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物理と微分幾何

1 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 16:55:15 ID:???
以前、物理板のスレで微分形式は単なる表記法に過ぎないと聞きましたが
相対論でリッチテンソルを求める計算なんかは微分形式のほうが
圧倒的に見通しが良く、計算量が少ない!!
単なる便利な表記法を越えた可能性を持っていると思います。
まだまだ微分形式で書かれた物理学の教科書は少ないですが、いろいろ語りましょう。

2 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 16:57:40 ID:???
スレタイを「物理と微分形式」にしようと思ってたのに間違ってしまった。

3 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 17:34:18 ID:???
膣理とメコスジ幾何

4 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 19:02:44 ID:/4wvMmOi
立地テンソルなんか
微分形式つかおうがつかわながおうが計算は同じだろ
計算はMathematica使え


5 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 19:30:42 ID:???
ゲージ理論好きな奴いる?

6 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 19:59:03 ID:???
>>4
全然違うよ。
普通は40個のクリストッフェル記号を計算して、そこから20個のリーマン曲率を求める必要があるけど、
微分形式の方法では、4つの一次形式を外微分して、6個の曲率形式を求めるだけ。
しかも、どの成分がゼロになるのかとか考えなくて済む。

7 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 20:01:38 ID:???
しかも、添え字の上下が計量テンソルではなく、ミンコフスキー計量で出来るんです。
これはありがたい。

8 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/26(水) 21:41:20 ID:Bj/kf72p
10分あればシュヴァルツシルトの解は計算できるね

9 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 01:25:39 ID:sC0aKJ/l
やっぱりマイナーすぎるの?

10 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 03:00:23 ID:Wquq8IHT
マイナーなんですか?確かに大学の授業ではやらないらしいですが。
僕は学部4年生なのですが、物理をやるならこの先のどこかで自分で勉強する必要があると教員に聞きました。実際どうなのでしょう?

11 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 18:16:02 ID:pt1LB9PL
微分形式使ってもやってることは同じだろ
計算は

12 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 19:39:33 ID:???
いやだから、計算量が圧倒的に違うんだってば。

>>10
僕もまだ習いたてなので、偉そうなことは言えませんが
微分形式が出てくるのはかなり限られた分野だと思います。
しかも、知らなくても困ることはない。
微分幾何は、量子力学とかでも出てくるのかな、よく分からないけど。

13 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 21:38:14 ID:???
微分形式は重要と聞いて早いうちから手を着けているけど、いまだによく分からない。。。
微分形式で書くと座標に拠らなくなるというのが不思議なのだけど、
その座標不変性というのは何に由来しているの?
テンソル形式の座標不変性とどう違うのだろう

14 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 21:55:25 ID:???
微分形式もテンソルでしょ?
だから、本質的にはテンソル形式と何も変わらないと思う。
ただ、反対称っていう性質を入れると、いろいろと便利なことがあるのでは?

15 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 22:55:45 ID:???
「テンソル」と言った場合、たいていの人は「テンソルの成分表示」を
頭に置いていると思うんだが、微分形式は「テンソルと基底の内積を
とってスカラーにしたもの」になっている。つまりテンソルの添字を
常につぶしているので座標によらない。


16 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 23:27:45 ID:???
群論なんかは割りと知ってる人多いみたいなんだけど(僕は知りませんが)
微分形式は相対論かゲージ理論くらいにしか出てこないからやってる人少ないのかなぁ。
計量テンソルを双対基底θで表し、その外微分から接続形式を求めるところなんか
かなり便利だと思うんですが。

例えば、シュヴァルツシルト計量
ds^2=-e^{2φ(r,t)}dt^2 + e^{2λ(r,t)}dr^2 + r^2dΩ^2
に対する双対基底は
θ^{0}=e^{φ}dt,θ^{1}=e^{λ}dr,θ^{2}=rdθ,θ^{3}=rsinθdφ
dθ^{0}=φ'e^{φ}dr∧dt
     =-φ'e^{-λ}θ^{0}∧θ^{1}
となり、接続形式ω^{0}_{1}=φ'e^{-λ}が得られる。
これがクリストッフェル記号を求めることに対応してるんだけど
明らかにこっちのが計算ラクだと思う。外微分するだけだし。
もう一回、外微分すると、今度は曲率テンソルに対応するものが得られる。
もちろん、座標変換すればテンソルの値は一致します。

自分はこれをたまたま知ってかなり感動したんですが、あまり載ってる本がない・・・。

17 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 23:28:47 ID:???
ゲージ理論ではこっちのが本質的だと聞きましたが。

18 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 23:30:41 ID:???
訂正
接続形式ω^{0}_{1}=φ'e^{-λ}θ^{0}でした。

19 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/27(木) 23:38:51 ID:t+4yg6gD
>>15
そういえば、微分形式でないテンソル表記のときは
ほとんど基底を書きませんね。なんでだろう。
書いたほうが共変微分とか分かりやすいのに。

20 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 00:00:19 ID:IpBD3bNy
>>17そんな事は無い。>>14が正解で抽象一般論には微分形式用いたものが
圧倒的に有利、>>12=16?の言う通りである一方電磁気のように具体的な状況が
現実の応用に必要な分野では殆ど役に立たない。なんかミスリーディング
な書き方になったけど、要するにゲージ理論でも具体応用に関しては無力、
一般論に関しては有力ってことで。

21 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 00:30:56 ID:???
どうして具体的な状況には使えないの?

22 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 00:39:09 ID:???
座標系に依らない表記、ってのが微分形式の強力な部分だけど
具体的状況のときには結局、何かの座標系で書き下さないといけないからじゃないかな?
でも接平面の正規直交基底、直交双対基底を用いて具体的に書き下すのは役に立つと思う。
(あまり微分形式関係ないかもしれないけど)

23 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 01:39:30 ID:gHwmkfrK
正準変換は微分1形式を不変にする変換だって聞いた
そこからは何も物理でてこないだろうけど

24 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 01:43:33 ID:???
個人的には微分形式はすっきりして美しくて好きだな
それと他の人の書いたものを理解するために微分形式は必須と言っていいと思う

25 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 02:51:27 ID:???
「すっきりして美しく」書けるのは物理の本質に適った表記だからという事はないの?
マクスウェル方程式をベクトル解析使って書いた事みたいに

26 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 03:47:13 ID:???
一般相対論のあのごちゃごちゃした表式を微分形式で簡単に書けないものかとちょうど気になってた
一般の多様体の話は別に要らないから(Riemann接続に話を限ってOK)、
一般相対論と関係しそうなところだけ摘み食いできる本はないだろうか

>>25
電磁気は微分形式で書くともっとすっきりするぞ
それが本質を捉えているかは知らないけど

27 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/08/28(金) 07:27:29 ID:???
一般相対論と微分形式と言えば、まずは電話帳(GRAVITATION)・・・なんだが分厚すぎるな。
次に浮かぶのはWaldだが、こっちもけっこう分厚い。


28 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/18(金) 22:08:02 ID:???
微分形式をあまり有用だと思っていない人でも多様体は重要だというのを聞きますが、
多様体って素粒子・宇宙以外の人にはあんまり必要ないですか?

29 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/18(金) 23:48:17 ID:fbGOGCPC
ないよ。

30 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 15:12:17 ID:???
ていうか、
むしろ多様体の詳しい理論はよく分からないけど、
微分形式の計算は出来るって人のほうが多いんじゃないの。
俺はそんな感じです。

多様体をちゃんとやろうとすると、トポロジーとかそういう数学が必要になるけど
それ知ってるからといってあまり物理に関係するのかな?と思いますが。

31 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 15:53:50 ID:mtVKfjmw
君には関係ないよ。

32 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 16:19:19 ID:???
それはない

33 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 16:24:27 ID:dGHferJl
異次元をつなぐ媒介変数が存在するはず

34 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 18:39:51 ID:???
例えば、相対論で重要な概念は
計量テンソル、アフィン接続、曲率などがあるけど
それらはリーマン多様体の性質であって、
多様体の本には一切出てこない。

35 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 20:00:53 ID:???
タヨウタイなんて局所的にユークリッド空間と思えばよし
それらが張り合わさってるハリボテが正体。
どうってことなし。
リーマン幾何をやったほうが物理では応用も利く
おおざっぱに、タヨウタイに計量入れたらリーマンタヨウタイ=リーマン幾何。

36 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/19(土) 20:12:53 ID:???
>>30>>35が正論を言った!!スレチになるが、でも大局的な
構造も問題になる(U(1)=S^1、RP^3やπ_3(S^2)とか言うレベルを超えた)
物理にもの凄く効いてくる話があるといいなあ、という気持ちもある。

37 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/09/22(火) 03:56:56 ID:???
多様体は普通の人にとっては一度勉強するとすっきりするかなっていう程度のもの

38 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/10/02(金) 18:02:19 ID:WiV/wjgN
>>27
Wald、今円高で安くなってるよ。

39 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/05(木) 18:01:16 ID:dwCxJ8+3
このスレ住人馬鹿すぐる
おまいらのやってる基礎の基礎レベルでは算数しか数学は必要ないというだけ

40 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/05(木) 20:25:08 ID:???
↑一番低レベル

41 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/07(土) 00:44:34 ID:W1O7c1F+
山本、中村の『解析力学T、U』は、相空間を扱うときは微分形式で通してるよね。

ところで、ちょっとスレチかもだけど、解析力学で群論がふつうに使われるようになったのはいつごろ?
ゲルマンは1959年にリー群ってものがあることを聞いてびっくりしたらしいし
ファインマンが「群論?なにそれ?」みたいな感じだったって、『ご冗談でしょう』に書いてあったような気がする。
だから結構最近かなと思ってるんだけど。

42 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/07(土) 01:02:16 ID:???
膣理とメコスジ幾何

43 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/07(土) 01:07:35 ID:TCZHDlE0
物理専攻じゃないから確信は持てないが、
物理に群論が使われはじめたのは戦前のはず。
ヘルマン・ワイルのwiki読んでみ。
「空間・時間・物質」は1918年だし(ファインマンの生まれ年)、1930年代には
群論は主流だったらしい。

実際、ゲージ理論なんて群論知らんとどうしようもないだろう。
ファインマンもゲルマンも学生時代にマスターしてるよ。
彼らがよくわからんとかいったのはカレント代数とか、ヤン・ミルズ場の理論とか
の数学を忘れてたって話。


44 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/07(土) 01:09:47 ID:TCZHDlE0
追加

一度勉強して忘れたけど、すぐ覚え直して
γ崩壊の理論をつくったって話。

ファインマン追悼本のゲルマンのところに載ってる。

45 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/07(土) 20:06:37 ID:7MXLGGnw
>>43-44
さんくす。
ワイルってすごいね!

46 :43:2009/11/08(日) 00:45:54 ID:LlW4te7i
あんまりファインマンまんせーするのもなんだが
ファインマンは数学科出身だ。
電気ー数学ー物理
とか転部したんじゃなかったっけ

プリンストンでは当時最先端のトポロジーも数学科の学生から学んでたらしいので、
古典的な群論なんて楽勝だったろう



47 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/09(月) 20:08:17 ID:???
>>41
あの辺の数学は綺麗に整理されてて読んでて感動した

48 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/14(土) 08:18:16 ID:S3b4VUXb
スレと関係ないが

ハイゼンベルグは行列しらないで行列力学(量子力学の定式化)作った。
物理的にどうあるべきか考えて定式化して、指導教官たちにみせたら
「それって行列じゃん」となった。
指導教官の一人はジョルダン。
1925年当時は行列は数学者しか知らなかったらしい。

ただし、ワイルの件からすると1925年にマトリックス知らないってのも変な気もするんで
上の話の信憑性は要検証だけど


49 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/14(土) 18:43:44 ID:???

必要ならば数学も作るのが一流物理学者
ニュートンからウィッテンまで

50 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/11/14(土) 18:55:15 ID:TTWt0TTk
もっと凄い物理学者は宇宙を造ってしまうよ。

51 :♀∧♀:2009/12/05(土) 20:43:02 ID:itmpv0wV
微分形式の解析力学おしえて

52 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/06(日) 01:00:57 ID:???
山本義隆とかアーノルドとか

53 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/07(月) 10:44:22 ID:???
もろにそういうタイトルの本あったような・・

54 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/07(月) 20:19:51 ID:???
深谷賢治は物理の視点から言うとちょっとあれだけど
1流の幾何学者なのは間違いないと思う

55 :♀∧♀:2009/12/12(土) 22:22:22 ID:Lx6Wi/zh
微分形式で書かれたマクスウェル方程式はスゲーって思ったけど
位相空間が接バンドルっていわれても、ありがたみがよく分からない
解析力学を微分幾何で考えると何か良いことあるの?

56 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/12(土) 22:24:39 ID:67jNudD4
ない。

57 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/12(土) 23:48:34 ID:???
BV形式

58 :♀∧♀:2009/12/12(土) 23:59:51 ID:Lx6Wi/zh
接バンドルじゃなくて余接バンドルか

59 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 00:00:48 ID:67jNudD4
区別が分からん

60 :♀∧♀:2009/12/13(日) 01:30:34 ID:8vPA3mGc
ある本の行間うめてみたんだけど、計算あってます?

ω=dq∧dp
のリー微分は、
L_[V]ω=d[V(ω)]
これをゼロにするようなベクトル場V=d/dtがあった場合、
d[V(ω)]=0
⇔d/dt(dq∧dp)=dH
となるHが存在する。
左辺は
d/dt(dq∧dp)=dq(d/dt)∧dp - dq∧dp(d/dt)
=(dq/dt)dp+(-dp/dt)dq
左辺は
dH=(∂H/∂p)dp+(∂H/∂q)dq
で、ハミルトン方程式でてくる。

ωというものを考えることで変分原理は要らない、ってことなんだろうか?

61 :♀∧♀:2009/12/13(日) 01:37:24 ID:8vPA3mGc
ベクトル場d/dtは
曲線c:R → M(多様体)として
dc/dtの略記です

62 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 01:39:03 ID:???
解析力学はラグランジュ方程式の共変性あたりからはじまるけど
あれってもろ多様体の思想が出てるじゃん(現代から見れば、の話だけど。)
かなり洗練されてる幾何の理論が既にあるんだから使わない手はないだろ
ディラック括弧は部分多様体上のポアソン括弧だよ、って言われても
幾何知らんやつはわからんままその気持ち悪いなんとか括弧を使わなきゃ物理ができない

63 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 01:51:09 ID:Ip1JmAkc
シンプレクチク幾何学やらんとあかんの?

64 :♀∧♀:2009/12/13(日) 01:55:27 ID:8vPA3mGc
そのポアソン括弧がよくわからないのでやりなおしてくる
たしかポアソン括弧もシンプレクティック形式ωで定義されてたね

65 :♀∧♀:2009/12/13(日) 02:56:45 ID:8vPA3mGc
ポアソン括弧がなんであーなるのかはわかった

66 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 09:30:09 ID:Ip1JmAkc
おれさまには、さっぱわかんねーーー

67 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 13:39:38 ID:???
ポアソン括弧と量子論での交換関係が対応するのはなぜですか?

68 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 14:00:54 ID:???
ジャッジメントですの!

69 :♀∧♀:2009/12/13(日) 15:01:45 ID:8vPA3mGc
>>67
そうやると上手くいくから、じゃなかったっけ?
サクライの本にはそれが指導原理みたいに書いてあった気がする…
自信ないけど

70 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 16:32:58 ID:???
>>67
つ Weyl量子化

71 :ご冗談でしょう?名無しさん:2009/12/13(日) 20:20:48 ID:Ip1JmAkc
何それ?

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