうちに最終回をむかえました

みなさん
ご愛読ありがとうございました

くまーはそんな書き込みがあることを夢想していた
しかし
なぜ終わるのだろうか
俺様はまだ終わらないのに

くまーは自分の頭が終わっていることに気づかなかった



あっけない終わり方だった

756 :132人目の素数さん:2010/05/12(水) 15:33:11
そして

続くまーものがたりが始まる

757 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/12(水) 16:15:45
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
G:R-Mod → Ab を加法的な反変関手で任意の小さい余極限を極限に写すものとする。

このとき、L ∈ R-Mod があり
自然同型 ψ:Hom(-, L) → G で各 ψ_M:Hom(M, L) → G(M) が
アーベル群の同型となるものが存在する。

証明
G:(R-Mod)^o → Ab は共変関手である。
R は R-Mod の分離対象(過去スレ018の212)である。
よって、R は (R-Mod)^o の余分離対象(過去スレ018の219)である。
よって、>>750より G は左随伴関手 F を持つ。
ψ:Hom(-, F(-)) → Hom(G(-), -) を自然同型とする。
>>754より、ψ:Hom(M, F(X)) → Hom(X, G(M)) はアーベル群の同型である。
X として有理整数全体の加法群 Z をとると、
Hom(Z, G(M)) は G(M) とアーベル群として同型である。
よって、L = F(Z) とすればよい。
証明終

758 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/12(水) 17:29:20
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
R-Mod は余分離対象(過去スレ018の219)を持つ。
この証明のための準備をする。

759 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 13:32:01
定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M に属す射を M-射と言う。
C の対象 X は次の条件 (*) を満たすとき M-単射的対象(M-injective object)と呼ぶ。

(*) 任意の M-射 m:Y → Z と任意の射 f:Y → X に対して
  射 g:Z → X で f = gm となるものが存在する。

M が C の単射全体からなるとき M-単射的対象のことを単射的対象(injective object)と呼ぶ。

760 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 14:14:48
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が完全(>>661)であるためには
F が任意の完全列(>>651) 0 → X → Y → Z → 0 を
完全列 0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 に写すことが必要十分である。

証明
必要性:
0 → X → Y → Z → 0 を完全列とする。
F は左完全であるから>>669より、
0 → F(X) → F(Y) → F(Z) は完全である。

F は右完全であるから>>669の双対より、
F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。

十分性:
     f   g
0 → X → Y → Z が完全であるとする。

I = Im(g)、K = Coker(g) とおく。
0 → X → Y → I → 0 と 0 → I → Z → K → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(I) → 0 と
0 → F(I) → F(Z) → F(K) → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
証明終

761 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 15:12:50
命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が完全(>>661)であるためには
F が任意の完全列(>>651) X → Y → Z を
完全列 F(X) → F(Y) → F(Z) に写すことが必要十分である。

証明
必要性:
  f  g
X → Y → Z が完全であるとする。
K = Ker(f)、I = Im(f)、J = Im(g), Q = Coker(g) とおく。
0 → K → X → I → 0
0 → I → Y → J → 0
0 → J → Z → Q → 0
は完全である。
よって、>>760より
0 → F(K) → F(X) → F(I) → 0
0 → F(I) → F(Y) → F(J) → 0
0 → F(J) → F(Z) → F(Q) → 0
は完全である。
よって、F(X) → F(Y) → F(Z) は完全である。

十分性:
0 → X → Y → Z → 0 が完全であるとする。
仮定より、
0 → F(X) → F(Y)
F(X) → F(Y) → F(Z)
F(Y) → F(Z) → 0
は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
よって、>>760より F は完全である。
証明終

762 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 15:22:31
命題
C をアーベル圏とする。
C の対象 I が単射的(>>759)であるためには
関手 Hom(-, I) が完全(>>661)であることが必要十分である。

証明
必要性:
C における列 0 → X → Y → Z → 0 が完全(>>651)であるとする。
>>658より、0 → Hom(Z, I) → Hom(Y, I) → Hom(X, I) は完全である。
一方、I は単射的であるから Hom(Y, I) → Hom(X, I) → 0 は完全である。
よって、
0 → Hom(Z, I) → Hom(Y, I) → Hom(X, I) → 0 は完全である。
よって、>>760より、Hom(-, I) は完全である。

十分性:
C における列 0 → X → Y が完全であるとする。
>>761より、Hom(Y, I) → Hom(X, I) → 0 は完全である。
よって、I は単射的である。
証明終

763 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 15:46:17
定義
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R の元 a は ax = 0 となる x ≠ 0 があるとき左零因子と言う。
同様に、R の元 a は ya = 0 となる y ≠ 0 があるとき右零因子と言う。
R の元は左零因子かつ右零因子であるとき零因子と言う。

764 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 15:47:44
定義
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
M を R-左加群とする。
M の元 x は R の任意の非右零因子(>>763) a に対して x = ay となる y ∈ M が存在するとき
x を M の可除元(divisible element)であるという。
M の全ての元が可除元であるとき M を可除 R-加群(divisible R-module)という。

765 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 16:00:42
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
M を左 R-加群とする。
M が単射的(>>759)であれば M は可除(>>764)である。

証明
a を R の任意の非右零因子(>>763)とする。
任意の x ∈ M に対して x = ay となる y ∈ M が存在することを示せばよい。

左 R-加群としての射 m:R → R を m(1) = a で定義する。
m(b) = bm(1) = ba であり、a は非右零因子であるから m は単射である。

左 R-加群としての射 f:R → M を f(1) = x で定義する。
M は単射的であるから射 g:R → M で f = gm となるものがある。
x = f(1) = g(m(1)) = g(a) = ag(1)
よって y = g(1) が求めるものである。
証明終

766 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 17:06:00
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
Q を左 R-加群とする。
R の任意の左イデアル I に対して、
Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 は完全であるとする。

M を左 R-加群とする。
N をその部分 R-加群で M と異なるものとする。
f:N → Q を左 R-加群の射とする。
x_0 を N に含まれない M の元とする。

このとき g:N + Rx_0 → Q で f の拡張となるものが存在する。

証明
I = {a ∈ R;ax_0 ∈ N} とおく。
写像 h:I → Q を h(a) = f(ax_0) で定義する。
h は明らかに左 R-加群の射である。
仮定から Q の元 y_0 で任意の a ∈ I に対して h(a) = ay_0 となるものが存在する。
g:N + Rx_0 → Q を g(x + ax_0)= f(x) + ay_0 で定義する。
x、x’∈ N、a、a’∈ R とし、
x + ax_0 = x’+ a’x_0 とする。
x - x’= a’x_0 - ax_0
よって、a’- a ∈ I である。
f(x) - f(x’) = f((a’- a)x_0) = h(a’- a) = (a’- a)y_0
よって、f(x) + ay_0 = f(x’) + a’y_0
よって、g は正しく定義される。
g が f の拡張であることは明らかである。
証明終

767 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 17:09:39
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
Q を左 R-加群とする。
Q が単射的(>>759)であるためには
R の任意の左イデアル I に対して、
Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 が完全であることが必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
>>766とZornの補題より明らかである。
証明終

768 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 17:50:44
命題
R を整域とする。
Q を可除 R-加群(>>764)とする。
I を R の可逆イデアル(過去スレ004の466)とすると、
Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 は完全である。

証明
f:I → Q をR-加群の射とする。
K を R の商体とする。
定義(過去スレ004の466)より IJ = R となる K の部分 R-加群 J がある。
よって、1 = Σ(a_i)(q_i) となる a_i ∈ I, q_i ∈ J、i = 1、...、n がある。
各 a_i は 0 でないと仮定してよい。
Q は可除だから f(a_i) = (a_i)(x_i)、i = 1、...、n となる x_i ∈ Q がある。
a ∈ I のとき (q_i)a ∈ R、i = 1、...、n だから、
f(a) = f(Σ(a_i)(q_i)a) = Σ(q_i)af(a_i) = Σ((q_i)a)a_ix_i = aΣ(q_ia_i)x_i
x = Σ(q_ia_i)x_i とおけば f(a) = ax である。
よって、Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 は完全である。
証明終

769 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 18:02:06
定義
C を圏とする。
E を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
E に属す射を E-射と言う。
C の対象 P は次の条件 (*) を満たすとき E-射影的対象(E-projective object)と呼ぶ。

(*) 任意の E-射 e:X → Y と任意の射 f:P → Y に対して
  射 g:P → X で f = eg となるものが存在する。

E が C の全射全体からなるとき E-射影的対象のことを射影的対象(projective object)と呼ぶ。

770 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 18:04:45
命題
C をアーベル圏とする。
C の対象 P が射影的(>>769)であるためには
関手 Hom(P, -) が完全(>>661)であることが必要十分である。

証明
>>762と双対原理(>>548)

771 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 18:58:37
命題
R をDedekind整域(過去スレ002の601)とする。
任意の可除 R-加群(>>764)は単射的(>>759)である。

証明
Q を可除 R-加群とする。
I を R の任意のイデアルとする。
>>767より、Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 が完全であることを証明すればよい。
I = 0 のときは明らかだから I ≠ 0 と仮定する。
過去スレ002の611より、I は可逆イデアルである。
よって、>>768より Hom(R, Q) → Hom(I, Q) → 0 は完全である。
証明終

772 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 19:26:19
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
N を右 R-加群とする。
G をアーベル群としたとき Hom(N, G) は左 R-加群となる。
よって、関手 Hom(N, -):Ab → R-Mod が得られる。

他方、M ∈ R-Mod のとき N※M を R 上のテンソル積とすると、
関手 N※-:R-Mod → Ab が得られる。

このとき、(N※-, Hom(N, -)) は随伴状況(>>362)である。

証明
自然同型 ψ_(M. G):Hom(N※M, G) → Hom(M, Hom(N, G)) が
存在することを証明すればよい。
Hom(N※M, G) はアーベル群としての双線型写像 f:N×M → G で
任意の a ∈ R に対して f(xa, y) = f(x, ay) となるもの全体と見なせる。
このことから ψ_(M. G) の存在は明らかである。
証明終

773 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 19:31:47
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
Mod-R を右 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
M を左 R-加群とする。
G をアーベル群としたとき Hom(M, G) は右 R-加群となる。
よって、関手 Hom(M, -):Ab → Mod-R が得られる。

他方、N ∈ Mod-R のとき N※M を R 上のテンソル積とすると、
関手 -※M:Mod-R → Ab が得られる。

このとき、(-※M, Hom(M, -)) は随伴状況(>>362)である。

証明
自然同型 ψ_(N, G):Hom(N※M, G) → Hom(N, Hom(M, G)) が
存在することを証明すればよい。
Hom(N※M, G) はアーベル群としての双線型写像 f:N×M → G で
任意の a ∈ R に対して f(xa, y) = f(x, ay) となるもの全体と見なせる。
このことから ψ_(N, G) の存在は明らかである。
証明終

774 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/13(木) 20:33:12
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
M を左 R-加群とする。
N を右 R-加群とする。
G をアーベル群としたとき Hom(M, G) は右 R-加群となり、
Hom(N, G) は左 R-加群となる。

このとき、自然同型 ψ_(M, G):Hom(M, Hom(N, G)) → Hom(N, Hom(M, G)) が存在する。

証明
同型 ψ_(M, G):Hom(M, Hom(N, G)) → Hom(N, Hom(M, G)) が存在することは
>>772>>773より明らかである。
これが (M, G) に関して自然であることを証明すればよい。

u ∈ Hom(M, Hom(N, G)) のとき ψ(u) ∈ Hom(N, Hom(M, G)) は
x ∈ N、y ∈ M のとき ψ(u)(x)(y) = u(y)(x) となるものとして定義される。
f:M’→ M を左 R-加群の射とする。
Hom(f, G):Hom(M, G) → Hom(M’, G) を g ∈ Hom(M, G) に gf を対応させる射とする。
u ∈ Hom(M, Hom(N, G)) のとき ψ(uf) = Hom(f, G)ψ(u) を証明しよう。
x ∈ N、y’∈ M のとき
Hom(f, G)ψ(u)(x)(y’) = (ψ(u)(x)f)(y’) = ψ(u)(x)(f(y’) = uf(y’)(x)
= ψ(uf)(x)(y’)
よって、ψ(uf) = Hom(f, G)ψ(u) である。

r:G → G’をアーベル群の射とする。
Hom(N, r):Hom(N, G) → Hom(N, G’) を g ∈ Hom(N, G) に rg を対応させる射とする。
u ∈ Hom(M, Hom(N, G)) のとき ψ(Hom(N, r)u) = Hom(M, r)ψ(u) を証明しよう。
x ∈ N、y ∈ M のとき
ψ(Hom(N, r)u)(x)(y) = Hom(N, r)u(y)(x) = ru(y)(x) = (Hom(M, r)ψ(u))(x)(y)
よって、ψ(Hom(N, r)u) = Hom(M, r)ψ(u) である。
よって、>>360より ψ は (M, G) に関して自然である。
証明終

775 :132人目の素数さん:2010/05/14(金) 00:06:54
今年大学1年の者です。
線形代数の問題ですが、

行列Aを A=  a0+a1   -a1   とする。
             -a2   a0+a2

 ただしa0,a1,a2は正の定数とする。

(a)固有値λkと、対応する固有ベクトルrkを求めよ。但し(k=1,2)

(b)2×2行列UをU=(r1,r2)とするとき、U^-1AU=Eとなることを示せ。
  但し、Eは固有値λjを対角成分とする対角行列
 
 E= λ1  0
      0  λ2

 である。

(c)xが2成分の縦ベクトル、λをある定数とし、Ax=λxを満たすとき、線形変換y=Vx
(Vは2×2正則行列)を行うと、yは、上の問の対角行列Eを用いて、Ey=λyと書けた。
 正則行列Vを求めよ。

(a),(b)は解けたと思うのですが(c)の意味が理解できません・・
どなたか教えてくれると幸いです。

※行列の()が抜けていますが、うまい表記の仕方がわからなかったので省いてあります。

776 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 05:51:02
>>760の修正

命題
C と D をアーベル圏(>>533)とする。
関手 F:C → D が完全(>>661)であるためには
F が任意の完全列(>>651) 0 → X → Y → Z → 0 を
完全列 0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 に写すことが必要十分である。

証明
必要性:
0 → X → Y → Z → 0 を完全列とする。
F は左完全であるから>>669より、
0 → F(X) → F(Y) → F(Z) は完全である。

F は右完全であるから>>669の双対より、
F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) → 0 は完全である。

十分性:
     f   g
0 → X → Y → Z が完全であるとする。

I = Im(g)、K = Coker(g) とおく。
0 → X → Y → I → 0 と 0 → I → Z → K → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(I) → 0 と
0 → F(I) → F(Z) → F(K) → 0 は完全である。
よって、0 → F(X) → F(Y) → F(Z) は完全である。
よって、>>669より F は左完全である。
同様に F は右完全である。
よって、F は完全である。
証明終

777 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 05:53:13
補題
A、B、C をアーベル圏とし、F:A → B、G:B → C をそれぞれ完全(>>661)な関手とする。
このとき、GF:A → C も完全である。

証明
>>760より明らかである。

778 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 05:57:02
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
P を射影的(>>769)な右 R-加群とする。
G を可除アーベル群(>>764)としたとき Hom(P, G) は単射的(>>759)な左 R-加群となる。

証明
M を左 R-加群とする。
>>774より、Hom(M, Hom(P, G)) と Hom(P, Hom(M, G)) は M の関手として自然同型である。
>>771より、G は単射的である。
よって、>>762より M → Hom(M, G) は完全(>>661)である。
よって、>>770>>777より M → Hom(P, Hom(M, G)) は完全である。
よって、>>762より、Hom(P, G) は単射的である。
証明終

779 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 06:32:39
補題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
G を Ab における余分離対象としたとき Hom(R, G) は R-Mod における余分離対象である。

証明
M を左 R-加群とする。
>>774より、Hom(M, Hom(R, G)) と Hom(R, Hom(M, G)) は M の関手として自然同型である。
一方、Hom(R, Hom(M, G)) は Hom(M, G) と M の関手として自然同型である。
よって、Hom(M, Hom(R, G)) と Hom(M, G) は M の関手として自然同型である。

G は余分離対象であるから Hom(M, G) は M の関手として忠実である。
よって、Hom(R, G) は R-Mod における余分離対象である。
証明終

780 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 06:44:45
命題
Ab をアーベル群の圏とする。
Q を有理数全体のなす加法群とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
このとき Q/Z は Ab の単射的(>>759)な対象である。

証明
μ:Q → Q/Z を標準射とする。
n ≠ 0 を任意の有理整数とする。
a と b ≠ 0 を有理整数とする。
μ(a/b) = nμ(a/nb) である。
よって、Q/Z は Z-加群として可除(>>764)である。
よって、>>771より Q/Z は単射的である。
証明終

781 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 07:00:47
命題
Ab をアーベル群の圏とする。
Q を有理数全体のなす加法群とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。
このとき Q/Z は Ab の余分離対象(過去スレ018の219)である。

証明
π:Q → Q/Z を標準射とする。
M ≠ 0 を Ab の対象とする。
x ≠ 0 を M の元とする。
x の位数が無限のとき y ≠ 0 を Q/Z の任意の非零元とする。
x の位数 n が有限のとき y = π(1/n) とする。
f(x) = y と定義することにより Ab における射 f:Zx → Q/Z が定まる。
>>780より Q/Z は単射的であるから f は g:M → Q/Z に拡張される。
このとき、g(x) = y ≠ 0 である。

u:N → M と v:N → M を Ab における射で u ≠ v とする。
u(x) ≠ v(x) となる N の元 x がある。
u(x) - v(x) は M の 0 でない元であるから上で示したことより g:M → Q/Z で
g(u(x) - v(x)) ≠ 0 となるものがある。
gu ≠ gv であるから Q/Z は余分離対象である。
証明終

782 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 07:03:05
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
Q を有理数全体のなす加法群とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。

このとき Hom(R, Q/Z) は R-Mod における余分離対象である。

証明
>>779>>781より明らかである。

783 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 07:43:51
命題(Watts)
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
G:R-Mod → Ab を小さい極限を保存する(>>259)関手とする。

このとき、L ∈ R-Mod があり
自然同型 ψ:Hom(L, -) → G で各 ψ_M:Hom(L, M) → G(M) が
アーベル群の同型となるものが存在する。

証明
>>782より Hom(R, Q/Z) は R-Mod における余分離対象である。
よって、>>750より G は左随伴関手 F を持つ。
ψ:Hom(-, F(-)) → Hom(G(-), -) を自然同型とする。

G は有限積を保存する(>>289)から>>640より加法的である。
よって、>>754より、ψ:Hom(F(X), M) → Hom(X, G(M)) はアーベル群の同型である。
X として有理整数全体の加法群 Z をとると、
Hom(Z, G(M)) は G(M) とアーベル群として同型である。
よって、L = F(Z) とすればよい。
証明終

784 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 07:49:21
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
R-Mod を左 R-加群の圏とする。
Ab をアーベル群の圏とする。
Q を有理数全体のなす加法群とする。
Z を有理整数全体のなす加法群とする。

このとき Hom(R, Q/Z) は R-Mod における単射的(>>759)な余分離対象である。

証明
>>778>>782より明らかである。

785 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 08:03:57
命題
C を圏とする。
(Q_i)_I を C における単射的対象(>>759)の族とする。
積 Q = ΠQ_i が存在すれば Q も単射的対象である。

証明
p_i:Q → Q_i を射影とする。

単射 m:X → Y と射 f:X → Q が与えられたとする。
各 Q_i は単射的だから (p_i)f = (g_i)m となる射 g_i:Y → Q_i がある。
g:Y → Q を各 i に対して (p_i)g = g_i となる射とする。
各 i に対して (p_i)f = (p_i)gm だから f = gm である。
よって、Q は単射的である。
証明終

786 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 08:12:53
定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M に属す射を M-射と言う。
C の任意の対象 X に対して M-単射的対象(>>759) Q と
M-射 m:X → Q があるとき C は十分なM-単射的対象を持つと言う。

M が C の単射全体からなるとき C は十分な単射的対象を持つと言う。

787 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 08:19:05
命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C が単射的(>>759)な余分離対象(過去スレ018の219)を持てば
C は十分な単射的対象を持つ(>>786)。

証明
>>5>>785より明らかである。

788 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 08:21:49
命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 R-加群の圏 R-Mod は十分な単射的対象を持つ(>>786)。

証明
>>784>>787より明らかである。

789 :132人目の素数さん:2010/05/14(金) 10:32:57
Kummerさん、過去ログ保管庫とか作ってたりする?

790 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 11:38:40
>>789
私は作ってないです。
因みに過去スレの代数的整数論 017(これはまだ見れます)の94から115までに
過去スレ保存に関しての議論がされてます。
参考までに。

791 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 11:59:27
命題(>>785の拡張)
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
(Q_i)_I を C におけるM-単射的対象(>>759)の族とする。
積 Q = ΠQ_i が存在すれば Q もM-単射的対象である。

証明
p_i:Q → Q_i を射影とする。

M-射 m:X → Y と射 f:X → Q が与えられたとする。
各 Q_i はM-単射的だから (p_i)f = (g_i)m となる射 g_i:Y → Q_i がある。
g:Y → Q を各 i に対して (p_i)g = g_i となる射とする。
各 i に対して (p_i)f = (p_i)gm だから f = gm である。
よって、Q はM-単射的である。
証明終

792 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:01:25
命題
C を零対象(過去スレ017の791)をもつ圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
(Q_i)_I を C の対象の族とする。
積 Q = ΠQ_i が存在し、Q がM-単射的対象(>>759)であれば、
各 Q_i もM-単射的対象である。

証明
p_i:Q → Q_i を射影とする。

ある k ∈ I を固定する。
M-射 m:X → Y と射 f_k:X → Q_k が与えられたとする。
i ≠ k のとき f_i:X → Q_i を零射とする。
f:X → Q を各 i に対して (p_i)f = f_i となる射とする。
Q はM-単射的であるから f = gm となる射 g:Y → Q がある。
f_k = (p_k)f = (p_k)gm
(p_k)g:Y → Q_k であるから Q_k はM-単射的である。
証明終

793 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:23:32
単射的対象(>>759)と射影的対象(>>769)は最初に加群の圏において
定義されホモロジー代数の構成に使われたものだが最近ではアーベル圏以外にも
使われている。
これについて詳しく調べるために準具象圏(quasi-concrete category)の定義を導入する。

群の圏とか位相空間の圏など多くの圏 C は忘却関手 U:C → Set を持つ。
ここで U は各 X ∈ C に X の台集合を対応させるものである。
このような圏を具象圏(concrete category)という。
一方、例えば位相群の圏 TopGrp は忘却関手として TopGrp → Grp と
TopGrp → Set の二つを持つ。
このような状況を一般化して圏論に反映することにより
以下に見るようにより精密な議論が出来るようになる。

794 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:31:53
定義
A を圏とする。
圏 C と忠実(過去スレ017の403)な関手 U:C → A の対 (C, U) を
A 上の準具象圏(quasi-concrete category)と言う。

Set を集合の圏とする。
Set 上の準具象圏を具象圏(concrete category)と言う。

これらに対して通常の圏は抽象圏(abstract category)とも言う。

795 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:46:27
記法
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
誤解の恐れがない限り X ∈ C に対して U(X) を |X| と書く。
同様に、f:X → Y を C-射とするとき U(f):|X| → |Y| を |f| と書く。

A-射 u:|X| → |Y| が C-射 f により u = |f| と書けるとき
u と f を同一視して C-射 f:|X| → |Y| と書くことがある。

796 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:50:59
>>786の修正

定義
C を圏とする。
M を C の射からなる類(過去スレ017の323)とする。
M に属す射を M-射と言う。
C の任意の対象 X に対して M-単射的対象(>>759) Q と
M-射 m:X → Q があるとき C は十分多くのM-単射的対象を持つと言う。

M が C の単射全体からなるとき C は十分多くの単射的対象を持つと言う。

797 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:52:40
>>787の修正

命題
C を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)で積を持つ(過去スレ018の910)とする。
C が単射的(>>759)な余分離対象(過去スレ018の219)を持てば
C は十分多くの単射的対象を持つ(>>796)。

証明
>>5>>785より明らかである。

798 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 12:54:35
>>788の修正

命題
R を必ずしも可換とは限らない環とする。
左 R-加群の圏 R-Mod は十分多くの単射的対象を持つ(>>796)。

証明
>>784>>797より明らかである。

799 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:07:31
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。

S ∈ A に対して U(X) = S となる X ∈ C の全体を S のファイバー(fiber of S)と呼ぶ。
X と Y が S のファイバーに属すとする。
1_S:|X| → |Y| が C-射であるとき X ≦ Y と書く。
関係 ≦ は前順序となる。

C の対象 X, Y は |X| = |Y| で X ≦ Y かつ Y ≦ X となるとき
同値であると言う。

各 S ∈ A に対して S のファイバーにおける関係 ≦ が順序関係となるとき
(C, U) は準忘却的(amnestic)であると言う。

各 S ∈ A に対して S のファイバーが小さい集合であるとき
(C, U) は小さいファイバーを持つ(fiber-small)と言う。

800 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:28:34
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
(C, U) が準忘却的(>>799)であるためには U が準忘却的(過去スレ018の35)であることが
必要十分である。

証明
必要性:
(C, U) が準忘却的であるとする。
X と Y が C の対象で |X| = |Y| = S とする。
同型射 f:X → Y があり |f| = 1_S とする。
g を f の逆射とする。
gf = 1_X であるから |g||f| = 1_S
よって、|g| = 1_S である。
よって X ≦ Y かつ Y ≦ X である。
(C, U) は準忘却的であるから X = Y である。
U は忠実であるから f = 1_X である。
よって U は準忘却的である。

十分性:
U が準忘却的であるとする。
X と Y が C の対象で X ≦ Y かつ Y ≦ X であるとする。
|X| = |Y| = S とする。
C-射 f:X → Y があり |f| = 1_S となり、
C-射 g:Y → X があり |g| = 1_S となる。
|gf| = 1_S であり U は忠実であるから gf = 1_X である。
同様に fg = 1_Y である。
よって f は同型射である。
U が準忘却的であるから f = 1_X である。
よって、X = Y である。
よって、(C, U) は準忘却的である。
証明終

801 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:36:14
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
各 S ∈ A に対して S のファイバーが(小さいとは限らない)完備束(過去スレ018の914)
であるとき (C, U) は完備ファイバーを持つ(fiber-complete)と言う。

802 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:41:38
定義
S を集合とする。
Δ = {(x, x) ∈ S×S;x ∈ S} を S×S の対角集合とする。
Δ は S の順序関係を定める。
この順序関係を S の離散順序と言う。

803 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:44:59
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
各 S ∈ A に対して S のファイバーが(小さいとは限らない)離散順序集合(>>802)
となるとき (C, U) は離散ファイバーを持つ(fiber-discrete)と言う。

804 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 14:56:05
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
X ∈ C は任意の A-射 |X| → |Y| が C-射であるとき離散的(discrete)であると言う。

805 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 15:01:14

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とする。
ここで U は各 X ∈ Top に X の台集合を対応させるものである。
X ∈ Top が U に関して離散的(>>804)であるとは
X の位相が離散位相であることと同値である。

806 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/14(金) 15:03:26
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
X ∈ C は任意の A-射 |Y| → |X| が C-射であるとき密着的(indiscrete)であると言う。

807 :132人目の素数さん:2010/05/14(金) 22:52:16
ミスぐいぐい氏

808 :132人目の素数さん:2010/05/15(土) 01:37:51
>>790
すでに過去ログ倉庫行きしてるわ。。。

809 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 01:57:00
>>808
代数的整数論 017 でgoogleれ

810 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 04:24:11

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とする。
ここで U は各 X ∈ Top に X の台集合を対応させるものである。
X ∈ Top が U に関して密着的(>>806)であるとは
X の位相が密着位相(即ち X と φ のみが X の開集合)であることと同値である。

811 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 04:31:43
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
U を (C, U) の忘却関手と呼ぶ。

812 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 04:39:18
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
C-射 f:X → Y は以下の条件を満たすとき始射(initial morphism)と呼ばれる。

任意の Z ∈ C に対して A-射 g:|Z| → |X| は fg:|Z| → |Y| が C-射のとき
常に C-射となる。

813 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 04:51:43

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とし、(Top, U) を準具象圏(>>794)とする。
Top-射 f:X → Y が始射(>>812)であるためには
X の位相が f に関する始位相(過去スレ018の769)であることが必要十分である
(過去スレ018の780参照)。

814 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:00:19
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が始射(>>812)のとき fg:X → Z も始射である。

証明
A-射 h:|W| → |X| があり、gfh:|W| → |Z| が C-射であるとする。
g は始射だから fh:|W| → |Y| は C-射である。
f は始射だから h は C-射である。
よって、fg は始射である。
証明終

815 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:05:22
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
gf:X → Z が始射であれば f は始射である。

証明
A-射 h:|W| → |X| があり、fh:|W| → |Y| が C-射であるとする。
gfh:|W| → |Z| は C-射であるから h は C-射である。
よって、f は始射である。
証明終

816 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:09:58
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
C-射 f:X → Y はそれが始射(>>812)であり A-射 |f|:|X| → |Y| が単射であるとき
埋め込み(embedding)と呼ばれる。

817 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:17:02
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y が埋め込み(>>816)のとき (f, Y) を X の拡大(extention)と呼び、
(X, f) を Y の始部分対象(initial subobject)と言う。

818 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:17:53

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とし、(Top, U) を準具象圏(>>794)とする。
Top-射 f:X → Y が埋め込み(>>816)であるためには
それが X と Y の部分空間 f(X) の位相同型となることが必要十分である。

819 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 05:28:22
命題
埋め込み(>>816)は単射である。

証明
忠実な関手は単射を反映する(過去スレ018の378)ことから明らかである。

820 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 06:15:24
命題
断面(過去スレ018の430)は埋め込み(>>816)である。

証明
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
C-射 f: X → Y を断面とする。
C-射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがある。

h:|Z| → |X| を A-射で fh:|Z| → |Y| が C-射とする。
gfh = h は C-射である。
よって、f は始射(>>812)である。

gf = 1_X より |g||f| = 1_|X| である。
よって、|f| は断面である。
過去スレ017の347より断面は単射であるから |f| は単射である。
よって、f は埋め込みである。
証明終

821 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 06:30:34
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
U は正則単射(過去スレ018の456)を保存するとする。
このとき任意の正則単射は埋め込み(>>816)である。

証明
C-射 m: X → Y を正則単射とする。
m = Ker(r, s) とする。

h:|T| → |X| を A-射で mh:|T| → |Y| が C-射とする。
rmh = smh であるから C-射 g:T → X で mg = mh となるものがある。
U は正則単射を保存するから |m| は単射である。
よって、g = h である。
よって、h は C-射である。
よって、m は始射(>>812)である。
|m| は単射であるから m は埋め込みである。
証明終

822 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 12:45:47
>>814の修正

命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が始射(>>812)であれば gf:X → Z も始射である。

証明
A-射 h:|W| → |X| があり、gfh:|W| → |Z| が C-射であるとする。
g は始射だから fh:|W| → |Y| は C-射である。
f は始射だから h は C-射である。
よって、gf は始射である。
証明終

823 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 13:28:20
命題
C を圏とする。
C において f:X → Y と g:Y → Z が単射のとき gf:X → Z も単射である。

証明
r:T → X と s:T → X を C-射で gfr = gfs とする。
g は単射だから fr = fs である。
f は単射だから r = s である。
よって、gf は単射である。
証明終

824 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 13:30:31
命題
C を圏とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
gf:X → Z が単射であれば f は単射である。

証明
r:T → X と s:T → X を C-射で fr = fs とする。
gfr = gfs である。
gf は単射だから r = s である。
よって、f は単射である。
証明終

825 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 13:34:57
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が埋め込み(>>816)のとき gf:X → Z も埋め込みである。

証明
>>822>>823より明らかである。

826 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 13:37:08
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
gf:X → Z が埋め込み(>>816)であれば f も埋め込みである。

証明
>>815>>824より明らかである。

827 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 13:46:24
>>793
>一方、例えば位相群の圏 TopGrp は忘却関手として TopGrp → Grp と
>TopGrp → Set の二つを持つ。

一方、例えば位相群の圏 TopGrp は忘却関手として TopGrp → Grp と
TopGrp → Top と TopGrp → Set の三つを持つ。
ここで、Grp、Top、Set はそれぞれ群、位相空間、集合の圏である。

828 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:08:47
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
C-射 f:X → Y は以下の条件を満たすとき終射(final morphism)と呼ばれる。

任意の Z ∈ C に対して A-射 g:|Y| → |Z| は gf:|X| → |Z| が C-射のとき
常に C-射となる。

829 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:15:50

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とし、(Top, U) を準具象圏(>>794)とする。
Top-射 f:X → Y が終射(>>828)であるためには
Y の位相が f に関する終位相(>>70)であることが必要十分である(>>71)。

830 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:44:44
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
(C^o, U^o) は A^o 上の準具象圏である。
(C, U) における命題 P を考える。
P に現れる C および A の対象はそのままで P に現れる各射の向きを
逆にした双対命題 P^o を考える。
P^o は準具象圏 (C^o, U^o) における命題と見なせる。
P が (C, U) で正しいためには P^o が (C^o, U^o) で正しいことが必要十分である。
よって、準具象圏における次の双対原理が得られる。

[準具象圏における双対原理]:
準具象圏に関するある命題 P が任意の準具象圏で成り立てば P^o も任意の準具象圏で成り立つ。

831 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:50:47
Set を集合の圏とする。
Set^o ≠ Set であるから具象圏(>>794) (C, U) の双対 (C^o, U^o) は準具象圏であるが
具象圏ではない。
よって、具象圏のみを考えていては双対原理(>>830)は成り立たない。
ここに、準具象圏を考えることの意義の一端がある。

832 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:54:11
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が終射(>>828)のとき gf:X → Z も終射である。

証明
>>822と双対原理(>>830)

833 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 14:57:39
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
gf:X → Z が終射(>>828)であれば g は終射である。

証明
>>815と双対原理(>>830)

834 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 15:02:33
定義(>>816の双対)
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
C-射 f:X → Y はそれが終射(>>828)であり A-射 |f|:|X| → |Y| が全射であるとき
商射(quotient morphism)と呼ばれる。

835 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 15:06:18
定義(>>817の双対)
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y が商射(>>834)のとき (f, Y) を X の終商対象(final quotient object)と言う。

836 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 15:57:12

Top を位相空間全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とし、(Top, U) を準具象圏(>>794)とする。
Top-射 f:X → Y が商射(>>834)であるためには
f が identification (過去スレ013の467)であることが必要十分である。

837 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 16:00:31
命題
商射(>>834)は全射である。

証明
>>819と双対原理(>>830)

838 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 16:03:58
命題
準具象圏における引き込み(過去スレ018の328)は商射(>>834)である。

証明
>>820と双対原理(>>830)

839 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 16:06:53
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
U は正則全射(過去スレ018の558)を保存するとする。
このとき (C, U) における任意の正則全射は商射(>>834)である。

証明
>>821と双対原理(>>830)

840 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 16:09:55
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が (C, U) における商射(>>834)のとき gf:X → Z も商射である。

証明
>>825と双対原理(>>830)

841 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 22:25:30
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z が (C, U) における商射(>>834)のとき gf:X → Z も商射である。

証明
>>825と双対原理(>>830)

842 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 22:47:20
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C-射とする。
gf:X → Z が商射(>>834)であれば g も商射である。

証明
>>826と双対原理(>>830)

843 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 22:56:22
補題
任意の関手は同型射を保存する。
即ち、F:C → D を関手とし、f:X → Y が C における同型射のとき
F(f):F(X) → F(Y) は同型射である。

証明
自明である。

844 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 23:10:45
命題
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y を C-射とする。

以下の条件は同値である。

(1) f は C-同型射である。

(2) f は始射(>>812)であり |f|:|X| → |Y| は A-同型射である。

(3) f は終射(>>828)であり |f|:|X| → |Y| は A-同型射である。

証明
(1) ⇒ (2)
f は断面(過去スレ018の430)であるから>>820より始射である。
>>843より |f| は A-同型射である。

(2) ⇒ (1)
g:|Y| → |X| を |f| の A-逆射とする。
f は始射であり fg = 1_Y であるから g は C-射である。
gf = 1_X であるから g は f の C-逆射である。
よって、f は C-同型射である。

(1) ⇒ (3) は (1) ⇒ (2) の双対である。
(3) ⇒ (1) は (2) ⇒ (1) の双対である。
証明終

845 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 23:21:17
G を群とし S を集合とする。
f:S → G を写像で f(S) が G を生成するとする。
r:G → H と s:G → H を群の準同型で rf = sf とする。
このとき明らかに r = s である。

この状況を準具象圏(>>794)に拡張しよう。

846 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 23:27:02
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
C-対象 X と A-射 f:S → |X| の対 (f, X) のことを
S を定義域とする構造射(structured morphism)と言う。

847 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/15(土) 23:33:18
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を構造射(>>846)とする。
C-射 r:X → Y、s:X → Y に対して rf = rs であれば常に r = s となるとき
f を生成的(generating)と呼ぶ。

848 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 00:10:56
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を生成的構造射(>>847)とする。

m:X’→ X を C-単射で f = mg と分解するとする。
ここで g:S → X’は A-射である。
このとき m が常に C-同型射となるとき
f は極値生成的(extremally generating)であると言う。

849 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 00:20:55

Rng を必ずしも可換とは限らない環全体の圏とする。
Set を集合の圏とする。
U:Top → Set を忘却関手とし、(Rng, U) を具象圏(>>794)とする。

Z を有理整数環とする。
Q を有理数体とする。
f:Z → Q を包含写像とする。

過去スレ018の423より f は Rng において全射である。
よって f は生成的(>>847)である。
f は Rng において単射であるが同型射ではない。
よって、f は極値生成的(>>848)ではない。

850 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 00:23:37
定義
(C, U) を A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を生成的構造射(>>847)とする。

m:X’→ X を埋め込み(>>816)で f = mg と分解するとする。
ここで g:S → X’は A-射である。
このとき m が常に C-同型射となるとき
f は具象生成的(concretely generating)であると言う。

851 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 00:32:11
定義
(C, U) を具象圏(>>794)とする。
X を C-対象とし、S を |X| の部分集合とする。
f:S → |X| を包含写像とする。
f が生成的(>>847)、極値生成的(>>848)、具象生成的(>>850)に応じて
それぞれ X は S で生成、極値生成、具象生成されると言う。

852 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 00:59:10
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を構造射(>>846)とする。

このとき以下が成り立つ。

(1) f が A-全射であれば、f は生成的(>>847)である。

(2) f が極値生成的(>>848)であれば、f は具象生成的(>>850)である。

証明
自明である。

853 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 01:16:55
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を構造射(>>846)とする。
f が極値的全射(過去スレ018の580)であり、U が単射を保存すれば
f は具象生成的(>>850)である。

証明
f は全射であるから>>852より生成的である。
m:X’→ X を埋め込み(>>816)で f = mg と分解するとする。
ここで g:S → X’は A-射である。
U は単射を保存するから m は A-射としても単射である。
f は極値的全射であるから m は A-同型射である。
m は始射(>>812)であるから>>844よりC-同型射である。
よって、f は具象生成的(>>850)である。
証明終

854 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 01:32:08
このあたりは過去スレ018の290に書いたように次の本を参考にしている。
Abstract and concrete categories, the joy of cats, by Adamek, Herrlich, Strecker
(online version 2005)
>>853はこの本のp.138の命題8.16の(4)に対応している。
しかし、この本の命題8.16の(4)では
f が極値的全射(過去スレ018の580)であり、U が単射を保存すれば
f は極値生成的(>>848)であると主張している。
これは、具象生成的(>>850)の間違いと思われる。
何故なら m が埋め込み(>>816)でないと m は A-同型射であっても
必ずしも C-同型射にならないからである。

855 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 01:47:58
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y を C-射とする。
f は構造射(>>846)と見なせる。

このとき f が C-全射であるためには f が生成的(>>847)であることが必要十分である。

証明
自明である。

856 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 02:22:54
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y を C-射とする。
f は構造射(>>846)と見なせる。
f が極値生成的(>>848)であれば
f はC-射として極値的全射(過去スレ018の580)である。

証明
f は生成的(>>847)であるから>>855よりC-全射である。
m:Y’→ Y をC-単射で f = mg と分解するとする。
ここで g:X → Y’は C-射である。
f は極値生成的であるから m はC-同型射である。
よって、f はC-射として極値的全射である。
証明終

857 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 12:06:16
定義
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
S を定義域とする構造射(structured morphism)とは
(S↓U) (過去スレ017の571) の対象に他ならない。

(f, X) と (g, Y) をS を定義域とする構造射とするとき
これ等が (S↓U) の対象として同型なとき構造射として同型であると言う。
即ち、C-同型 k:X → Y で g = |k|f となるものがあるとき
(f, X) と (g, Y) は同型であると言う。

858 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 12:14:46
定義
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を任意の A-対象とする。
S を定義域とする具象生成的(>>850)構造射(>>846)の同型類(>>857)全体が
小さい集合(過去スレ017の321)のとき (C, U) を具象的余冪良(concretely co-wellpowered)
と言う。

859 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 12:30:15
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
f:X → Y を C-射とする。
f は構造射(>>846)と見なせる。
f が極値生成的(>>848)であれば f は構造射(>>846)として具象生成的(>>850)である。

証明
f は生成的であるからC-全射である。
m:Y’→ Y を埋め込み(>>816)で f = mg と分解するとする。
ここで g:X → Y’は A-射である。
m は始射であるから g は C-射である。
f は極値生成的であるから m はC-同型射である。
よって、f は具象生成的(>>850)である。
証明終

860 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 12:33:37
命題
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
(C, U) が具象的余冪良(>>858)であれば C は極値的余冪良(過去スレ018の660)である。

証明
X を任意のC-対象とする。
C-射 f:X → Y が極値的全射(過去スレ018の580)であるとする。
>>359より、f は具象生成的(>>850)である。
これから直ちに本命題が従う。
証明終

861 :Kummer ◆g2BU0D6YN2 :2010/05/16(日) 12:40:19
定義
(C, U) を圏 A 上の準具象圏(>>794)とする。
S を A-対象とする。
f:S → |X| を構造射(>>846)とする。
f が S から U への普遍射(過去スレ017の572)であるとき
f を S 上の普遍射(universal morphism over S)と呼ぶ。

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